Majorations de dérivées partielles d’inverse de certaines fonctions

1

ηd+1

Z

{kyk≤2}

dy

kykd−2 + ¹

2d−2

Z

{kwk>1}

dw

kwkd+1

.

Comme les deux précédentes intégrales sont finies, il existe β⁰⁰(ε)>0 tel que pour tout β ≥

β⁰⁰(ε), on ait B⁰⁰

η,^˜b(β) ≤ ε, pour tout k^˜bk = 1. Finalement, pour tout β ≥max(β⁰(ε), β⁰⁰(ε)),

on a pour tout k^˜bk= 1,

Z

R

^d

F(w)dw−(F_β ∗f_d−2)(˜b)

≤ (

Z

|F(w)|dw+ 2)ε.

1.4 Majorations de dérivées partielles d’inverse de certaines

fonctions.

Soitγ = (γ₁, . . . , γ_d)∈_Nd. On pose|γ|=γ₁+. . .+γ_d,γ! =γ₁!. . . γ_d!et siβ ∈_Ndest tel que

β ≤γ, c’est-à-dire si β_i ≤γ_i pour tout i∈ {1, . . . , d}, on pose _β^γ

= _β!(γ^γ₋^!_β)!.

Soient Ω un ouvert de _R^d et m ∈ _N^∗. On note C^m(Ω,C) l’espace des fonctions complexes

m-fois continûment différentiables sur Ω.

Pour γ∈_Ndtel que |γ| ≤m, on note ∂^γ l’opérateur défini surCm(Ω,_C) par :

∂^γ := ^∂

|γ|

∂x^γ

1

1 . . . ∂x^γ

d

d

=∂^γ

1

1 . . . ∂^γ

d

d où ∂j := ^∂

∂x_j^.

Rappelons (formule de Leibniz) que si f, g ∈ Cm(Ω,_C) alors, pour tout γ ∈ _Nd tel que

|γ| ≤m, on a

∂^γ(f. g) =^X

β≤γ

γ

β

∂^γ−βf . ∂^βg·

SoientV un voisinage borné de0 dans_R^d etW un ouvert de _R^d contenantV.

Proposition 1.15. Supposons quew:W →_C soitm-fois continûment différentiable et qu’il

existe a >0 etb≥0 telles que pour tout x∈V, on ait :

|w(x)| ≥akxk² et

d

X

j=1

|(∂_jw)(x)| ≤bkxk.

Alors, pour chaque γ ∈_Nd tel que |γ| ≤m, il existe Cγ≥0 telle que

∀x∈V \ {0}, ∂^γ(¹

w^)(x)

≤ ^Cγ

Démonstration. Soitγ = (γ1, . . . , γd)∈_Nd tel que |γ| ≤m. NotonsMγ = max_x∈V |∂^γw(x)|.

Soit K > 0 tel que kxk ≤K pour tout x ∈ V. Nous allons prouver (1.6) en raisonnant par

récurrrence sur `=|γ| ∈ {0, . . . , m}. Tout d’abord, (1.6) est évidente pour `= 0et si `= 1,

(1.6) s’obtient en utilisant les égalités :

∀j∈ {1, . . . , d}, ∀x∈V \ {0}, ∂_j(¹

w^{)(x) =−}

∂_jw(x)

w2(x) ^.

Considérons maintenant ` ∈ {1, . . . , m−1} et supposons (1.6) vérifiée pour chaque γ ∈ _Nd

tel que|γ| ≤`. Soitγ ∈<sub>N</sub>dtel que|γ|=`+ 1. Comme∂^γ(w .w⁻¹) = 0, la formule de Leibniz

nous donne surV \ {0} :

∂^γ(¹

w^{) =−}

1

w

X

β≤γ, β6=γ

γ

β

∂^γ−βw. ∂^β(¹

w^).

Soientβ ≤γ tel que |γ| − |β| ≥2 etx∈V \ {0}. On a :

1

w(x)^∂

γ−βw(x)∂^β(¹

w^)(x)

≤ ^Mγ−βCβ

akxk4+|β| ≤ ^K

|γ|−|β|−2M_γ−βC_β

akxk2+|γ| .

Soientβ ≤γ tel que |γ| − |β|= 1 etx∈V \ {0}. On a :

1

w(x)^∂

γ−βw(x)∂^β(¹

w^)(x)

≤ ^{b Cβ}

akxk3+|β| = ^{b Cβ}

akxk2+|γ|.

D’où (1.6) pour |∂^γ(_w¹)|.

Chapitre 2

Théorèmes de renouvellement dans un

cadre général

Soit d∈_N^∗. Soient (E,E) un espace mesurable et((Xn, Sn))n≥0 une suite de variables

aléa-toires à valeurs dans E ×_Rd. Étant donnée une fonction mesurable f : E → [0,+∞[, on

présente dans ce chapitre des conditions sur les fonctions (de type) caractéristiques

E_n(t) :=IE

f(X_n)e^ih·,S

n

i

, t∈_R^d

sous lesquelles on peut appliquer les techniques de transformées de Fourier de

Breiman-Babillot [12, 4] (cf. l’introduction), et donc déduire les théorèmes de renouvellement, plus

précisément les propriétés (2), (3) et (4) de l’introduction, en termes de convergence vague de

mesures. Ces propriétés sont (respectivement) relatives au trois cas suivants :

1. d= 1 etIE[S1]6= 0(cas décentré),

2. d≥3 etIE[S1] = 0(cas centré),

3. d≥2 etIE[S1]6= 0(cas décentré).

Les conditions surEn(t)sont regroupées dans une hypothèse appeléeR_d(m)faisant intervenir

un paramètre de régularité m >0. Les propriétés (2), (3) et (4) sont établies respectivement

sous l’hypothèse R_d(m_d+ε), avec ε >0 arbitrairement petit,m₁ = 1 dans le cas 1., m_d :=

max(d−2,2)dans le cas 2. et enfin md:= max(^d−1₂ ,2)dans le cas 3.. On notera que la valeur

m_dcorrespond à l’ordre dans la condition de moment du cas indépendant (voir l’introduction).

Un raffinement dans le casd= 1est présenté dans la sous-section 2.2.5. L’hypothèseR_d(m)(ii)

de la section suivante privilégie le cas "non-lattice" (en un sens qui sera précisé dans la

remarque 2.2). Les extensions au cas "lattice" sont présentées dans la dernière section de ce

chapitre.

Les techniques utilisées dans ce chapitre sont très proches de celles introduites dans [12, 4].

Cependant, en dimensiond≥2, on a simplifié certains passages en remplaçant en particulier

des arguments de distributions et le recours aux fonctions de Bessel généralisées par des calculs

élémentaires.

2.1 Hypothèse R_d(m), d ∈ _N^∗ et m ∈ _R+∗.

Soientd∈_N∗ etm∈_R+∗. Rappelons que,O étant un ouvert de_R^d,U :O →_Cappartient à

C^m_b (O,_C) siU estbmc-fois continûment différentiable surO, si les dérivées partielles d’ordre

j = 0, . . . ,bmc de U sont bornées sur O, et si enfin les dérivées partielles d’ordre bmc de U

sont uniformément (m− bmc)-höldériennes sur O.

Pour tous R >0 et tous 0< r < r⁰, on définit la boule B(0, R) :={t∈_Rd :ktk< R} et la

couronne K_r,r

0

={t∈_Rd:r <ktk< r⁰}. On noteL_d(·)la mesure de Lebesgue sur _R^d.

Soient(Ω,F,P)un espace probabilisé,(E,E)un espace mesurable et((Xn, Sn))n≥0 une suite

de variables aléatoires (v.a.) définies sur Ω et à valeurs dans E×_Rd (d∈ _N^∗). On identifie

désormaisS_n à la matrice ligne

S_n:= S_n,1. . . S_n,d

,

etS_n^∗ désigne la matrice colonne transposée deS_n.

Dans l’hypothèse suivante, f :E →[0,+∞[est une fonction mesurable fixéetelle que

∀n≥1, IE[f(Xn)]<+∞. (2.1)

Hypothèse R_d(m). Les deux conditions suivantes sont supposées satisfaites :

(i) Il existe R >0 tel que pour tout t∈B(0, R) et tout n≥1 :

IE

f(X_n)e^iht,S

n

i

=λ(t)ⁿL(t) +R_n(t) (2.2)

où λ(0) = 1, λ(·) et L(·) sont des fonctions de C^m_b B(0, R),_C

et P

n≥1R_n(·) converge

uniformément dans B(0, R) vers une fonction deC^m_b B(0, R),C.

(ii) Pour tous 0 < r < r⁰, P

n≥1IEf(Xn)e^ih·,S

n

i

converge uniformément dans K_r,r

0

vers

une fonction de Cm

b K_r,r

0

,_C

.

Sous l’hypothèse R_d(m), on définit :

~

m:=−i(∇λ)(0) si m≥1, et Σ :=−(Hess λ)(0) sim≥2, (2.3)

où ∇etHessdésignent respectivement le gradient et la matrice hessienne.

Proposition 2.1.

(i) Si l’hypothèse R_d(1)(i) est satisfaite avec f = 1_E, L(0) = 1, sup_n≥1|R⁽¹⁾n (0)|<+∞, et si

∀n≥1, IE[kS_nk]<+∞, alors m~ = lim

n

1

n^{IE[Sn] := lim}n

1

n ^{IE[Sn,1], . . . , IE[Sn,d]}

.

(ii) Si l’hypothèse R_d(2)(i) est satisfaite avec f = 1_E, L(0) = 1, sup_n≥1|R⁽²⁾n (0)| <+∞, si

en outre (∇λ)(0) = 0 et∀n≥1, IE[kS_nk2]<+∞, alors Σ = lim

n

1

n^IE[S

∗

nS_n].

Démonstration. Nous pouvons supposerd = 1, sans perte de généralité, car le cas d ≥2 se

traite de même en dérivant partiellement. En dérivant l’égalité IE[e^itS

n

] =λ(t)ⁿL(t) +Rn(t)

en t= 0, on obtient : i IE[Sn] =n λ⁰(0) +L⁰(0) +R⁰_n(0), donclimn_n¹IE[Sn] =λ⁰(0). Puis en

dérivant deux fois la même égalité en t= 0, on obtient −IE[S_n²] =n λ⁰⁰(0) +L⁰⁰(0) +R⁰⁰_n(0),

donc lim_n¹_nIE[S2

n] =−λ⁰⁰(0).

La proposition précédente montre que, sous des conditions qui seront satisfaites par la suite,m~

(resp.Σ) s’interprète comme une moyenne (resp. une variance) asymptotique. En particulier

notons que, sous l’hypothèse R_d(m)(i), la condition sup_n≥1|R⁽n^`)(0)| < ∞ est satisfaite en

général pour0≤`≤m en vu d’obtenir la régularité sur P

n≥1Rn(·).

Nous terminons ce paragraphe par l’énoncé d’une formule simple, mais importante pour la

suite. Rappelons queh∈ H₀ sih:_R^d→_Cest Lebesgue-intégrable et ˆ_{h∈ C}0

c(_R^d,_C).

Proposition 2.2. Soit n ∈ _N. Soit f : E → [0,+∞[ une fonction mesurable telle que

IE[f(X_n)]<+∞. Soith∈ H₀, et soit b >0 tel que ˆ_{h(t) = 0 pour tout ktk> b. Alors on a}

IE

f(X_n)h(S_n)

= ¹

(2π)d

Z

ktk≤b

ˆ

h(t)IE

f(X_n)e^iht,S

n

i

dt.

Démonstration. En utilisant la formule d’inversion de Fourier avec h, puis le théorème de

Fubini, on a :

IEf(Xn)h(Sn) =

Z

Ω

f(Xn(ω)) ¹

(2π)d

Z

ktk≤b

ˆ

h(t)e^iht,S

n

(ω)i

dtd_P(ω)

= ¹

(2π)d

Z

ktk≤b

ˆ

h(t)IEf(Xn)e^iht,S

n

i

dt.

Remarque 2.1. Cas indépendant : (X_n)_n≥0 est i.i.d., S_n=Pn

k=1X_k, et f = 1_E.

La convergence uniforme de la sérieP

n≥1IE[e^ih·,S

n

i]dans la conditionR_d(m)(ii)est ici reliée

à l’hypothèse usuelle dite non-lattice :X1 n’est pas à valeurs dans un sous-groupe fermé propre

de_R^d. Les propriétés de régularité dans l’hypothèse R_d(m) sont assurées sous la condition de

moment IE[kX1km]<+∞.

Remarque 2.2. Dans le cadre général de l’hypothèse R_d(m) (avec f = 1_E pour simplifier),

la convergence de la série E(t) := P

n≥1IE[e^iht,S

n

i] pour t ∈ _Rd\ {0} est également reliée à

une hypothèse de type non-lattice. Pour le voir, plaçons-nous au contraire dans une situation

"lattice", à savoir supposons que les v.a.S_nprennent leurs valeurs dans un sous-groupe fermé

propre _S de _R^d. Soit_S^∗ le groupe dual de _S défini par :

S^∗ :={t∈_R^d : ∀s∈_S, ht, si ∈2π_Z}.

Alors la fonction t 7→ E(t) est (formellement) _S^∗-périodique, et comme E(0) n’est pas défini,

E(t) ne peut l’être non plus pour t ∈ _S^∗, et en conséquence, la condition R_d(m)(ii) ne peut

pas être satisfaite. Cependant, à condition d’adapter la condition R_d(m)(ii) au groupe _S, les

théorèmes de renouvellement des sections suivantes subsistent, la mesure de Lebesgue sur _R^d

étant alors remplacée par la mesure de Haar sur_S (à une constante multiplicative près), voir

la section 2.5.

Dans le document Théorèmes de renouvellement pour des fonctionnelles additives associées à des chaînes de Markov fortement ergodiques (Page 36-41)