Commençons par définir les notations utilisées dans cette section. Soit B = (Bin, Bout) ⊂
[n]×[m], le sous-ensemble regroupant les intrants polluants et les productions indésirables. D’après (3.1) et (3.2) :
(x, y) ≤B (u, v) ⇐⇒ xi ≥ ui if i ∈ Bin xi ≤ ui if i /∈ Bin yj ≥ vj if j ∈ Bout yj ≤ vj if j /∈ Bout (3.8) De plus : (x, y) <B (u, v) ⇐⇒ xi > ui if i ∈ Bin xi < ui if i /∈ Bin yj > vj if j ∈ Bout yj < vj if j /∈ Bout (3.9) Ainsi, si (−x, −y) ≤B (−u, −v) il s’ensuit (x, y) ≥B (u, v) . De plus, si B = B
in= Bout = ∅
alors :
(x, y) ≤B (u, v) ⇔ xi ≤ ui∧ yj ≤ vj. (3.10)
Lorsque le sous-ensemble contenant les intrants polluants et les productions indésirables est vide (B = Bin = Bout = ∅) alors, (x, y) ≤B (u, v) correspond à une inégalité conventionnelle. De
plus, si J ∈ {∅, B} alors, (x, y) ≤J (u, v) vérifie simultanément (3.8) et (3.10).
Pour tout(xJ, yJ)
J∈{∅,B}tel que,
(x∅, y∅) et(xB, yB) sont des points arbitraires appar-
tenant à T , nous supposons que les inputs et les outputs satisfont l’hypothèse de B-disponibilité définie ci-dessous.
Définition 3.6 Soit T une technologie de production satisfaisant les axiomes T1-T3. Pour tout (x, y) ∈ Rn
+ × Rm+, l’ensemble de production T satisfait l’hypothèse de B-disponibilité si et
seulement si, pour tout ensemble de vecteurs inputs-outputs(xJ, yJ)
J∈{∅,B} ⊂ T , (−x, y) ≤ J
(−xJ, yJ), quel que soit J ∈ {∅, B}, implique que (x, y) ∈ T .
Remarquons que, si B = ∅ (les intrants et les extrants de la firme ne sont pas partitionnés) et ainsi, J = ∅ alors, l’hypothèse de B-disponibilité des intrants et des outputs au sein de la technologie de production est identique à l’axiome usuel de libre disposition. De ce fait, lorsque la technologie de production est ∅-disponible, les intrants et les extrants sont librement disponibles dans T .
D’après la définition 3.6, l’hypothèse de disponibilité forte en inputs et en outputs est limitée. En effet, le cône de libre disposition usuel est combiné avec un cône de libre disposition qui lui est partiellement opposé. Ainsi, la libre disposition se définit localement plutôt que globalement (Lau, 1974). Selon la définition 3.6, la disponibilité forte des inputs et des outputs dans T est d’autant plus faible que les dimensions dans lesquelles s’appliquent la libre disposition modifiée, sont importantes. En effet, la définition 3.6 implique que plus la collection des partitions de [n] × [m] est importante, plus il est difficile de disposer les intrants et les outputs dans T . Dans ces conditions, la définition de la libre disposition devient locale. La généralisation de l’hypothèse de B-disponibilité, exposée dans la définition 3.6, permet d’envisager un manque de disponibilité simultané dans les inputs et dans les outputs. A partir de cette généralisation, nous introduisons une nouvelle approche axiomatique définissant la structure des technologies de production polluante.
3.2 La technologie de production B-disponible et ses correspondances pro-
ductives
D’après la définition 3.6, pour tout (x, y), s’il existe une observation (x∅, y∅) qui domine
de manière classique (x, y) et un point (x{2}, y{2}) qui "{2}-domine" (x, y), alors (x, y) ∈
T . Pour une configuration donnée d’observation, ceci permet de construire une technologie de production présentant un manque de disponibilité dans la dimension des intrants polluants et des productions indésirables. Selon une analyse en termes de correspondances productives (en outputs et en inputs), il existe une frontière inférieure dans la dimension des productions polluantes et une frontière supérieure dans celle des inputs polluants. Ainsi, la cessibilité des productions résiduelles est coûteuse (Murty, 2010) et, l’accroissement des intrants polluants ne peut être considéré comme libre (figures 12 et 13).
Dans la figure 12, les intrants et les extrants satisfont l’hypothèse de B-disponibilité. La cor- respondance en outputs présente à la fois une borne supérieure et une borne inférieure dans la dimension des productions résiduelles (lignes courbée noire [b, c] et [b, d]). Ainsi, pour une quan- tité donnée d’intrants partitionnés (polluants et non polluants) et de production désirable, il existe une production minimale et maximale de résidus polluants. Lorsque l’hypothèse de B-disponibilité est uniquement vérifiée dans la dimension des extrants alors, la frontière inférieure de la correspon-
y1 y2= Output polluant x x PJ(x) x′• a • d • b • c PJ(x′) y{2} • y∅ • y •
FIGURE 12 – Ensemble en outputs B-disponible PJ(x), avec J ∈ {∅, B} et B = {Bin, Bout} =
{{2}, {2}} x1 y x2= input polluant LJ(y) LJ(y′) x{2}• x∅• x•
FIGURE 13 – Correspondance en inputs B-disponible LJ(y), avec J ∈ {∅, B} et B = {Bin, Bout} = {{2}, {2}}
dance en outputs est moins restrictive. Dans ce cas, la borne inférieure de l’ensemble en outputs est représentée par la ligne en pointillée [a, b]. Par conséquent, lorsque les intrants et les extrants de la firme sont partitionnés (en composantes polluantes et non polluantes) et, satisfont l’hypothèse
de B-disponibilité dans T , la correspondance en outputs est plus étroite. La frontière supérieure de la correspondance PJ garantit la fermeture de l’ensemble en outputs. Ainsi, pour un niveau donné
de production désirable, une quantité infinie de résidus polluants ne peut être créée à partir d’un niveau fixe de facteurs.
Lorsque la technologie de production satisfait l’axiome de B-disponibilité dans les intrants et les outputs, ses représentations en termes de correspondances productives (figure 12 ou 13) sont en accord avec les principes physiques élémentaires. D’après la première loi de la thermodynamique, la quantité de matière contenue dans les intrants ne peut disparaître à l’issue du processus productif. Dans notre analyse, la matière contenue dans les inputs (polluants et non polluants) est récupérée dans les productions désirables et indésirables (figure 12). De plus, les intrants polluants génèrent nécessairement une quantité minimale de résidus polluants (figure 12). Ainsi, s’il existe des intrants polluants dans le processus de production alors, les résidus polluants produits sont positifs (seconde loi de la thermodynamique).
Dans ces conditions, la représentation de la technologie de production B-disponible est sem- blable à celle définie par les modèles basés sur les lois de la thermodynamique (Rödseth, 2017) dans la dimension des outputs. Notons que la disposition des intrants et des extrants est indépen- dante de la valeur attribuée aux facteurs d’émission et de récupération. De plus, la caractérisation de l’ensemble en outputs est quasiment similaire à celle issue des travaux de Murty, Russell et Levkoff (2012). La seule différence intervient au niveau de la fermeture supérieure de cette corres- pondance.
Remarquons que l’approche axiomatique reposant sur les axiomes T1-T3 et, sur l’hypothèse de B-disponibilité des intrants et des extrants, peut être retranscrite dans une analyse en termes de cor- respondances dans l’espace des inputs et des productions indésirables�QJ(y
1)
et, dans l’espace des inputs et produits désirables�ZJ(y
2)
(voir figures 14 et 15). Les intrants étant partitionnés en composantes polluantes et non polluantes, il est possible de représenter les correspondances Q et Z dans un repère à trois dimensions. Dans ce cas, la correspondance en inputs et en productions polluantes peut être décrite à travers la figure 16.
La figure 16 nous permet de constater que, pour une quantité donnée d’intrants (polluants et non polluants), il existe une borne inférieure et une borne supérieure dans la dimension des productions résiduelles. De plus, pour une quantité donnée d’outputs (désirables et indésirables),
x y2= output polluant QJ(y 1) IsoqQJ(y 1) KQ
FIGURE 14 – Ensemble en intrants et
en productions résiduelles B-disponible QJ(y 1), avec J ∈ {∅, B} et B = {Bin, Bout} = {{2}, {2}} x y1 ZJ(y 2) IsoqZ J (y2) KZ
FIGURE 15 – Correspondance en intrants
et en productions désirables B-disponible ZJ(y
2), avec J ∈ {∅, B} et B =
{Bin, Bout} = {{2}, {2}}
nous pouvons observer que les inputs non polluants sont librement disponibles et a contrario les intrants polluants ne peuvent être augmentés librement.
Introduisons le cône convexe suivant : KB = KBin × (−KBout)
=(x, y) ∈ Rn× −(Rm) : x ≥Bin 0 et y ≤Bout 0 . (3.11)
Notons que :
K∅ = Rn
+× (−Rm+). (3.12)
La proposition suivante présente une caractérisation de la technologie de production.
x1
y2= output polluant
x2= input polluant
QJ(y 1)
FIGURE 16 – Correspondance en inputs et en productions polluantes B-disponible QJ(y1), avec
J ∈ {∅, B} et B = {Bin, Bout} = {{2}, {2}}
fait l’axiome deB-disponibilité si et seulement si : T = \ J∈{∅,B} T + KJ ∩�Rn +× Rm+ .
La proposition 3.7 permet de caractériser la technologie de production B-disponible selon une intersection de cônes convexes (3.11). Notons que si B = ∅, alors l’hypothèse de B-disponibilité des intrants et des extrants dans T correspond à l’axiome usuel de libre disposition :
T = �T + (Rn+× (−Rm+))∩�Rn
+× Rm+
.
Preuve de la Proposition 3.7 : Tout d’abord, supposons que T satisfait l’hypothèse de B-disponibilité. Soit un ensemble de vecteurs inputs-outputs xJ, yJ
J∈{∅,B} ⊂ T . Par défini-
tion, pour tout (x, y) ∈ Rn
+× Rm+, ∀J ∈ {∅, B} (−x, y) ≤J (−xJ, yJ) implique que (x, y) ∈ T .
Ainsi, quel que soit J ∈ {∅, B}, (x, y) ∈ TJ∈{∅,B}T + KJ ∩�Rn +× Rm+
nous avons nécessairement T ⊂TJ∈{∅,B}T + KJ∩�Rn +× Rm+
. Inversement, supposons que T =TJ∈{∅,B}T + KJ∩�Rn
+× Rm+
. Quel que soit J ∈ {∅, B}, si (xJ
, yJ) ∈ T et (−x, y) ≤
(−xJ, yJ), alors (x, y) ∈ T
J∈{∅,B}T + KJ
∩�Rn+× Rm+. Ainsi, pour tout ensemble de vec- teurs d’inputs et d’outputs xJ, yJ
J∈{∅,B} ⊂ T , (x, y) ∈ T J∈{∅,B}T + KJ ∩ �Rn +× Rm+ . Ainsi, T satisfait l’hypothèse de B-disponibilité. ✷
La technologie de production B-disponible peut être considérée comme une intersection de deux sous-technologies. La première respecte l’axiome usuel de libre disposition des inputs et des outputs dans T . La seconde vérifie une hypothèse de disponibilité partiellement opposée dans T . Selon la dénomination introduite par Murty, Russell et Levkoff (2012), la première correspond à la sous-technologie de production de la firme et la seconde à la sous-technologie de production rési- duelle. Les extrants sont librement disponibles au sein de la sous-technologie de production de la firme. Les productions indésirables vérifient l’hypothèse de disponibilité "coûteuse" et les intrants polluants ne sont pas librement disponibles dans la sous-technologie de production résiduelle. Dans cette représentation, ces deux sous-technologies ne sont pas supposées opérer indépendam- ment l’une de l’autre3 ce qui garantit notamment, la fermeture de la correspondance en outputs de
la technologie de production B-disponible.
A présent, nous pouvons introduire une nouvelle notion de congestion dans T :
Définition 3.8 Soit T une technologie de production satisfaisant les axiomes T1-T3 et soit B = (Bin, Bout) ⊂ [n] × [m]. T est B-congestionnée si elle ne vérifie pas l’axiome de libre disposition
mais satisfait l’hypothèse deB-disponibilité.
D’après la définition 3.8, une technologie de production est B-congestionnée dès que : T +�Rn+× (−Rm+)∩�Rn+× Rm+6= \ J∈{∅,B} T + KJ ∩�Rn+× Rm+. (3.13) Ainsi, une technologie de production est B-congestionnée dàs qu’elle ne vérifie pas une hypo- thèse de disponibilité plus forte que celle de la B-disponibilité. Dans ce cas,
3. En effet, dans notre analyse nous ne considérons pas les axiomes d’indépendances introduits dans les travaux Murty, Russell et Levkoff (2012).
T 6= T +�Rn +× (−Rm+) ∩�Rn +× Rm+ . (3.14) Ce résultat peut être vu comme une transposition de la notion de congestion en outputs intro- duite dans les travaux de Färe et Grosskopf (1983). Ici la congestion est généralisée dans T . Elle concerne simultanément les intrants et les extrants de la technologie de production. Notons qu’une technologie de production ne peut être ∅-congestionnée.