Théorème de Ladner

DansNP, nous avons donc d’un côté des problèmesNP-complets qui sont difficiles si P̸=NP, et de l’autre des problèmesPqui sont faciles. SiP̸=NP, y a-t-il quelque chose entre les deux ? En d’autres termes, siP̸=NPexiste-t-il des problèmes deNPqui soient hors dePmais pasNP-complet (langages « intermédiaires ») ?

P NP-complet

ou

P intermédiaire

NP-complet

Figure 3.7 – SiP̸=NP, existe-t-il des problèmes « intermédiaires » (figure de droite) ou non (figure de gauche) ?

En s’inspirant de méthodes issues de calculabilité, Ladner [Lad75a] répond à cette ques-tion dès 1975.

3-AK Théorème (Ladner, 1975)

SiP̸=NPalors il existe un problèmeA∈NPtel que : – A̸∈P;

– An’est pasNP-complet.

Idée de la démonstration Le langageAseraSATavec des « trous ». Plus précisément, pour certains intervalles de longueur de mots,Asera vide (« trous ») tandis que pour les autres intervalles de longueur de mots,Asera égal àSAT(voir figure3.8). S’ils sont assez grands, les premiers intervalles garantissent queAn’est pasNP-complet, tandis que les seconds garantissent qu’il n’est pas dansP.

3-AL Remarque Avant de voir la démonstration détaillée, il nous faut formaliser le conceptd’énumération des machines de Turing fonctionnant en temps polynomial. Le code d’une machine de Turing n’est qu’un mot sur un alphabet fini, ce n’est donc pas difficile d’énumérer le code de toutes les machines,M₁,M₂, . . .On remarquera que dans cette liste, pour chaquei il y a une infinité de machines équivalentes àM_i puisqu’il suffit d’ajouter des instructions inutiles pour augmenter la taille du code.

3.2. Complétude 87 En revanche, pour énumérer seulement les machines fonctionnant en temps polynomial il faut une astuce. Il s’agit d’ajouter un ruban à la machineM_i permettant de compter le nombre d’étapes de calcul. Dès que le compteur dépassei+nⁱ (oùn est la taille de l’entrée), on arrête le calcul en rejetant. On obtient ainsi une nouvelle énumération(M_i^′) de certaines machines de Turing, dans laquelleM_i^′fonctionne en temps polynomial (i+ nⁱ) mais est éventuellement interrompue au cours de son calcul.

SiM est une machine fonctionnant en temps polynomial p(n), alors il existek tel que p(n)⩽ k+n^k pour tout n. SoitM_i l’une des machines équivalentes à M et telle que i⩾k. AlorsM_i^′fonctionne en tempsi+nⁱ⩾p(n), donc son calcul n’est pas interrompu et elle est aussi équivalente àM. Ainsi,(M_i^′)est une énumération de toutes les machines fonctionnant en temps polynomial.

Démonstration (th.3-AK) Si h :N→N est une fonction strictement croissante, on définit

SAT_h={φ|φ∈SATet∃i h(2i)⩽|φ|<h(2i+1)}.

0 h(0) h(1) h(2) h(3) . . . h(2i) h(2i+1) . . . n

; SAT ; SAT SAT

Figure 3.8 – LangageSAT_h.

Si, sur l’entrée1ⁿ, on sait calculer en temps polynomial h(0),h(1), . . . ,h(i)où i est le plus grand entier tel queh(i)⩽n, alorsSAT_h ∈NP. En effet, l’algorithme suivant convient pourSAT_h sur l’entréeφ:

– calculer h(0),h(1), . . . ,h(i)où i est le plus grand entier tel que h(i)⩽|φ|;

– sii est impair,rejeter;

– décider (de manière non déterministe) siφ∈SAT.

L’objectif est maintenant de définir une fonctionhayant cette propriété, et telle que SAT_h ne soit ni dansPniNP-complet. Pour cela, nous allons utiliser les deux observa-tions suivantes.

1. PuisqueP̸=NP(par hypothèse) et queSATestNP-complet,SAT̸∈P.

En d’autres termes, pour toute machine déterministe polynomiale M et tout entiern, il existeφtelle que

– |φ|⩾n;

88 Chapitre 3. NP-complétude – M(φ)accepte ssiφ̸∈SAT

(c’est-à-dire [φ ∈SATet M(φ) rejette] ou [φ ̸∈SAT et M(φ) accepte] ; en d’autres termes,Mse trompe surφ).

2. SiAest un langage fini (donc dansP), puisqueP̸=NPpar hypothèse,SATne se réduit pas àA.

En d’autres termes, pour toute réduction polynomialef et tout entiern, il existe φtelle que

– |φ|⩾n;

– f(φ)∈Assiφ̸∈SAT

(c’est-à-dire [φ∈SATet f(φ)̸∈A] ou [φ̸∈SATet f(φ)∈A]).

On définit arbitrairementh(0) =0. Les valeurs suivantes deh vont être définies grâce au temps de fonctionnement d’une certaine machine M, qui prendra en entrée des entiersi etm₀, . . . ,m_i−1(plus tard on prendram_j=h(j)).

Soit (M_i) une énumération des machines fonctionnant en temps polynomial (voir remarque3-AL) et qui calculent une fonction de{0, 1}^⋆dans{0, 1}^⋆: on verra tantôt M_i comme calculant une réduction, tantôt comme acceptant un langage (dans ce mode « acceptation », le mot est accepté ssi le résultat est1).

SoitM la machine suivante, sur l’entrée(i,m₀, . . . ,m_i−1):

– si i est impair, i =2k+1, énumérer par taille croissante toutes les formulesφde taille>m_i−1et simulerM_k(φ), jusqu’à trouver φtelle que [M_k(φ) =1ssiφ̸∈SAT] ;

– sii est pair,i =2k, énumérer par taille croissante toutes les for-mulesφde taille>m_i−1et simulerM_k(φ), jusqu’à trouverφtelle

Par les observations 1 et 2 précédentes, de telles formules existent forcément.

On définit alors récursivementhcomme suit :h(i)est égal àh(i−1)auquel on ajoute le temps de calcul deM(i,h(0), . . . ,h(i−1)). On remarquera notamment que la formule φrecherchée par M vérifieh(i−1)⩽|φ|<h(i)puisque le temps de calcul de M est évidemment supérieur à la taille deφ. De plus, sur l’entrée1ⁿ, on sait calculer en temps polynomialh(0),h(1), . . . ,h(i)oùi est le plus grand entier tel queh(i)⩽n, puisqu’il suffit de simuler les fonctionnements successifs deMjusqu’à ce que le nombre d’étapes total de la simulation dépassen. Ainsi,SAT_h∈NPpar ce qui précède.

Nous prétendons queSAT_hn’est pas dansPet qu’il n’est pasNP-complet. Pour montrer cela, nous raisonnons par l’absurde.

3.2. Complétude 89 SiSAT_h∈Palors il est reconnu par une machine polynomialeM_k. Par définition de SAT_h, pour toutφ si h(2k)⩽|φ|< h(2k+1)alors [φ ∈SAT_h ssiφ∈SAT]. Or par définition de h, il existe une formule φ de taille comprise entre h(2k)et h(2k+1) telle que [M_k(φ) =1ssiφ̸∈SAT]. Ainsi,M_k donne la mauvaise réponse pourφ, une contradiction.

SiSAT_h estNP-complet, alors il existe une réduction polynomiale deSATàSAT_h cal-culée par une machineM_k, c’est-à-direφ∈SAT ⇐⇒ M_k(φ)∈SAT_h. Or par définition deh, il existeφde taille comprise entreh(2k−1)eth(2k)telle que :

– soith(j)⩽|M_k(φ)|<h(j+1)pourjimpair etφ∈SAT, dans ce casM_k(φ)̸∈SAT_h et doncM_k n’est pas une réduction deSATàSAT_h;

– soit h(j)⩽|M_k(φ)|< h(j+1)pour j pair et [M_k(φ)∈SATssiφ̸∈SAT]. Or la taille deM_k(φ)implique que [M_k(φ)∈SATssiM_k(φ)∈SAT_h], doncM_k n’est pas une réduction deSATàSAT_h.

Ainsi, aucune machine polynomiale ne décideSAT_h ni ne réduitSATàSAT_h, ce qui

conclut la preuve. ⊓⊔

3-AM Remarques

– Le résultat original de Ladner est en fait sensiblement plus fort. On peut en effet faire la même construction à partir d’un langageA̸∈Pdécidable quelconque, plutôt que de partir deSAT. On obtient donc l’énoncé suivant : siA̸∈Pest décidable, alors il existeB̸∈Ptel queB⩽^pmAetA̸⩽^pmB.

En d’autres termes, sous l’hypothèseP̸=NPil existe une infinité de langages SAT>m^p A₁>m^p A₂>m^p . . .

tels queA_i+1se réduit àA_i maisA_i ne se réduit pas àA_i+1.

– On ne connaît pas de langage qui soit intermédiaire sous l’hypothèseP̸=NPet qui soit plus « naturel » que la construction de Ladner ci-dessus (bien que le problème de la factorisation d’entiers et celui de l’isomorphisme de graphes que l’on verra au chapitre10soient des candidats).

– Il découle du théorème de Ladner que la NP-complétudene peut pas être définie ainsi : « les langagesA∈NPtels queA∈P =⇒ P=NP». En effet, siP̸=NP alors tout langage intermédiaire (un langage deNPqui ne soit ni complet ni dans P) serait complet (car « faux implique faux »), une absurdité.

. ^{3-AN Exercice}

Montrer le premier point de la remarque précédente.

90 Chapitre 3. NP-complétude . ^{3-AO Exercice}

Montrer qu’il existe un langageA̸∈EXPqui ne soit pasEXP-difficile.

Indication : grâce à une stratégie de preuve similaire à celle pour le théorème de Ladner, transformer un problèmeL̸∈EXPen un problèmeA̸∈EXPqui ne soit pasEXP-difficile.