2.3 L’effet Hall quantique fractionnaire sur le cylindre
2.3.1 Hamiltonien d’interaction dans le plus bas niveau de Landau
Nous considérons donc que les électrons se déplacent sur un cylindre de circonférence L et utilisons la jauge de Landau A = B(0, x, 0). Nous considérons, dans le cas général, un potentiel d’interaction V (ri− rj) ainsi qu’un potentiel extérieur de confinementu = u(x) homogène dans la direction y, auquel la section suivante (2.3.2) est consacrée. Dans le cadre des approximations de la partie (2.2.3), l’Hamiltonien général qui nous intéresse s’écrit :
avec Hint= N X i<j=1 V (ri− rj) (2.109) U = N X i=1 u(xi) (2.110)
Pour être bien défini sur le cylindre, le potentiel d’interaction doit vérifier les conditions périodiques
V (x, y + L) = V (x, y). (2.111) Notons que pour satisfaire cette condition de périodicité, le poteniel V (r) ne peut être isotrope alors qu’il l’est dans le cas du plan. C’est uniquement dans la limite où la cir-conférence L tend vers l’infini, que l’on doit retrouver l’invariance par rotation de r, pour r L. Afin de convertir une interaction eV (r) isotrope du plan vers un potentiel compa-tible avec l’équation (2.111), plusieurs choix sont possibles :
1. V (r) = eV (d(r)), où d(r) est la distance minimale entre O et les répliques de r modulo Lˆy. C’est à dire que d(r) = (x, y + pL), avec y + pL∈] − L/2, L/2[.
2. On pourrait aussi prendre d(r) : la distance de la corde entre les deux points sur le cylindre. Ce choix plus compliqué pour les calculs est équivalent au premier à la limiteL→ ∞, lorsque la courbure tend vers 0. Dans la géométrie de la sphère, c’est aussi la longueur de la corde qui est généralement choisie par simplicité.
3. On pourrait aussi considérer V (r) = P
p∈ZV (pxe 2+ (y + pL)2), c’est à dire que toute paire de particules interagit entre elles ainsi qu’avec toutes leurs répliques obtenues par translations successives de Lˆy.
Ceci étant, dans le cas d’interactions locales de type cœur dur (cf. sec. 2.2.5), que nous utiliserons exclusivement dans la suite du manuscrit, les versions 1. et 3. sont équivalentes. Notons cependant que le dernier choix introduit des divergences dans le cas de l’interaction de Coulomb eV (r)∝ 1/r, qu’il faut supprimer par un cut-off à longue distance.
Même si, comme l’a montré Laughlin, écrire les fonctions d’onde en première quantifi-cation peut être très fructueux, dans le but de diagonaliserH numériquement et pour une formulation plus lisible, il est utile de réécrire le Hamiltonien (2.108) en seconde quan-tification dans l’espace de Fock généré par les orbitales du LLL définies dans la partie (2.1.4) : φ0m = 1 pL`√π e − 1 2`2(x−xm)2 eikmy (2.112) = 1 pL`√π e − 1 2`2x2 m Zm e−2`21 x2 . (2.113)
2.3 L’effet Hall quantique fractionnaire sur le cylindre
Soit am et a†
m les opérateurs de création et d’annihilation usuels, bosoniques ou fermio-niques selon le cas considéré, l’Hamiltonien d’interaction s’écrit dans le LLL :
PLLLHintPLLL= X
m1,m2,m3,m4
Am1,m2,m3,m4a†m1a†m2am3am4 (2.114) où l’élément de matrice est donné par :
A1234 = 1 2
Z
d2rd2r0φ∗m1(r)φ∗m2(r0)V (r− r0
)φm3(r0)φm4(r) (2.115) où ici et dans la suite, A1234 est une abréviation pour l’écriture plus lourde Am1,m2,m3,m4. Le potentiel d’interaction V est L-périodique dans la direction y. On peut donc le décomposer en mode de Fourier dans la direction y et prendre sa transformée de Fourier selon x : Vm(qx)≡ +∞ Z −∞ dx L/2 Z −L/2 V (x, y)eiqxxei2πLmy (2.116) V (x, y) = 1 2πL +∞ Z −∞ dqx X m Vm(qx)e−iqxxe−i2πLmy (2.117)
Cela permet de réécrire les éléments de matrice (eq.2.115) après quelques lignes de calcul sous la forme : A1234 = 1 2πLδm1+m2,m3+m4e−2`21 (xm1−xm4)2 (2.118) × Z dqxVm4−m1(qx)e−1/2qx2`2−iqx(xm1−xm3) Symétries de H
Avant de calculer les éléments de matrice pour les interactions qui nous intéressent, analy-sons les symétries deH dans le cas général. Tout d’abord, le Hamiltonien H est invariant par translation de toutes les particules dans la direction y donc commute avec l’opéra-teur d’impulsion totale selon y Py =P
j−i~∂yj. L’impulsion selon y d’une particule dans l’orbitale φm (2.112) est~km =~2π
Lm. L’opérateur d’impulsion totale selon y s’écrit donc Py =~2π LM avec :ˆ ˆ M =X m m ˆnm (2.119)
Le fait que H commute avec M, ou que l’impulsion selon y soit conservée, impose que : Am1,m2,m3,m4 =δm1+m2,m3+m4Am1,m2,m3,m4. (2.120)
Notons |{ni}i = | . . . , n−1, n0, n1, . . .i les états de la base de Fock sur les orbitales φm, i.e. les déterminants (ou permanent dans le cas bosonique) de Slater sur ces orbitales. On peut diagonaliser H et ˆM simultanément, donc on peut diagonaliser H dans chaque sous espace formé des états |{nm}i tels queP
mmnm est constant égal àM ∈ Z. Comme nous avons vu dans la section 2.1.4, les fonctions d’onde s’écrivent
Ψ(r1, r2, . . . , rN) = P [Z1, Z2, . . . , ZN]e−2`21 P x2
i (2.121)
où P est une série de Laurent à N variables, i.e. : P [Z1, Z2, . . . , ZN] = X m1,m2,...,mN a{mi} Zm1 1 Zm2 2 . . . ZmN N (2.122)
avec mi positif ou négatif, à la différence des fonctions d’onde sur le disque. Nos états propres sont donc constitués de séries de Laurent homogènes, dont le degré total est M .
En l’absence de potentiel de confinement u(x), H est aussi invariant par translation dans la directionx. Mais, si on revient momentanément au problème à un corps, c’est l’opé-rateur de translations magnétiques (cf. sec.2.1.5) dans la directionx, t(X ˆx) = eX∂x+iyX/`2
, qui commute avec H0. Or, il est nécessaire que cette translation préserve la périodicité des fonctions d’onde sur le cylindre φ(x, y + L) = φ(x, y). Donc seules les translations de X = pδx = p2π`2/L,p ∈ Z, commutent avec H0 et préservent le LLL a fortiori. En pratique :
tpφm =φm+p (2.123)
où on note plus simplementt≡ t(δxx). L’opération de translation globale de δˆ x est donnée par : T ≡ N Y i=1 ti (2.124)
Il agit sur les opérateurs d’échelle de la façon suivante :
TpamT−p =am+p (2.125) Tpa†mT−p =a†m+p (2.126) T commute avec H0 ainsi qu’avec Hint, on pourrait donc penser diagonaliser simultané-ment H et T . Mais, T ne commute pas avec M et :
[M, Tp] =pN Tp (2.127) Ainsi, on peut choisir une base d’états propres de l’opérateur de translation selon y, ou une base d’états propres de l’opérateur de translation selon x, mais pas des deux simultanément. Il est plus commode d’utiliser les états propres de M , notamment puisque ses valeurs propres sont discrètes et que M est conservé par l’ajout d’un potentiel u(x). Si on veut considérer un potentiel homogène le long de l’axe du cylindre u(y), c’est à l’inverse T qui est conservé donc utile. La condition [H, Tp] = 0 implique que :
2.3 L’effet Hall quantique fractionnaire sur le cylindre
Cette condition combinée avec l’équation (2.120) implique que
Am1,m2,m3,m4 =δm1+m2,m3+m4Cm1−m4,m2−m4 (2.129) La forme générale du Hamiltonien d’interaction dans le LLL est donc, après simplification par étude des symétries :
PLLLHintPLLL=
+∞
X
m,c,d=−∞
Cc,d a†m+ca†m+dam+c+dam (2.130) Cette forme correspond bien à celle trouvée en (eq. 2.118), avecm = m4,c = m1− m4, et d = m2− m4.
Enfin, H est aussi symétrique par inversion des directions spatiales :
P : φ(x, y)→ φ(−x, −y) (2.131) Cette symétrie transformeφmenφ−met se traduit sur les éléments de matrice parC−c,−d = Cc,d.
Notons aussi que dans le cas de fermions, par anticommutation entre opérateurs de création ou d’annihilation, on peut ne garder que la partie antisymétrique par échange (1 ↔ 2) et (3 ↔ 4) des éléments de matrice, de sorte que Cd,c = −Cc,d (signe + dans le cas bosonique).
Éléments de matrice du modèle hard core fermionique
Durant ma thèse, j’ai principalement étudié le problème de cœur dur V1 (cf.2.100) dont l’interaction dans le plan s’écrit (eq. 2.106) :
˜
V (r) = gF∆δ2(r), (2.132) et dont la transformée de Fourier sur le cylindre vaut :
Vm(qx) =−gF(q2
x+ 2π
Lm 2
) (2.133)
Après quelques lignes de calculs à partir de la formule (2.118), on trouve :
A1234 =gF212π32
`L3 δm1+m2,m3+m4((m2−m4)2−(m1−m4)2) (2.134) e−2`21 ((xm1−xm4)2+(xm2−xm4)2)
Ce qui permet d’écrire simplement le Hamiltonien :
HF = gF212π32 `L3 X m,c,d (d2 − c2)λc2+d2am+c† a†m+dam+c+dam (2.135) où λ est le coefficient :
Éléments de matrice du modèle hard core bosonique
Nous avons étudié en parallèle les modèles de cœur dur fermioniques et bosoniques (cf. 2.100). Dans le cas de bosons en interaction selon le potentiel de cœur dur V0
(eq. 2.105) :
˜
V (r) = gBδ2(r). (2.137) Sa transformée de Fourier est constante égale à gB et on trouve à partir de l’équation (2.118) que les éléments de matrice sont :
A1234 = gB