Extension des théorèmes de renouvellement au cas lattice

2π ⁼

Z

R

^d−1

e^{−ihψ(τ),v}

⁰

ⁱe^−(τ+ϕ

1

(τ))kv

0

k

2

^Z +∞

0

e⁻

¹2

(u+kv

0

k

2

−(τ+ϕ

1

(τ)))

2

)du

dv⁰

=

Z

R

^d−1

e^{−ihψ(τ),v}

⁰

ⁱe^−(τ+ϕ

1

(τ))kv

0

k

2

^Z +∞

kv

0

k

2

−(τ+ϕ

1

(τ))

e⁻

^x 2 2

dx

!

dv⁰

= 2(τ +ϕ₁(τ)⁻

d−1 2

Z

R

^d−1

e^−ih

ψ(τ)

√

2(τ+ϕ₁₍τ))

,y

0

i −

^ky0k2 2

Z +∞

|y0|2 2(τ+ϕ₁₍τ))

−(τ+ϕ

1

(τ))

e⁻

^x 2 2

dx

!

dy⁰

Enfin, commeτ+ϕ1(τ)∼_τ→+∞τ, le théorème de convergence dominée de Lebesgue et(2.48)

donnent

lim

τ→+∞τ

^d−2¹

I1(τ) =

√

2π(√¹

2⁾

d−1^Z

R

^d−1

e^−ih

L⁰ √ 2

,y

⁰

i

e⁻

ky0k2 2

Z +∞

−∞

e⁻

^x 2 2

dx

dy⁰

= ^√2π(√¹

2⁾

d−1√

2π(^√2π)^d−1e⁻

^kL0k 2 4

= 2π

^d+12

e⁻

^kL0k 2 4

,

ce qui est bien la propriété souhaitée pour I₁(τ). 2

2.5 Extension des théorèmes de renouvellement au cas lattice

Considérons comme précédemment une suite (X_n, S_n)_n≥0 de variables aléatoires définies sur

un espace probabilisé (Ω,F,_P) et à valeurs dansE×_Rd, où (E,E) est un espace mesurable.

On suppose dans cette section qu’il existe un sous-groupe fermé_S de_R^d tel que

∀n≥1, _P S_n∈_S

= 1. (2.50)

Quitte à se placer dans _R^d

⁰

avec d⁰ < d, on peut supposer sans perte de généralité que _S

est de dimensiond(i. e. le sous-espace engendré par_S est_R^d). Puisque _S est supposé fermé,

que _S s’écrit donc sous la forme _S = _Z·~v1⊕. . .⊕_Z·~vp ⊕ H, avec~v1, . . . , ~vp linéairement

indépendants, et avec H un sous-espace vectoriel (s.e.v) de dimension d−p. En considérant

une base orthonormée(~e1, . . . , ~ep) du s.e.v. orthogonal deH, on peut encore écrire _S sous la

forme

S=A _Z·~e₁⊕. . .⊕_Z·~e_p

⊕ H, (2.51)

où Aest une matrice réelle inversible d’ordre d. Il est alors facile de voir que

S^∗:=t∈_R^d : ∀s∈_S, ht, si ∈2π_Z = 2π(A^∗)⁻¹ _Z·~e1⊕. . .⊕_Z·~ep,

où A^∗ est la matrice transposée deA. En particulier_S^∗ est un sous-groupe discret.

Soit f : E → [0,+∞[ une fonction mesurable vérifiant (2.1). On a vu que le point de

départ des preuves de tous les théorèmes de renouvellement précédents (en toute

dimen-sion, dans le cas centré ou décentré) est l’étude des séries ^P+∞_n=1IE[f(X_n)h(S_n)], ou bien

P+∞

n=1rⁿ⁻¹IE[f(Xn)h(Sn)] avec r ∈]0,1[en dimension d= 1, pour les fonctions h de H_k(d),

avec kconvenablement choisi. Pourh∈ H_k(d) ett∈_Rd, posons :

H(t) := ^X

g∈_S

∗

ˆ

h(t+g).

En appliquant la proposition 2.2, et en remarquant que la fonction t7→IE[f(X_n)e^iht,S

n

i]est

S^∗-périodique, on obtient :

IEf(Xn)h(Sn)= ¹

(2π)d

Z

D

∗

H(t)IEf(Xn)e^iht,S

n

i

dt, (2.52)

où D∗ est un domaine fondamental du groupe quotient _R^d/_S^∗. À partir de (2.52), on peut

reproduire toutes les preuves des sections précédentes. À cet effet, on conserve la

condi-tionR_d(m)(i), mais la condition R_d(m)(ii) doit être remplacée par la suivante :

Condition R⁰_d(m)(ii).Pour tout ouvertU de_R^d d’adhérence contenue dans_R^d\_S^∗, la série

P

n≥1IE

f(X_n)e^ih·,S

n

i

converge uniformément dans U vers une fonction deCm

b U,_C

.

Les démonstrations des sections précédentes peuvent alors être reprises de manière identique,

à la différence près suivante : le terme_hˆ_{(0)dans la limite est remplacé par}

H(0) = ^X

g∈_S

∗

ˆ

h(g),

qui, d’après la formule sommatoire de Poisson, est égal àc_Sm_S(h), oùm_S(·)désigne la mesure

de Haar sur_Setc_Sest une constante strictement positive ne dépendant que du groupe_S. En

conséquence on dispose du résultat suivant :

Théorèmes de renouvellement dans le cas lattice. Soit _S un sous-groupe fermé de

R^d de dimension d tel que l’on ait la propriété (2.50). Sous les hypothèses (respectives) des

théorèmes 2.1, 2.4 et 2.6, mais avec la condition R⁰_d(m_d+ε)(ii) à la place deR_d(m_d+ε)(i),

les conclusions (respectives) de ces théorèmes sont vérifiées avec la mesurec_Sm_S(·) à la place

de la mesure de Lebesgue L_d(·) sur _R^d.

Le cas _S = _R^d est celui traité dans les sections précédentes : on a _S^∗ = {0}, les conditions

R_d(m_d+ε)(i) etR⁰_d(m_d+ε)(ii)coïncident, etm_S(·) est la mesure de Lebesgue sur_R^d. Dans

le cas général (2.51), la mesure de Haar sur _S est le produit de la mesure de comptage sur

A_Z^p et de la mesure de Lebesgue sur_R^d−p. Le cas lattice classique est_S=_Z^d, et dans ce cas

S^∗ = 2π_Zdetm_S(·) est la mesure de comptage sur _Z^d.

Dans le cas i.i.d, la convergence uniforme dans la conditionR⁰_d(m)(ii)est vérifiée sous

l’hypo-thèse qu’il n’existe pas de sous-groupe propre_S0de_Stel que l’on ait :∀n≥1, _P Sn∈_S0

= 1.

Autrement dit, le groupe_Sde (2.50) est minimal au sens de l’inclusion. On verra que ce type

de réduction peut être aussi obtenu dans le contexte markovien des chapitres 4 et 5.

Chapitre 3

Opérateur fortement ergodique.

Théorème de perturbation

Dans ce chapitre, on présente les outils d’analyse fonctionnelle qui seront appliqués au

cha-pitre 4 pour développer la méthode spectrale de Nagaev-Guivarc’h dans le cadre des chaînes de

Markov. Dans la première section de ce chapitre, on introduit l’hypothèse de forte ergodicité :

un endomorphisme continu T sur un espace de Banach B est dit fortement ergodique si ses

itérés convergent, en norme d’opérateurs surB, vers un projecteur de rang 1. Cette définition

est illustrée dans la deuxième section dans le cas des matrices stochastiques, d’autres exemples

seront détaillés dans un contexte plus probabiliste au chapitre suivant. Dans la section 3, on

démontre le théorème standard de perturbations d’opérateurs dans le cas particulier des

opé-rateurs fortement ergodiques. Les outils fonctionnels présentés dans ce chapitre seront repris

dans le cadre plus complexe du théorème de perturbation de Keller-Liverani du chapitre 5.

Les notations générales utilisées dans ce chapitre sont les suivantes : on note(B,k·k)un espace

de Banach complexe et on désigne parL(B)l’algèbre de Banach des endomorphismes continus

de B muni de la norme subordonnée à k · k, notée encore k · k. On désigne parB⁰ =L(B,_C)

le dual topologique de B. EnfinId est l’opérateur identité surB.

3.1 Opérateur fortement ergodique.

Le lemme suivant montre que si la suite des itérés d’un endomorphisme continu deBconverge

dansL(B), cette suite converge à vitesse géométrique vers un projecteur.

Lemme 3.1. Soit T ∈ L(B) tel que la suite(Tn)_n converge dans L(B). AlorsΠ := lim

n→+∞Tⁿ

est un projecteur deL(B) et il existe c >0 et ρ∈[0,1[ tel que ∀n≥1, kTⁿ−Πk ≤cρⁿ.

Démonstration. On vérifie facilement par passage à la limite queTΠ = ΠT = Π = Π² et que

∀n≥1, Tⁿ−Π = (T−Π)ⁿ. Considérons alors r ∈[0,1[ etn0 ≥2 tels que kTⁿ

0

−Πk ≤ r.

Soitn∈_N∗. Soitk(resp.j) le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne denparn₀.

On a alors :

kTⁿ−Πk=k(T −Π)ⁿk ≤ k(T−Π)ⁿ

0

k^kkT−Πk^j.

SoitM = max

j∈{0,···, n

0

−1}kT −Πkj. On obtient que∀n≥1,kTⁿ−Πk ≤ M

r (r

1 n₀

)ⁿ.

Définition 3.1. [Opérateur fortement ergodique.]

Soit T ∈ L(B). On dit que T est fortement ergodique si la suite (Tⁿ)_n converge dans L(B)

vers un projecteur de rang 1.

Remarque 3.1. Le lemme 3.1 nous permet de préciser la définition précédente. Supposons

T fortement ergodique et reprenons les notations du lemme 3.1. Soit e ∈Π(B)\ {0} tel que

Im Π =_C·e. Comme Π est linéaire, il existe π(·)∈ B⁰ tel que

∀f ∈ B, Π(f) =π(f)e,

et on a en particulier π(e) = 1 carΠ(e) =e. Par conséquent la condition de forte ergodicité

s’exprime aussi comme suit : T ∈ L(B) est fortement géométrique si et seulement si il existe

e∈ B \ {0}, π∈ B⁰ tel que π(e) = 1, puis des constantes c >0et ρ∈[0,1[, tels que

∀n≥1,∀f ∈ B, kTⁿf−π(f)ek ≤cρⁿkfk. (3.1)

Remarque 3.2. Soit T ∈ L(B) vérifiant (3.1).

- On a T e=e. En effet, limnTⁿe=e et par continuité deT ene,

e= lim

n Tⁿ⁺¹e= lim

n T(Tⁿe) =T(lim

n Tⁿe) =T e.

- Le nombre 1 est donc une valeur propre de T, et on a en outre : Ker(T −Id) = _Ce. En

effet, pour tout f ∈Ker(T −Id), on a

f = lim

n Tⁿf =π(f)e.

- On aπ◦T =π. En effet, commeπ ∈ B⁰ etπ(e) = 1, on a pour toutf ∈ B :limnπ(Tⁿf) =

π(π(f)e) = π(f). En considérant T f à la place de f dans l’égalité précédente, on obtient :

π(T f) = limnπ(Tⁿ(T f)) = limnπ(Tⁿ⁺¹f) =π(f).

On étudie maintenant le spectre d’un opérateur fortement ergodique. À cet effet on rappelle

que siU ∈ L(B) est une bijection deBsurB, son inverseU⁻¹ (i.e. la bijection réciproque de

U) est aussi dansL(B) d’après le théorème de Banach.

SoitT ∈ L(B). On note

ρ(T) :={z∈_C, zId−T inversible}

l’ensemble résolvant deT, et on noteσ(T) =_C\ρ(T)le spectre deT. Rappelons queσ(T)est

une partie compacte non vide de_Cet que le rayon spectral deT,r(T) := sup{|z|, z∈σ(T)},

est aussi égal, d’après la formule du rayon spectral, à :

r(T) = lim

n→+∞kTⁿk

¹n

. (3.2)

Les définitions ci-dessus sont précisées dans la sous-section 3.4, en particulier la formule

pré-cédente est démontrée dans le lemme 3.6. L’énoncé (et la preuve) de la proposition suivante

fait uniquement appel aux définitions deρ(T) etσ(T).

Proposition 3.1. [Spectre d’un opérateur fortement ergodique.]

Soit T ∈ L(B) vérifiant (3.1). Alors σ(T)⊂D(0, ρ)∪ {1}, et en particulier r(T) = 1.

Démonstration. Commençons par établir le lemme suivant.

Lemme 3.2. SoitT ∈ L(B). SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels fermés de B, stables

parT, tels queB=F⊕G. Alorsσ(T)⊂σ(T

_F

)∪σ(T

_G

), oùT

_F

(resp.T

_G

) est l’endomorphisme

induit par T sur F (resp. sur G).

Démonstration. Comme F (resp. G) est fermé, (F,k · k) (resp. (G,k · k)) est un espace de

Banach. Montrons que ρ(T

_F

)∩ρ(T

_G

) ⊂ ρ(T). Soit λ ∈ ρ(T

_F

)∩ρ(T

_G

). Notons U ∈ L(F)

(resp.V ∈ L(G)) l’inverse deT

_F

−λId

_F

(resp. de T

_G

−λId

_G

)etp

_F

:E→F,p

_G

:E →Gles

projections canoniques. Une vérification élémentaire montre que T−λIdest inversible dans

L(B), d’inverse U◦p

_F

+V ◦p

_G

∈ L(B). Donc λ∈ρ(T).

Soit maintenant T ∈ L(B) vérifiant (3.1). Pour tout f ∈ B, on a : f = (f −π(f)e) +π(f)e.

D’oùB= Kerπ⊕_C·e. De plus,Kerπet_C·esont deux s.e.v deB, fermés et stables parT par

la remarque 3.2. D’après les propriétés (3.1) et (3.2), le rayon spectralr(TKerπ) est inférieur

ou égal àρ car ∀n≥1,kT_Kerⁿ _πk ≤cρⁿ. Doncσ(TKerπ)⊂D(0, ρ). Comme σ(T_C·e) ={1}, on

obtient σ(T)⊂D(0, ρ)∪ {1} par le lemme 3.2.

Remarque 3.3. [Opérateur uniformément ergodique.]

T ∈ L(B)est dit uniformément ergodique lorsque la suite de ses itérés converge dansL(B) au

sens de Cesaro. L’hypothèse de forte ergodicité implique évidemment celle d’uniforme

ergodi-cité. Il est facile de voir que, siT est uniformément ergodique, alors la limite de la suite des

moyennes de ses itérés est un projecteur sur B.

Dans le document Théorèmes de renouvellement pour des fonctionnelles additives associées à des chaînes de Markov fortement ergodiques (Page 64-68)