4.4 Liquide de Luttinger aux bords d’une bande de Hall fractionnaire
5.2.1 Théorie chirale d’un boson et d’un fermion de Majorana
νφ(w1)σ(w2)e2i √ νφ(w2)ψ(z1). . . ψ(zN)eiφ(z1)/√ν. . . eiφ(zN)/√νObcki (5.16) Cette fonction de corrélation peut être calculée explicitement :
Ψ2qh = Pf (w1− zi)(w2− zj) + (1↔ 2) zi− zj Y i<j (zi− zj)2 (5.17) Le cas de quatre quasi-trous de charges e/4 est beaucoup plus intéressant. En effet il met en jeu la fonction de corrélation hσσσσi qui n’est pas simplement un produit de facteurs. En fait c’est une combinaison linéaire de deux facteurs produits. En réalité les états à 4 quasi-trous forment un espace vectoriel de dimension deux. Plus généralement si on a 2n quasi-trous la dimension va être 2n−1 comme l’on montré Nayak & Wilczek
(1996).
Ψ(1,ψ)4qh = (w13w24)1/4
(1±√x)1/2Ψ(13)(24)±√xΨ(14)(23) , (5.18) avec x = w14w23
w13w24 etwij =wi− wj. Les deux états Ψ(13)(24) et Ψ(14)(23) sont donnés par : Ψ(13)(24) = Pf (w1− zi)(w3− zi)(w2− zj)(w4− zj) + (i↔ j) zi− zj Y i<j (zi− zj)2 (5.19) Ψ(14)(23) = Pf (w1− zi)(w4− zi)(w2− zj)(w3− zj) + (i↔ j) zi− zj Y i<j (zi− zj)2 (5.20) Si on est dans l’état Ψ(1)4qh alors faire tourner 1 autour de 2 ou 3 autour de 4 conduit juste à un facteur de phase multiplicatif. Par contre si on fait tourner 3 autour de 2 alors on aboutit à l’autre état Ψ(ψ)4qh, ceci à cause des coupures non-triviales dans le plan complexe des différentes racines carrées qui apparaissent dans les formules ci-dessus. Ce mélange d’états par braiding est la source de la statistique non-Abélienne des quasi-trous du Pfaffien.
Pour 2n quasitrous la fonction d’onde est de la forme : Ψ2n−qh =hσ(w1). . . σ(w2n)ψ(z1). . . ψ(zN)i Y p<q (wp− wq)1/4Y i,p (zi− wp)1/2Y i<j (zi− zj)2, (5.21) où la fonction de corrélation des opérateurs σ appartient à un espace de dimension 2n−1.
5.2 Théorie effective aux bords du Pfaffien
5.2.1 Théorie chirale d’un boson et d’un fermion de Majorana
Comme dans le cas de Laughlin (cf.sec.4.2.1), les quasi-trous génèrent les modes d’ex-citations sans gap au bord du liquide de Hall. C’est ce qu’on appelle la correspondance
volume-bord. Les degrés de liberté sans gap sont donc exactement ceux qui se déduisent de la CFT bidimensionnelle dans la construction de Moore et Read. Ceci implique que le Pfaffien a des modes de bord donnés par un boson chiral pour la charge et un fermion de Majorana neutre. Le mode bosonique est attendu par l’argumentaire général de Wen. Du point de vue des fonctions d’onde, ces modes bosoniques s’obtiennent en multipliant la fonction d’onde du Pfaffien par tout polynôme symétrique, comme nous l’avons vu dans le cas de Laughlin. La théorie de bord s’écrit alors comme une théorie locale des champs avec une action égale à :
Sedge= m 4π Z d2x(∂t+vc∂x)φ∂xφ, +i Z d2xψ(∂t+vn∂x)ψ, (5.22) où nous avons introduit un boson chiral et un fermion de Majorana-Weyl avec éventuelle-ment des vitesses différentes. La nouveauté du Pfaffien réside dans ces modes de fermions. Une expression microscopique des modes de bord fermioniques dans la géométrie du disque a été proposée par Milovanović & Read (1996) :
Ψn1,...,nF =A zn1 1 . . . znF F 1 zF +1− zF +2 . . . 1 zN −1− zN Y i<j (zi− zj)2 (5.23) où A signifie que l’on doit anti-symétriser l’expression sur tous les indices, où N est le nombre de particules (électrons ici) et où F est le nombre de fermions de Majorana-Weyl contenu dans l’excitation. Dans cette formule les nombres d’occupations n1, . . . , nF sont positifs et tous distincts. On voit aussi que N − F doit être pair alors que le nombre d’électrons peut être pair ou impair, contrairement à la définition de base du Pfaffien. Pour faire contact avec la théorie libre du Majorana notons que le moment angulaire de l’état est donné par :
∆M = X i ni+ 1 2 , (5.24)
en prenant comme référence le moment angulaire du Pfaffien. Ceci implique que les mo-ments des fermions doivent être pris demi-entiers. Si l’on écrit l’opérateur de champ sous forme de Fourier :
ψ(x) = X
n
ψneik(x+vnt), (5.25)
alors pour avoir k égal à un demi-entier il faut imposer des conditions aux limites anti-périodiques le long du bord du système : ψ(x + L) = −ψ(x). Le secteur anti-périodique d’un fermion de Majorana est appelé le secteur Neveu-Schwarz (NS).
Là dessus, on peut créer des modes d’excitation bosoniques ou des quasi-particules de chargee/2 en multipliant cette fonction d’onde par des polynômes symétriques arbitraires. Les conditions aux limites du fermion de Majorana sont donc insensibles à la présence de quasi-particules de charge e/2 dans le volume. La seule contrainte est sur la parité du nombre de fermions. Si N est pair alors on ne peut avoir qu’un nombre pair de Majoranas tandis que si N est impair alors on a un nombre impair de Majoranas.
5.2 Théorie effective aux bords du Pfaffien
Si maintenant on place au centre du système un quasi-trou non-Abélien de chargee/4, c’est à dire si on fait w1 = 0 et w2 → ∞ dans la formule (5.17), on obtient le Pfaffien dit “twisté” : ΨT wisted = Pf(zi+zj zi− zj )Y i<j (zi− zj)m. (5.26) Les modes de bord fermioniques à son bord s’écrivent alors (Milovanović & Read 1996) :
Ψn1,...,nF =A zn1 1 . . . znF F zF +1+zF +2 zF +1− zF +2 . . .zN −1+zN zN −1− zN Y i<j (zi− zj)2. (5.27)
Cette fois le moment angulaire additionnel est donné par :
∆M =X
i
ni, (5.28)
ce qui veut dire que les fermions ont maintenant un moment entier en unités de 2π/L. Ceci est obtenu en imposant des conditions aux limites périodiques ψ(x + L) = +ψ(x). C’est le secteur de Ramond (R). Nous voyons donc que la présence de quasi-trous non-Abéliens change les conditions aux limites des fermions. Dans la CFT du modèle d’Ising ce rôle est tenu par l’opérateur σ.
Il est maintenant facile de compter les dégénérescences des modes de bord dans la géométrie du disque pour les premières valeurs d’impulsion totale. Dans ce cas de figure, il n’y a qu’une seule chiralité et il suffit de peupler la relation de dispersion linéaire des fermions et de compter les différentes possibilités. Pour compter ces dégénérescences, on peut aussi utiliser les caractères de l’algèbre de Virasoro comme nous le verrons dans la sous-section suivante. Les nombres correspondants aux trois possibilités sont donnés dans le tableau (5.2). Nous y trouvons le secteur NS pour F pair, NS pour F impair et enfin le secteur R qui donne les mêmes nombres pour les cas F pair ou impair. Le cas du disque sans quasi-trou de charge e/4 dans le volume a été étudié par Wen (1993), mais il n’a pas étudié le secteur Ramond (R), caractéristique de la statistique non-Abéliènne. Pour introduire un quasi-trou non-Abélien il faut par exemple ajouter un potentiel extérieur localisé en w ce qui permet alors d’accéder au secteur R. Mais stabiliser un quasi-trou de charge e/4 n’es pas si évident, et il faut ajuster finement la forme du potentiel extérieur (Tőke et al. 2007).
Enfin, en plus des modes de fermions nous trouvons le mode de charge. Ceci enrichit les dégénérescences des états de bord d’une manière aisément calculable. Les résultats sont donnés dans la partie basse de la table5.2. Strictement parlant ces nombres supposent que les vitesses sont les mêmes pour les deux types d’excitation. Ceci est vrai pour l’interaction de cœur dur et un potentiel parabolique comme nous le verrons dans la suite. Ce n’est certainement pas vrai dans le cas de l’interaction de Coulomb. Divers travaux sur le disque (Wan et al. 2006, 2008) ont montré qu’en général les vitesses des modes neutres et des modes chargés ne sont pas les mêmes.
∆M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I 1 0 1 1 2 2 3 3 5 NS pair ψ 1 1 1 1 2 2 3 4 5 NS impair σ, µ 1 1 1 2 2 3 4 5 6 R pair/impair ∆M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 φ + I 1 1 3 5 10 16 28 NS pair φ + ψ 1 2 4 7 13 21 35 NS impair φ + σ, µ 1 2 4 8 14 24 40 R pair/impair
Table 5.2 – Comptage des états dans la géométrie chirale du disque. Dans la partie haute du tableau, nous indiquons le nombre d’états dans les différents secteurs de la CFT du modèle d’Ising en fonction du moment cinétique croissant. Dans la partie basse nous incluons les excitations bosoniques en supposant que les vitesses des bosons et des fermions sont identiques.