Le théorème De Birkhoff-Poincaré-Witt proposition 1 (Birkhoff-Poincaré-Witt)

Soient 9 une algèbre de Lie. % ( g ) son algèbre enveloppante et e s 9 • ^¿(9) l'application canonique;

i) s est injective (ce qui permet d'identifier 9 à son

On se propose de? construire? une représentation:

p : 9 • 9Ï<V)

Il suffit évidemment de définir piX^T^ pour tout i e 3 et tout i e I.

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b) p<X )P est défini tout P € V, et tout j < i.

j « Posons i = i+j de sorte que / e 3 et j < /; alors:

Fi+i si i < j

p ( Xi^{) T}i * |p(X.) <p(X )T ) +p([X.,X.])T.si i > j

On définit ainsi une application linéaire p : g • gt(V).

Il s'agit de montrer que c'est un homomorphisme d'algèbres de Lie.

On doit vérifier la propriété:

*><X,Y,P): p<X)p<Y)P - p<X)p(Y)P = p(CX,Y3)P

pour X,Y e g et P e V et il suffit de vérifier 5><X.,X.,T.) pour tout i,j € I et tout <f e 3 .

i) J><X.,X.,T ) est triviale ii) J><X.,X.,T.) «» J»<X.,X.,T .>

iii) ^ ( X ^ X .T^)e 5 t vraie; on peut prendre i > j alors on a:

p(X.) (p<X.)T^/3l) = p(X.)T

= p(X )p(X ) T^{t t} + P<CX , X . D T -iv) 5>(Xi,X^,T^) est vraie pour i < > ou j < ¿1

Supposons d'abord que i > j et que j < > de sorte que:

p(X.) (p(X.)T ) = p< X . M T )

= p(X )p(X )T + p(CX.,X 3)T

De même la propriété est vraie pour j > i et i < ^ et on conclut grâce à i) et i i ) .

On procède alors par récurrence: soit ^ e 3 tel que tij) = d > 1 et l'on suppose (hypothèse de récurrence) que 5><X,Y,P) est vraie pour tout X,Y e 0 et tout P e V .

Ci— x

Il suffit de considérer le cas où J = k + A avec k < A⁹ k < i, k < j .

On a alors:

p<X.)T » p(X.) <p<X ) TA)

mais 5><X ,X , TA) est vraie par hypothèse de récurrence d'où:

J K TV

p(X.)T = p(X^t ) (p(X.)T^A) + p(CX.,X.3)TA

) J k j A j k A or on a :

pi*.)T^A = T . + P avec deg(P) < d

5><X , X ,T .) est vraie parce que k < j et k < A i k j+A

^<X , X ^fP ) est vraie par hypothèse de récurrence Il en résulte que 5><X., X^t ,p(X.)T^â) est vraie.

* k j A

D'autre part ^(X^, CX^, X^fc J, T^) est vraie par hypothèse d e récurrence.

On a alors:

p<X.)p<X.)T. = p(X.)p(X ) (p(X.)T.) + p<X.)p<EX.,X. 3 ) T^A

V J ^ V K J TV V J K TV

- p<X. >p(X. > <p<X.)T^A> + p([X.,X ])p(X.)T.

ÏC v J T v V JC J T V

+ p<EX.,X. 3 > p < X . ) T^A + p<CX.,CX.,X. 1)T.

J K v f v V J IC f v

De nfme on obtient que:

p(X.)p(X.)T. - p ( X )p(X.) < p ( X . ) T^A) + p<CX.,X 3 ) p ( X . ) T^A

J V £ JC J 1» f v J IC V T v

+ p < C X , X 3 > p < X > T^A + p<CX.,CX.,X. 3 ) T^A

v K J ^{T v} J v IC ^{T v}

d'où:

p(X.)p(X.)T. - p(X.)p(X.)T.

= p<X. )p(X > < p ( X . ) T^A) + p(CX.,X. 3 ) p ( X . ) T^A le v j f v v le j TV

- p(X, )p<X ) (p(X. )T.) - p(CX.,X, 3 ) p ( X . ) T^A Je

j v

^{A ^ y k}

t

^A

+ p < [ X . , X , ] ) p ( X . ) T^t + p<CX.,CX.,X, J ) T -j k v A v -j k A - p(CX.,X. 3 ) p ( X . ) T^A - p(CX.,CX., X ] ) T .

v Je j ^TV j v le ^TV En utilisant l'hypothèse de récurrence PiX^X^T^) on a:

p<X.)p(X.)T. - p(X.)p(X.)T. == p(X^m )p(CX. ,X.3)T^â

+ p ( C X . , C X^{j f}X^k3 ) T^A + p ( C X^j, C X^{k f}X . 3 ) T^A En appliquant l'identité de Jacobi on trouve que:

p(X.)p(X.)T. - p(X.)p(X ) T . == p(X )p(CX. ,X.])T^A - p(X .[X,,X.])T^A

v j ^ j * ^ k ^ v' j TV

^

k* j A

Enfin, l'hypothèse de récurrence PiX ,CX., X.19TA) montre que:

le v j TV

p<X.)p(X.)T. - p<X.)p<X.)T • p<CX.,X.])p(X, ) T^A

= p(CX.,X.3)T ..

Ainsi J><X.,X.,T.) est vérifiée.

2 ) La famille < X ^ >^{i e 3} est libre dans « < Q )

La propriété universelle de l'algèbre enveloppante M < Q ) montre qu'il existe un unique homorphisme d'algèbre associatives:

p :«(9> • E n d^c< V ) tel que p » « = p .

87 Une récurrence immédiate montre que:

p ( X . ) Tn = T. pour tout i e 3 de sorte que J c^X^ = 0 + £ ^Ci P^{( X}^^{) T}0 ~ ⁰ J ciTi 5 5 0

donc c^ = O pour tout i e 3 .

3) La famille < x ^ ^ ^ est une base d e UiQ).

L'application £r : 9 • ^(9) est injective. On identifie 9 à son image dans .

Désignons par %i (9) le sous-espace vectoriel d e ^(9) engendré par n

les produits Z^, O < r < n, Z ^ . - . Z ^ <E 9, d'au plus n éléments d e 9 .

et montrons, par récurrence sur n, que U (9) est engendré par les n

tels que tii) < n (c'est trivial pour n = O ) .

On sait que la famille t * ^ ^ engendre l'algèbre « ( 9 ) (puisqu'il en est ainsi pour l'algèbre tensorielle T<Q)).

Considérons alors un mon S me X. . ....X. avec n > 1 et

en effet il suffit de décomposer a en un produit de transpositions a » T . . . T . où T . (1 < j <n-l) est la tranposition (j,j+1); on

3 . La filtration canonique d e l'algèbre enveloppante.

Pour tout n > 0 , soit ^ⁿ<9* ^{l e} sous-espace vectoriel de

^(9) engendré par les produits d'au plus n éléments de 9 et U (9) « C0> pour n < O . On a:

8 8

U <Q>U (0) c U <©) m n m+n

de sorte que ( 0 ) ) > est une -filtration de l'algèbre tt(0).

L e produit d e W < 0 ) induit sur l'espace vectoriel S*<î*<0>>, somme directe d e s 2?A.^N<^<0>> = U <0)/tt ( 0 ) , n 2 O, u n e structure d'algèbre telle que:

Puisque pour X , , X e 9 et a € © on a:

1

^{n n}

X .... X - X X <= %C ( 9 ) oxi> oxn; i n n-i

on voit que l'algèbre ISiCUiQ)) est commutât i ve. Par suite. il existe un unique homomorphisme d'algèbres:

P ; J*<9> • ^ ( « < 9 > )

prolongeant l'inclusion canonique 9 = <^<9> ) • £ 4( ^ ( 9 ) ) . proposition 3.1

L'homomorphisme canonique:

i> ; J^C9) • » 4, ( ^ ( 9 ) ) est un isomorphisme d'algèbres graduées.

# Soit (X.). une base de 9 , telle que l'ensemble I soit bien ordonné d e sorte que les monômes X. X. avec i < .... < i

l k et v + + v < n forment une base de %L ( 9 ) .

i k n Les monômes X ¹ X. , calculés dans ^ ( ^ ( 9 ) ) , avec

i k

i < . . . . < i. et v + . . . + v = n forment une base d e Ç i T i t t i Q ) )

1

^k

1

^k

et sont les images par f> d e s mon S mes analogues calculés dans J^<9>.

or c e s derniers forment une base de . ) "ⁿ( 9 ) . • corol laire 1_

i) L'algèbre ^ ( 9 ) est intègre

ii) Si l'algèbre de Lie 9 est de dimension finie, l'algèbre est noethérienne.

• i) <>*<9), donc l$i(%tiQ) ) , est intègre. Soient u,v d e s éléments non nuls de tUQ) et m (resp n) le plus petit entier tel que u e %t ( 9 )

(resp %l ( 9 ) ) de sorte que les images de u et v dans J?t(W(9)) sont n

non nulles d e sorte m+n est le plus petit entier tel que uv e %C ( 9 ) et en particulier uv est non n u l .

m+n

ii) Supposons 9 de dimension finie; ^ < g ) , donc $ 1( ^ 1 ( 9 ) ) . est noethéri en d'après de théorème de la base finie d e Hilbert. Soit 3

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un idéal (à gauche, par exemple) de % ( Q ) ; pour n £ O, posons 3 = 3 n ^ (9) d e sorte que la somme directe £ M 3 ) d e s S*ⁿ<3> = 3 / 3 est un idéal gradué de J?*<^<0)>. Si 3 et 3 sont deux idéaux d e UiQ) tels que 3 c 3 et S*<3> • S*<3> on a alors 3 = 3 ^{d e} sorte que toute suite croissante (3 ) ^ d'idéaux d e %1<Q) est stationnaire. •

On munit l'espace vectoriel UiQ) G^UiQ) d'une structure d'algèbre en posant:

<u#v)(u'#v') = (uu')^(vv') pour u,u',v,v' € t*<0)

Le co-produit d e $¿(0) est l'unique homomorphisme d'algèbres:

A : ^ ( 0 ) • <U{Q) *^c^ < 0 >

tel que A(X) = Xfcl + IttX pour tout X € 0. Un élément u € UiQ) est primitif s'il vérifie la relation: A(u) = u^l + lfcu.

corollaire 2

0 est l'ensemble des éléments primitifs u de ?l(0).+ 1) Supposons d'abord l'algèbre d e Lie 0 abélienne; si ^{i €1 e s} * ^{u n e} base d e 0 , ^ < 0 ) = J^<0) s'identifie à l'algèbre de polynômes CCX 3 tandis que <^(0) « ^ ( 0 ) s'identifie à CCU..V.3. et l'on a, pour tout f € C C X 3 , A<f)<<U.,V>. ) = f M U . + V . ) . ) d e sorte que f est primitif si et seulement s i :

f ( (U -«-V ) ) = f < (U ) ) + f ( (V ) )

i i i€I i i<EI i v€=I

ie f est homogène d e degré 1.

2) Revenons au c a s général. Posons, pour n > O :

<<UiQ) * ^c MiQ))^ = (J ^^p<9> * ^ <9>>

p+ q=n P q

ce qui munit l'algèbre UiQ) *W(0) d'une filtration et permet d e considérer l'algèbre graduée associée ^ tl(0>), somme directe des espaces:

S*ⁿ<^<0) <*^c UiQ)) = <t*<0> «>^c ^ < 0 > W < ^ < 0 > ^ ^c ^ ( 0 ) ) ^ de sorte que l'on a un isomorphisme:

$*<tt<Q) * ^c « ( 0 ) ) * $*<«<0)> * ^c S*<«<0>) On a:

A ( ^ ( 0 ) ) c (^(0) <&V ^ ( 0 ) ) de sorte que A induit un homomorphisme d'algèbres:

$ 4 < t t< 0 > > • 3?*<W<0) ) ^ ^c ÇiilCiQ))

qui, par l'intermédiaire de 1 ' isomorphisme f> s'identifie au coproduit:

Soit u e U <g) un élément primitif; sa classe n

û e S*ⁿ<^<0>> est alors un élément primitif de 3?*<t<<9>> ac .T<9> d e sorte que u « O si n * 1. On a donc u = O si n = O et u e (9) si n > 1 d e sorte que u e ^ ( 9 ) ie u = X + s l ^ ^ ; alors 5 = 0 et u = X e 9. •

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CHAPITRE VII

Dans le document Algèbres de Lie semi-simples et affines (Page 97-104)