Preuve du théorème 2.4

(2.21)

où Γ(·) est la fonction Gamma d’Euler, et où Σ sera ici la matrice symétrique définie grâce

à (2.3). Enfin on considère ε >0 (arbitrairement petit) sid= 3 ou d= 4, etε= 0 si d≥5.

Théorème 2.4. Supposons que l’hypothèse R_d(m_d+ε) soit vérifiée avec f : E → [0,+∞[

mesurable vérifiant (2.1), et que l’on ait de plus(∇λ)(0) = 0etΣdéfinie positive. Alors, pour

toute partie borélienne bornéeB de_R^d, la sérieP

n≥1IE[f(X_n) 1_B(S_n)]converge. En outre la

mesure positive U_f définie pour tout B ∈ B(_R) par :

Uf : B 7→Uf(B) :=

+∞

X

n=1

IE[f(Xn) 1B(Sn)]

appartient à M_d, et la famille de mesures hΣ⁻¹a, ai

^d−2²

Uf(·+a) _a∈

R

^d

converge vaguement

vers la mesure C_dL(0)L_d quandkak →+∞.

D’après les rappels du paragraphe 1.2, la convergence vague ci-dessus signifie que l’on a

lim

kak→+∞hΣ⁻¹a, ai

^d−2²

+∞

X

n=1

IE

f(X_n)g(S_n−a)

=C_dL(0)L_d(g). (2.22)

pour toutg∈ C⁰_c(_R^d,_C), ou bien encore pourg= 1B siB est une partie borélienne bornée de

R^dde frontière Lebesgue-négligeable.

2.3.2 Preuve du théorème 2.4.

On reprend la méthode utilisée dans [4, 5] en détaillant complètement certains points résumés

dans [4, 5]. Remarquons que dans le casd= 3 oud= 4, l’ordre optimal 2 du cas indépendant

(cf. Introduction) est remplacé par 2 +ε, la présence technique du réelεnous servant

essen-tiellement à prouver le lemme 2.8 ci-dessous.

Rappelons que, pour tout k ∈ _N^∗, H_k(d) désigne l’espace des fonctions complexes h

inté-grables sur _R^d telles que ˆ_{h ∈ C}k

c(_R^d,_C), voir le paragraphe 1.2.2. Nous utiliserons dans ce

paragraphe l’espace H_d−2(d), noté simplement H_d−2. La proposition 1.13 (voir Rq. 1.2)

per-met d’affirmer que le théorème 2.4 est une conséquence directe du théorème suivant. Pour

a∈_Rd etu:_R^d→_C, on définit :ua:=u(· −a).

Théorème 2.5. Supposons que les hypothèses du théorème 2.4 soient satisfaites. Alors, pour

tout h∈ H_d−2 et tout a∈_Rd, la série Uf(ha) :=P

n≥1IEf(Xn)ha(Sn) converge et

lim

Preuve du théorème 2.5.D’après l’hypothèseR_d(md+ε),Lest continue en0 et

λ(t) = 1− ¹

2^{hΣt, ti+o(ktk}

2)

car λ est de classe C2 sur la boule ouverte B(0, R). La matrice Σ étant définie positive et

L(0)6= 0, on fixe désormais un réelα∈]0, R[tel que, pour toutktk ≤α, on ait :

|λ(t)| ≤1− ¹

4^{hΣt, ti et L(t)6= 0. (2.24)}

Notons, pour tout t∈_Rdet pour tout n∈_N∗,

E_n(t) :=IE[f(X_n)e^iht,S

n

i].

Soit h ∈ H_d−2. Soit b > α tel que, pour tout ktk > b, on ait ˆ_{h(t) = 0. Soit r ∈]0, α[. Soit}

χ ∈ C^∞_c (_R^d,_C), à support dans {t : ktk ≤α}, telle que χ(t) = 1 si ktk ≤ r. L’égalité de la

proposition 2.2 s’écrit alors comme suit :

(2π)^dIEf(Xn)h(Sn)=

Z

ktk≤α

χ(t)ˆh(t)En(t)dt+

Z

r<ktk≤b

(1−χ(t)) ˆh(t)En(t)dt.

Soient a∈_Rd etN ∈_N∗. En considérant h_a à la place de h dans l’égalité précédente (noter

quehc_a(t) = ˆh(t)e^−iht,ai), et en utilisant l’hypothèseR_d(m_d+ε), on obtient :

(2π)^d

N

X

n=1

IEµf(Xn)h(Sn−a) =

N

X

n=1

Z

ktk≤α

χ(t) ˆh(t)λ(t)ⁿL(t)e^−iht,aidt

+

N

X

n=1

Z

ktk≤α

χ(t) ˆh(t)R_n(t)L(t)e^−iht,aidt

+

N

X

n=1

Z

r<ktk≤b

(1−χ(t)) ˆh(t)En(t)L(t)e^−iht,aidt.

D’où la convergence de la sérieP

n≥1IE[f(X_n)h(S_n−a)]avec :

(2π)^d

+∞

X

n=1

IE_µ

f(X_n)h(S_n−a)

=I(a) +J(a) +K(a)

où I(a) :=

Z

ktk≤α

χ(t) ˆh(t) ^λ(t)

1−λ(t)^L(t)e

−iht,ai

dt

J(a) :=

Z

ktk≤α

χ(t) ˆh(t)

+∞

X

n=1

Rn(t)e^−iht,aidt

K(a) :=

Z

r<ktk≤b

(1−χ(t)) ˆh(t)

+∞

X

n=1

E_n(t)

e^−iht,aidt.

En effet, il résulte de (2.24) que P

n≥1|λ(t)|n= _1−|^|λ(_λ^t₍^)|_t)| ≤ _hΣ⁴_t,ti pour 0<ktk ≤α et comme

d≥3 etΣest inversible, la fonctiont7→ 1

provient d’une application du théorème de convergence dominée de Lebesgue. Les termesJ(a)

etK(a) résultent des propriétés de convergence uniforme de l’hypothèse R_d(m_d+ε).

Le théorème 2.5 est alors une conséquence des trois lemmes ci-dessous. 2

Lemme 2.7. J(a) +K(a) =o(kak⁻⁽d−2)) quand kak →+∞.

Démonstration. Ce résultat découle de la proposition 1.4 du chapitre 1 car, d’après

l’hypo-thèse R_d(m_d+ε),J(a) etK(a) sont des intégrales de fonctions de C^d_c⁻²(_R^d,_C).

Etudions maintenant I(a). Un calcul simple conduit àI(a) =I₁(a) +I₂(a) +I₃(a) avec

I1(a) :=

Z

ktk≤α

χ(t)

ˆ

h(t)λ(t)L(t)−^ˆh(0)L(0)

1−λ(t) ^e

−iht,ai

dt

I2(a) := 2 ˆh(0)L(0)

Z

ktk≤α

χ(t)

hΣt, ti^e

−iht,ai

dt

I3(a) := 2 ˆh(0)L(0)

Z

ktk≤α

χ(t)^{λ(t)−1 +}

1

2hΣt, ti

(1−λ(t))hΣt, ti ^e

−iht,ai

dt.

Lemme 2.8. I₁(a) +I₃(a) =o(kak−(d−2)) quand kak →+∞.

Démonstration. Notons que I1(·) et I3(·) sont les transformées de Fourier I1(a) = ˆu(a) et

I3(a) = ˆv(a)de fonctionsuetvqui sont toutes les deux définies sur_R^d\ {0}et sont nulles en

dehors de la bouleB(0, α). Pour étudier le comportement deI₁(a)etI₃(a)quandkak →+∞,

nous allons ci-dessous appliquer la proposition 1.6. Pour cela, nous aurons besoin de majorer

les dérivées partielles deuetv, et pour ce dernier point nous appliquerons la proposition 1.15.

Pour étudier I1(a), définissons la fonction θ1 sur_R^d, en posant pour t∈_Rd

θ₁(t) =χ(t)^ˆh(t)λ(t)L(t)−h^ˆ(0)L(0),

en prolongeant arbitrairement les fonctions λ et L sur _R^d. Comme θ1 ∈ C_c^d−2(_R^d,_C) et

θ₁(0) = 0, il existeC >0tel que, pour toutt∈_Rd,|θ₁(t)| ≤Cktk. NotonsV := [−α, α]^d. On

peut supposer que le réelα est choisi tel que√

d α <min(1, R) de sorte que sit∈V,ktk<1

ett∈B(0, R). Posons w(t) = 1−λ(t), pour toutt∈B(0, R). On a(∇w)(0) = 0et commeλ

vérifie (2.24) et Σest définie positive,w satisfait aux hypothèses de la proposition 1.15 avec

m=d−2 etW =B(0, R). Soient γ ∈_Nd tel que|γ| ≤ d−2 etDγ ≥0 tels que, pour tout

t∈V,|∂^γθ1(t)| ≤Dγ. On a d’une part, d’après (1.6)

∀t∈V \ {0}, θ1(t)∂^γ(¹

w^)(t)

≤ ^{C Cγ}

ktk1+|γ|.

Et d’autre part, pour β ∈_Nd tel queβ 6=γ,β ≤γ, comme |β| ≤ |γ| −1 etktk<1si t∈V,

on a à nouveau grâce à (1.6)

∀t∈V \ {0}, ∂^γ−βθ1(t)∂^β(¹

w^)(t)

≤ ^Dγ−βCβ

ktk2+|β| ≤ ^Dγ−βCβ

ktk1+|γ| .

Posonsu(t) = ^θ

1

(t)

1−λ(t), si0<ktk ≤α, etu(t) = 0si ktk> α. La fonctionu est de classe Cd−2

sur_R^d\ {0}. Les majorations précédentes et la formule de Leibniz nous donnent :

∀i= 0, . . . , d−2,∃Mi >0,∀t∈_R^d\ {0},|u⁽ⁱ⁾(t)| ≤ ^Mi

ktk1+i, (2.25)

où u⁽ⁱ⁾(·) représente une dérivée partielle quelconque d’ordre i de u. D’après (2.25), chaque

dérivée partielle d’ordre≤d−3de uest dominée sur _R^d\ {0} park · k⁻⁽d−2) et les dérivées

partielles d’ordre d−2 de u sont intégrables sur _R^d car dominées par k · k⁻⁽d−1). Comme

I₁(a) = ˆu(a), on obtient lim_kak→+∞kakd−2I₁(a) = 0 en utilisant la proposition 1.6 avec la

fonction u, etk=d−2,s=d−2.

Pour étudierI3(a), les mêmes estimations peuvent être établies en définissantθ3 ∈ C^d_c⁻²(R^d,C)

sur_R^d, en posant pour tout t∈_Rd

θ₃(t) =χ(t)

λ(t)−1 +¹

2^{hΣt, ti}

,

la fonction λayant été arbitrairement prolongée à _R^d. Supposons tout d’abord d≥5. Alors

θ3∈ C³_c(_R^d,_C) et on vérifie facilement que|θ3(t)|=O(ktk3),|θ⁽¹⁾₃ (t)|=O(ktk2) et|θ₃⁽²⁾(t)|=

O(ktk). Posonss(t) =hΣt, tisit∈V := [−α, α]^d. CommeΣest définie positive et (∇s)(0) =

0, la fonctions(·)vérifie les hypothèses de la proposition 1.15 avecm=d−2etW =B(0, R).

Notons maintenant

v(t) = ^θ3(t)

(1−λ(t))hΣt, ti ^{si 0<ktk ≤α, et v(t) = 0 si ktk> α.}

La fonction v est de classe Cd−2 sur_R^d\ {0}. Soit γ ∈_Nd tel que|γ| ≤d−2 ett∈V \ {0}.

D’après la formule de Leibniz, la dérivée partielle ∂^γv(t) est (à des coefficients binômiaux

près) une somme de termes de la forme

∂^βθ3(t)∂^δ(¹

w^)(t)∂

η(¹

s^{)(t) avec |β|+|δ|+|η|=|γ|,}

où w(t) = 1−λ(t). En procédant comme avec la fonction u ci-dessus (considérer ici les trois

cas|β|= 0,1,2, et le cas|β| ≥3), on montre que :

∀i= 0, . . . , d−2,∃M_i⁰ >0,∀t∈_R^d\ {0},|v⁽ⁱ⁾(t)| ≤ ^Mi

ktk1+i. (2.26)

D’après (2.26), chaque dérivée partielle d’ordre ≤ d−3 de v est dominée sur _R^d\ {0} par

k · k⁻⁽d−2) et les dérivées partielles d’ordre d−2 de v sont intégrables sur _R^d car dominée

par k · k−(d−1). Comme I₃(a) = 2 ˆh(0)L(0) ˆv(a), on obtient lim_kak→+∞kakd−2I₃(a) = 0 en

utilisant la proposition 1.6 avec la fonctionv, etk=d−2,s=d−2.

Examinons maintenant le casd= 3ou4.¹On a alors|θ3(t)|=O(ktk2+ε),|θ⁽¹⁾₃ (t)|=O(ktk1+ε)

et|θ₃⁽²⁾(t)|=O(ktkε). On montre comme précédemment que

∀i= 0, . . . , d−2,∃M_i⁰⁰>0,∀t∈_R^d\ {0},|v⁽ⁱ⁾(t)| ≤ ^Mi

ktki+2−ε. (2.27)

1

C’est pour traiter ce cas que nous avons introduit un réelε >0et considéré non pasmdmaismd+εdans

le théorème 2.4.

D’après (2.27), chaque dérivée partielle d’ordre ≤ d−3 de v est dominée sur _R^d\ {0} par

k · k−(d−1−ε) et les dérivées partielles d’ordred−2 de v sont intégrables sur _R^d car dominée

par k · k−(d−ε). Comme I₃(a) = 2 ˆh(0) L(0) ˆv(a), on obtient lim_kak→+∞kakd−2I₃(a) = 0 en

utilisant la proposition 1.6 avec la fonctionv, etk=d−2,s=d−1−ε.

Lemme 2.9. Soit C_d⁰ = (2π)

^d2

2

^d2

−1Γ

d−2

2

(det Σ)⁻

¹2

. Alors :

lim

kak→+∞hΣ⁻¹a, ai

^d−2²

I2(a) =C_d^{0 ˆ}h(0)L(0).

Démonstration. Rappelons que la transformation de Fourier est une bijection de S(R^d) sur

S(_R^d). Comme χ∈S(_R^d), il existe donc une unique fonctionψ de ∈S(_R^d) telle que ψb=χ.

Soita∈_Rd\ {0}. Notantψ_a(·) :=ψ(· −a), on a

I2(a) = 2ˆh(0)L(0)

Z

R

^d

c

ψa(t)

hΣt, ti^dt.

Soientλ₁, . . . , λ_dles valeurs propres strictement positives de la matrice de covarianceΣ. Soit

∆ = diag(^√λ₁, . . . ,^√λ_d) et soit P une matrice orthogonale d’ordredtelle que

P⁻¹ΣP = ∆² = diag(λ₁, . . . , λ_d).

On a hΣt, ti=h∆2P⁻¹t, P⁻¹ti=k∆P⁻¹tk2. Ainsi, en posant t=P∆⁻¹u, on obtient

I2(a) = 2 ˆh(0)L(0)

Z

R

^d

(det ∆)⁻¹ψac(P∆⁻¹u) ¹

kuk2du.

La transformation de Fourier dev7→g(v) =ψ(P∆v−a)estu7→ˆg(u) = (det ∆)⁻¹ψc_a(P∆⁻¹u).

De la Proposition 1.9 du chapitre 1, on obtient

I2(a) = 2 ˆh(0)L(0)c

Z

ψ(P∆v−a) ¹

kvkd−2dv, (2.28)

avecc= (2π)

^d2

2

^d2

−2Γ(^d−2₂ ). Posonsb= ∆⁻¹P⁻¹a,β =kbk et˜_b= 1

βb, de sorte quek^˜bk= 1.

Définissons enfin F(x) =ψ(−P∆x) etF_β(x) =β^dF(β x)pour tous x∈_Rd etβ >0. On a :

I2(a) = 2 ˆh(0)L(0)c

Z

F(b−v) ¹

kvkd−2dv = 2 ˆh(0)L(0)c

Z

F_β(˜b−w) ¹

kβwkd−2 dw,

ou encore β^d−2I2(a) = 2c^ˆh(0)L(0) (Fβ∗fd−2)(˜b), avec fd−2(w) := _kwk¹

d−2

, où ∗ désigne le

produit de convolution de fonctions définies sur_R^d. La proposition 1.14 du chapitre 1 montre

alors que la convergence suivante est uniforme en˜_b∈Rd tel quek^˜bk= 1 :

lim

β→+∞(F_β ∗f_d−2)(˜b) =

Z

R

^d

F(w)dw. (2.29)

Les calculs précédents donnent le résultat souhaité carβ =kP bk=kΣ⁻

¹2

ak=hΣ⁻¹a, ai

¹2

et

R

2.4 Un théorème de renouvellement dans le cas décentré en

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