Théorèmes de renouvellement (énoncés généraux)

Les résultats du chapitre 2 et de la section 4.3 permettent d’énoncer des théorèmes de

re-nouvellement pour des fonctionnelles additives associées à une chaîne de Markov fortement

ergodique. C’est l’objet de cette section, où l’on retrouve les résultats de [34, 4] (voir aussi

[14, 41]). Dans cette section, on conserve les données et notations précédentes, à savoir :

(X_n)_n≥0 est une chaîne de Markov d’espace d’états (E,E) quelconque, de probabilité de

tran-sition Q(x, dy), de probabilité Q-invariante π, et enfin de loi initiale µ. On considère une

fonction ξ = (ξ1, . . . , ξd) de E dans _R^d, de coordonnées π-intégrables sur E, et la

fonction-nelle additive associée S_n = Pn

k=1ξ(X_k). Enfin on dit que ξ est π-centrée (ou simplement

centrée) si π(ξ_i) = 0 pour i= 1, . . . , d. On dit que ξ est non-centrée dans le cas contraire.

4.4.1 Moyenne et variance asymptotique associé à (S_n)_n

Nous allons ici appliquer la proposition 2.1 du chapitre 2. D’après la proposition 4.7, sous

l’hypothèse U_d(m), l’hypothèse R_d(m)(i) du chapitre 2 est satisfaite pour toute probabilité

initialeµtelle que µ∈ B⁰ et pour toutf ∈ B positive.

En particulier, puisquef = 1_E ∈ B, on a

IEµe^iht,S

n

i

=λ(t)ⁿL(t) +Rn(t), (4.34)

où λ(·), L(·) et R_n(t) sont des fonctions de C^m_b B(0, R),_C

(pour un certain réel R > 0).

Rappelons que λ(0) = 1, et que λ(t) est la valeur propre dominante de Q(t) (donc λ(t) ne

dépend pas de µ, contrairement à L(t) et R_n(t)). Il n’est pas nécessaire ici de rappeler les

définitions précises des fonctions L(·) et R_n(·) associées à f = 1_E et µ (obtenues dans la

preuve de la proposition 4.7). Observons uniquement que L(0) = π(1E) = 1, et que nous

avons sup_n≥1|R⁽n<sup>`)</sup>(0)|<+∞ pour`= 0, . . . ,bmc(cf. Remarque 4.2).

Explicitons tout d’abord le vecteur moyenm~ associé à la fonctionnelle additive (Sn)n :

Proposition 4.12. Supposons que l’hypothèseU_d(1)soit vérifiée. Alors, pour toute probabilité

initiale µ vérifiantµ∈ B⁰ et ∀n∈_N^∗, IEµ[kSnk]<+∞, on a :

~

m:=−i(∇λ)(0) = lim

n

1

n^{IEµ[Sn] =π(ξ) = (π(ξ1). . . π(ξd)).}

Démonstration. La proposition 2.1 du chapitre 2 donne la première égalité. En considérant le

cas particulier µ=π, ce qui est possible puisque π∈ B⁰, et en utilisant le fait que

IEπ[Sn] =

n

X

k=1

IEπ[ξ(Xk)] =

n

X

k=1

IEπ[(Q^kξ)(X0)] =

n

X

k=1

π(Q^kξ) =nπ(ξ),

on déduit la seconde égalité.

Proposition 4.13. [Matrice de covariance asymptotique Σ dans le cas centré.]

Supposons que l’hypothèse U_d(2) soit satisfaite, et que ξ soit π-centrée, i.e. m~ = π(ξ) = 0.

Alors, pour toute probabilité initiale µvérifiant µ∈ B⁰ et ∀n∈_N∗, IE_µ[kS_nk2]<+∞, on a :

Σ :=−(Hess λ)(0) = lim

n

1

n^IEµ[S

∗

nS_n]. (4.35)

Cette limite est indépendante deµ, et Σest une matrice symétrique positive.

Démonstration. Notons que, d’après la proposition 4.12,(∇λ)(0) = 0 car π(ξ) = 0. La

pro-position 2.1 du chapitre 2 donne donc le résultat souhaité.

Dans le cas décentré m~ := π(ξ) 6= 0, la matrice symétrique Σ := −(Hess λ)(0) est définie

sous l’hypothèse U_d(2), mais l’assertion(ii) de la proposition 2.1 du chapitre 2 ne s’applique

pas puisque (∇λ)(0) 6= 0. Par recentrage, nous allons cependant pouvoir écrire une formule

analogue à celle de la proposition 4.13.

Proposition 4.14. [Matrice de covariance asymptotique Σ dans le cas décentré.]

Supposons que l’hypothèse U_d(2) soit satisfaite, et que ξ soit décentrée, i.e. m~ = π(ξ) 6= 0.

Alors, pour toute probabilité initiale µvérifiant µ∈ B⁰ et ∀n∈_N∗, IE_µ[kS_nk2]<+∞, on a :

Σ := −(Hess λ)(0) = m~^∗·m~ + lim

n

1

n^IEµ

(S_n−n ~m)^∗(S_n−n ~m)

, (4.36)

où m~ est identifié ci-dessus à la matrice ligne (π(ξ₁). . . π(ξ_d)). La limite précédente est

indé-pendante de µ, etΣ est une matrice symétrique positive.

Démonstration. Posonsξc:=ξ−m~ etSn,c:=Pn

k=1ξc(X_k) =Sn−n ~m. Notonsλc(·) la

fonc-tion de la formule (4.34) relative àS_n,c. Autrement dit, λ_c(t) est la valeur propre dominante

de l’opérateur de Fourier Qξ

_c

(t) associé àξc. D’après la proposition 4.12 (appliqués avec ξc),

on a(∇λc)(0) = 0, et d’après la proposition 4.13, on a :

Σc :=−(Hess λc)(0) = lim

n

1

n^IEµ[S

∗

n,cSn,c].

Maintenant le nombreλ(t) dans la formule (4.34), relative cette fois àS_n, est la valeur propre

dominante de l’opérateur de Fourier Q_ξ(t) associé à ξ. Comme on a Q_ξ(t) =e^{iht, ~mi}Q_ξ

_c

(t), il

vient queλ(t) =e^{iht, ~mi}λc(t), d’où pour tout (j, l)∈ {1, . . . , d}2 :

(∂_jl²λ)(0) =−m_km_l+ (∂_jl²λc)(0).

On en déduit que−(Hess λ)(0) =m~^∗·m~−(Hess λ_c)(0), ce qui fournit le résultat souhaité.

Remarque 4.5. [A propos des conditions IEµ[kSnk]<+∞ et IEµ[kSnk2]<+∞.]

Supposons queQopère sur B. Si kξk ∈ B etµ∈ B⁰, alors, pour tout n≥1, IE_µ[kS_nk]<+∞.

En effet, comme Q^kkξk ∈ B pour toutk≥1, on a

IE_µ[kS_nk]≤

n

X

k=1

IE_µ[kξ(X_k)k] =

n

X

k=1

µ(Q^kkξk)<+∞.

De même, on peut montrer que, si kξk2 ∈ B, alors on a

IEµ[kSnk²]≤n

n

X

k=1

µ(Q^kkξk²)<+∞.

Remarque 4.6. Dans tous les exemples de la section 4.5, les conditions ξ non-arithmétique

ou non-lattice impliquent que la matrice Σ des propositions 4.13-4.14 est automatiquement

définie positive (cf. [48, § 5]).

4.4.2 Théorèmes de renouvellement

Pour la commodité du lecteur, nous retranscrivons ci-dessous, dans notre cadre markovien, les

conclusions (attendues) des théorèmes de renouvellement que nous allons déduire ici (cf.

co-rollaire 4.2) du chapitre 2 et de la section 4.3. Les limites ci-dessous sont des limites au sens

de la convergence vague de mesures de M_d (cf. définition 1.3). Sous réserve d’existence, on

note pourµ, probabilité initiale donnée, pour f :E →[0,+∞[fixée, et pour tout borélien B

de _R^d :

U_f : B 7→U_f(B) :=

+∞

X

n=1

IE_µ[f(X_n) 1_B(S_n)].

Pour donner un sens aux potentielsU_f(·), nous devons supposer que(S_n)_nest transiente, ce qui

conduit, comme pour les suites de v.a.i.i.d., à considérer les trois cas ci-dessous. Pour l’étude

des propriétés de récurrence-transience des marches aléatoires markoviennes, nous renvoyons

à [3] pour le cas de la dimension d = 1, à [37] pour les chaînes transientes uniformément

ergodiques, à [33] pour les chaînes fortement ergodiques, et à [52, 50] pour le cas des chaînes

récurrentes au sens Harris.

Les conclusions (attendues) sont les suivantes (cf. corollaire 2.1 et les théorèmes 2.4 et 2.6 du

chapitre 2) :

- Cas décentré unidimensionnel d= 1 et π(ξ)>0 :

lim

a→−∞Uf(·+a) = 0 et lim

a→+∞Uf(·+a) = ^π(f)

π(ξ) ^{L1(·) (4.37)}

- Cas centré multidimensionnel d≥3 etm~ :=π(ξ) = 0 :

lim

kak→+∞hΣ⁻¹a, ai

^d−2²

Uf(·+a) =Cdπ(f)L_d(·) (4.38)

avec la matrice de covariance (asymptotique) Σ donnée par la proposition 4.13, et avec la

constante C_d= 2⁻¹π⁻

^d2

(det Σ)⁻

¹2

Γ ^d−2₂ , où Γ(·) désigne la fonction Gamma d’Euler.

- Cas décentré multidimensionneld≥2 et m~ :=π(ξ)6= 0 :

Soit a : R⁺ → _Rd une fonction mesurable telle que Λ := limτ→+∞^a(τ√)−_τ^{τ ~m} ∈ _Rd. Notant,

pour tout A∈ B(_Rd) :

Rτ(A) := (2πτ)

^d−2¹

+∞

X

n=1

IEµf(Xn) 1A(Sn−a(τ)),

la conclusion (attendue) est

lim

τ→+∞R_τ(·) =CL_d(·) (4.39)

avec la matrice de covariance (asymptotique) Σ donnée par la proposition 4.14, et avec la

constante

C:=C(m,~ Σ,Λ) := π(f)^{(det Σ)}

−

¹₂

kΣ⁻

¹2

m~k ^exp

−^kΣ

−

¹₂

m~k2kΣ⁻

¹2

Λk2− hΣ⁻

¹2

m,~ Σ⁻

¹2

Λi2

2kΣ⁻

¹2

m~k2

.

Dans le corollaire ci-dessous, on considèreε >0quelconque et :

• sid= 1, on pose m1 = 1 et on suppose π(ξ)>0,

• sid= 2, on pose m₂ = 2 et on suppose ξ non-centrée,

• sid≥3, on pose

– m_d= max(d−2,2)si ξ est centrée,

– m_d= max(^d−1₂ ,2)si ξ est non-centrée.

Les hypothèsesU_d(m_d+ε)(page 94) et de non-arithméticité spectrale (NA) (page 96), utilisées

dans l’énoncé ci-dessous, portent sur l’action de Qet des opérateurs de FourierQ(t).

Corollaire 4.2. [Théorèmes de renouvellement markoviens.]

On suppose que les hypothèsesU_d(m_d+ε)et (NA) sont satisfaites, puis que, pour toutn≥1,

IE_µ[kS_nk]<+∞. Lorsque d≥2, on suppose en outre que les deux conditions suivantes sont

vérifiées :

(i) ∀n≥1, IEµ[kSnk2]<+∞,

(ii) La matrice de covariance Σ est définie positive.

Alors, pour toute probabilité initiale µtelle que µ∈ B⁰ et pour tout f ∈ B, positive, telle que

π(f)6= 0, on a (4.37) ou (4.38) ou (4.39) (selon la dimension et la condition de centrage).

Ce corollaire est une conséquence directe des résultats du chapitre 2 (cf. corollaire 2.1 et les

théorèmes 2.4 et 2.6) et des propositions 4.7 et 4.9.

Le terme principal dans la preuve des théorèmes de renouvellement du chapitre 2 est lié à

l’expression ^λ₁₋^(t)_λ^L₍⁽_t^t₎⁾. Le nombre complexeL(t)(cf. (4.27)) dépend ici de la probabilité initiale

µet de la fonctionf. Cependant, d’une partµn’intervient pas dans la limite des conclusions

(4.37) (4.38) (4.39), d’autre part f intervient uniquement par le termeπ(f). Ceci découle de

la propriété lim_t→0µ(Π(t)f) =µ(Π(f)) =π(f).

Rappelons que l’hypothèse de non-arithméticité spectrale (NA) peut être réduite, sous des

conditions assez générales, à des hypothèses plus classiques de non-arithméticité ou non-lattice

(cf. proposition 4.10). Le corollaire 4.2 sera étendu au cas lattice dans la section 4.6.

Dans le document Théorèmes de renouvellement pour des fonctionnelles additives associées à des chaînes de Markov fortement ergodiques (Page 106-109)