Spectre d’un liquide de Luttinger non-chiral

k_F +πN L  J, (4.50)

où v,vJ et vN sont respectivement les vitesses du son, de courant et de charge, et où kF =πN0/L. D’après la théorie de Haldane, ces vitesses sont liées par les relations

vJ =gv (4.51)

vN =v/g (4.52)

où g est le dénommé “paramètre de Luttinger”, qui détermine la loi de puissance carac-térisant le comportement asymptotique des fonctions de corrélation. En comparant les modes zéros des deux modèles, nous voyons que dans le cas de l’effet Hall à ν = 1/q, le paramètre de Luttinger est donné par :

g = 1/q (4.53)

Dans la suite de ce chapitre, nous vérifions tout d’abord que le bas du spectre obtenu dans la géométrie du cylindre, et les dégénérescences de chaque niveau énergétique, sont bien cohérents avec l’Hamiltonien effectif (eq. 4.47). Puis, nous mesurons au moyen de diagonalisations exactes ce paramètre de Luttinger, pour les phases de Hall fractionnaire ν = 1/q, et vérifions précisément qu’il est bien égal à 1/q. Cette mesure du paramètre de Luttinger au travers des modes zéro de l’Hamiltonien effectif (eq. 4.47) constitue une vérification de la théorie de Wen, alternative à la mesure de l’exposant asymptotique des fonctions de corrélation, et bien plus efficace puisque aisément accessible par diagonali-sation numérique exacte. Enfin, nous étudions brièvement ce qu’il advient du liquide de Luttinger lorsque les deux bords se rapprochent et qu’un couplage entre eux apparaît. Nous montrons notamment que dans le cas limite où les deux bords fusionnent, et où le liquide de Hall ne forme plus qu’un fin cerceau, le problème devient équivalent à un modèle de fermions en interaction à une dimension de type Tonks-Girardeau.

4.4.2 Spectre d’un liquide de Luttinger non-chiral

Nous représentons sur la figure (4.10) le spectre d’un liquide de Luttinger, donné par l’Hamiltonien (4.49), dans le secteur de charge nulle à N = 0. Dans le secteur J = N = 0 nous notons les dégénérescences de chaque niveau énergétique pour les plus basses énergies. Elles sont données par la combinaison des deux modes chiraux contre-propageant ~v Pk6=0|k|b^†kbk. Le spectre de ce secteur est ensuite reproduit autour des impulsions

4.4 Liquide de Luttinger aux bords d’une bande de Hall fractionnaire 1 1 1 2 1 2 3 2 2 3 0 2k_F 4k_F −2k_F E 2π Lv 2π Lv_J 8π LvJ

Figure 4.10 – Spectre d’un liquide de Luttinger (eq. 4.49) dans le secteur de charge zéro (N = 0). Les secteurs à J = −2, 0, 2, 4 sont représentés. Chacun est situé au dessus d’un état extrémal de momentk_FJ et d’énergie ^π_2L^~v_JJ2. Seules les dégénérescences du secteurJ = N = 0 sont indiquées, celles des autres secteurs étant similaires.

14

16

-10 0 10

E

(

)

M

Figure 4.11 – Spectre des états de bord dans la géométrie du cylindre obtenu pour N = 10 électrons en interaction de cœur dur. On reconnait la structure en arches d’un liquide Luttinger (cf. fig. 4.10), et on retrouve les mêmes dégénérescences au bas de chacune des tours.

k = JkF, avec J pair et kF = _L^πNe, et décalé énergétiquement le long d’une parabole donnée par le mode zéro du Hamiltonien (4.49) : _2L^π~vJJ2.

A titre de comparaison, nous présentons figure (4.11) le bas du spectre des états de bord obtenu pourN0 = 10 sur le cylindre. La similarité entre les deux spectres saute aux yeux. On retrouve dans le secteur Jq =N = 0 les mêmes dégénérescences que dans le spectre du Liquide de Luttinger (4.10), du moins pour les trois premiers niveaux énergétiques.

Tout comme dans le cas du disque (sec. 4.3.2), ces dégénérescences se comprennent aussi d’un point de vue microscopique. En effet, comme nous avons vu dans les sections (4.2.1) et (4.2.3), les états de bord sur le cylindre sont générés par application des poly-nômes symétriques élémentaires en sur la fonction d’onde de Laughlin Ψ_q. Ces opérateurs créent des excitations localisées sur le bord droit pour 0 < n N et sur le bord gauche pour −N  n < 0. Or, tant que les excitations sont localisées proche des bords, on peut considérer le potentiel de confinement comme linéaire au voisinage de chacun des bords. Si on noteu(x) = u0+ (x−xD)^du(xD)

dx =u0+ (x−xD)eBv le potentiel à proximité du bord droit, et u(x) = u0− (x − xG)eBv, le potentiel à proximité du bord gauche, le potentiel total en seconde quantification s’exprime :

U = u0( ˆND + ˆNG) +~v^2π_L( ˆMD − ˆMG) (4.54) où ND et NG représentent le nombre de particules sur le bord droit et gauche, et où

ˆ

MD = P(m − D)ˆnm et ˆMG = P(m − G)ˆnm représentent les opérateurs impulsion sur les bords droit et gauche. Ainsi, multiplier un état de bord par e_n, avec 0 < |n| ≤ N, augmente l’impulsion totale ou le degré total du polynôme de

∆M = n (4.55)

et augmente l’énergie de

∆E =~v^2π_L |n|. (4.56)

La tour du secteur N = Jq = 0 peut alors être construite à partir de l’état fondamental Ψ_q, en le multipliant par les polynômes en et en itérant ce processus.

De plus, on peut observer dans le bas du spectre des états de bord (fig. 4.11) des répliques de la tour J = N = 0, centrées autour de l’impulsion M = pN , p∈ N. Ces tours d’états correspondent aux secteurs J pair et N = 0 du liquide de Luttinger (eq. 4.49). Du point de vue de la physique d’un liquide de Luttinger, on passe de la tour (J = 0, N = 0) à la tour (J, N = 0) en créant J/2 excitations particule-trou d’une branche à l’autre. Du point de vue de l’EHQF, cela correspond à transférerJ/2 quasi-particules d’un bord à l’autre du liquide. Dans notre cas, puisque nous utilisons un potentiel parabolique U = P

mβm2nm, les états de la tour (J, N = 0) s’obtiennent simplement à partir des états de la tour (J = 0, N = 0) par application de l’opérateur de translation selon x TJ/2 (cf. sec. 2.3.2). En particulier, les états extrémaux, i.e. les états fondamentaux de chaque secteur (J, N = 0), sont les translations de la fonction d’onde de Laughlin dans le fondamental. L’énergie de l’état extrémal du secteur (J, N = 0) est alors donnée par

4.4 Liquide de Luttinger aux bords d’une bande de Hall fractionnaire