GROUPE ASSOCIE A UNE ALGEBRE DE LIE SEMI-SIMPLE

1- Groupe associé à une algèbre de Lie semi-simple complexe.

Considérons une algèbre de Lie semi-simple complexe 9, t) une sous-algèbre de Cartan et $ l'ensemble des racines de 9 relativement à t).

Proposition 1,1

1) Il existe un groupe G et une application:

exp :

U

9 • G uniques à un isomorphisme près, tels que:

i) exp( U 9 > engendre G

ii) pour toute représentation p' : 9 • 9Ï(V) de 9 dans un espace vectoriel de dimension finie V, il existe un représentation (nécessairement unique) p : G GL(V) de G dans V telle que:

p(exp(X)) = exp(p'(X)) pour tout a e $ et tout X e 9^.

iii) si g ^ G est tel que p(g) = id^ pour toute représentation p' : 9 • 9Ï(V) de 9' dans un espace vectoriel de dimension finie V on a g = e.

2) Soient p* et p' deux représentations de dimension

i 2

finie de 9, p^ et p^ les représentations associées de G; alors p^ e pz (resp p^ # p^) est la représentation associée à p^ e p*

(resp p* # p ^ ) .

3 ) Soit n un système simple de racines; la r epr ésent at i on :

p : G • GL(V)

associée à la somme directe des représentations fondamentales:

Py : 9 • 0Ï<V) est fidèle.

• Soit T (9) la somme (dans la catégorie des groupes) de la famille des groupes additifs * Ôa*a €$ e t pour tout a € S, soit

le morphisme canonique; toute représentation de 9 dans un C-espace

vectoriel de dimension -finie:

p" : 9 • 9*<V>

définit un homomorphisme

P * : R*(Q) > GL(V)

tel que P © j (X) = exp <P' (X)) pour tout a e $ et tout a e g .

*

^{a a}

Soit N (Q) l'intersection des noyaux de ces homomorphismes; alors S = R*<0)/ N*(g) et si p : R*(g) • G est 1'homomorphisme canonique on pose, pour tout ex e $ et tout X e g^:

exp(X) = p O j. ( X ) . a

Soient N un système simple de racines, (À )^{< t <} la famille de poids fondamentaux relativement à N , P ' : Q • 0Ï(V) la somme directe des représentations irréductibles de plus grand poids At, P^ : Q • g K L C A J ) et P : G • GL(V) la représentation associée à P '; si P< g ) = e avec g e G on a P. (g) = e pour :t<i<l et comme toute représentation de dimension finie est une somme directe de produits tensoriels des représentations P^, l<i<l on a g = e.

Ainsi P induit un isomorphisme de G sur le sous-groupe de 6L(V) engendré par les e x p(P' ( X ) ) = P( e x p ( X ) ) , X e U 9 d'où

ote$

l'unicité de G à un isomorphisme près. • Proposition 1 . 2

Soient G le groupe associé à l'algèbre de Lie 9 et Ad : G • GL<9> la représentation de G associée à la représentation adjointe ad : 9 • gt<9> de 9;

i) pour toute représentation P ' : 9 • 9Ï(V) de 9 dans un espace vectoriel de dimension finie V, on a, pour tout g e G et tout X e 9:

P'(Ad(g)X) = P( g) P ' ( X) P( g ) ~¹

ii) Pour tout g e G, Ad(g) est un homomorphisme d'algèbres de Lie.

iii) Le noyau de Ad est égal au centre ZiB) du groupe G.

# Notons que si S et T sont deux endomorphismes d'un espace vectoriel V de dimension finie avec S nilpotent, alors ad = L - R est nilpotent et l'on a (en appliquant la formule du

s s s b i n ô m e ) :

121

e x p ( a dw) T = exp(S)Texp(-S) de sorte que pour X « 9 et Z e U 9 on a:

p'(Ad(exp(Z))X) = p'(exp(adz)X)

= exp(ad , p'(X)) p* <zr

= exp(p' (Z) )p'(X)exp(p'(Z) ) "1

= p(exp(Z) )p' (X)p(exp(Z) ) "i

d'où le résultat puisque G est engendré par exp( U 9 ) . Pour X,Y e 9 et g e G on a:

p'<Ad(g>CX,Yl> = p(g)p'(CX,Yl)p(g)"¹

= Cp<g)p' <X)p(g)"1,p(g)p' (Y)p(g)"13

= C p M A d ( g ) X ) ,p' <Ad(g)Y) 1

= p' (Ad(g)X,Ad(g)YD pour toute représentation p' : 9 • 9 l( V ) .

Enfin, pour g e Ker(Ad) on a pour tout X e U 9 et toute représentation p ' :

p(g)p'(X) = p'(X)p(g) de sorte que:

p(g)exp(p' (X)> = exp(p'(X))p<g) d'où:

p(gexp(X)) = p(exp(X)g) ie g € ZiG).

Réciproquement si g € C ( G ) , on a:

exp(p'(X)) = p(g)exp(p'(X))p(g)"1

= exp(p(g)p' (X)p(g)"1)

= exp(p'(Ad(g)X))

pour tout X € U 9 et toute représentation p'- Comme p'(X) est nilpotent, il en est de même de p'(Ad(g)X) de sorte que:

p' (X) = p' (Ad(g)X) et finalement g «s K e r ( A d ) . • remarque

Soient g € G et <x « $ tels qu'il existe ft e S vérifiant:

A d < g> 9^a = alors on a, pour tout X € 9^:

exp(Ad(g)X) = gexp(X)g"i

• Pour toute représentation p' : 9 • 9l(V) de 9 dans un

espace vectoriel de dimension finie V,on a:

p<exp(Ad(g)X) = e x p< p '( A d ( g ) X ) )

= p( g ) e x p( p ' (X) ) p( g ) ~ *

= p(gexp (X) g"¹) # 2. L e s sous-groupes SL(2,C) associés aux racines.

Pour tout ot € on désigne par G^ le sous-groupe de G engendré par e x p(9^ u Ô > •

Proposition 2 .1

i) Pour tout ot € $ et tout X «E a \{0>, il existe un unique homomorphisme de groupes:

p : SL(2,C) • G tel que, pour tout s € C :

p (x(s)) = exp(sX) a,x

(y (s) ) = exp (sY)

où Y l'unique élément de 9 tel que C X, Y J = H ; ii) Pour tout t e C on a:

F A bl F ^{A T B} L

^a,ix (c dl

J

^{^ot,x ^-*c}

pour tout g = ^ bJ e S L ( 2 , € ) .

iii) Pour tout (3 e tout X' e g^\{0> et tout g € SL(2,C) on a Ad (q ) (0^> = 9 ^ et:

* a,x ^ f t r <f?>

p ^ , ( 9 ) ⁼ q *p n (g)q

r (/?>,AD<Q KX') \a,x 7?,x- ^ot,x OC Ot,x

où q = exp(X)exp(-Y)exp(X).

ct,x

iv) Pour tout a € f et tout X € 9 \{0>

a f> : SL(2,C) • G

a,x

induit un isomorphisme de SL(2,C) sur G^.

De plus, 1'homomorphisme (injectif):

C • G

H

t • t ^a = p (h(t)) a,x

ne dépend pas du choix de l'élément X € 9^\£0> et l'on a, pour toute représentation de dimension finie:

p ' : 9 > 9<<V)

123 Alors les relations suivantes sont vérifiées:

x (s+t) = x (s)x (t) qui a pour homomorphisme associé une représentation:

p : S L( 2, C ) • GL(V)

Par suite, grâce à la définition par générateurs et

relations du groupe SL<2,C) on en conclut qu'il existe un unique homomorphi soie d e groupes

P : SL<2,C) • G

ii) Puisque les deux membres sont des homomorphismes de SL(2,C) dans G il suffit de montrer l'égalité pour g = x(s) ou

Puisque 9 est de dimension 1, on voit que 1'homomorphisme:

H

125

iv) Soient n » / l<i<l> un système simple de racines et ( X ^ ) ^ ^ une famille d'éléments non nuls de Q avec X^ #= ; on dimension finie et l'on a:

H . A . < H >

(-1) v- vA = (-1) x vvA = - vA

A A. A.

de sorte que h(-l) «r K e r C ^ ) . Or Ker (f.) est un sous-groupe distingué de SL(2,C) donc égal à SL(2,€) ou contenu dans son centre; il en résulte que est in jectif.

v) Il suffit de démontrer l'égalité pour g = x (s) ou yn

126 On a encore une bijection:

0 \C0> — — — ~ + M

On désigne encore par T le sous-groupe de G engendré par {T^ / a € 1} et par N le sous—groupe engendré par <!N^ / a e $>.

D'autre part , étant donné un système simple de racines N = ta / l<i<l>, pour chaque i <E 1 1 , . . . 1 ) , on choisit X un

127 Proposition 2.2

1) L'application:

( C * )¹ > T

H.

( T- > < • < . *• N T .V

est un isoiitorphisme de groupes.

2) Soit W le sous-groupe de G engendré par ^ T * ^ ^ ^E* "

T le sous-groupe de W engendré par ( q2) ^< f alors:

i) W est défini par les relations:

2 - 1 2 - 2 A .

QJ QI QJ = QT QJ L'J

q q q . . . = q q q ... ( m . termes)

I J I J V J V,J

où m est l'ordre de r r dans le groupe de Weyl W.

ii) T est un sous—groupe distingué de W; il est égal à l'ensemble des éléments d'ordre < 2 de T et est isomorphe à

( Z / 2 Z )¹.

iii) La représentation adjointe induit un isomorphisme de groupes:

rr : W / f • W qf • Ad(q)|t)

3 ) Le groupe N est engendré par les sous-groupes T et W, normalise H et la représentation adjointe induit un isomorphisme de groupes:

rr : N / T • W nT — • Ad(n) \ t)

# 1 ) Puisque pour tout Q-module de dimension finie V, tout v e et tout X <= P(V) on a:

H X<H >

pit ) v = t v

on voit que le groupe T est abélien et que, pour l<j^l et toute racine c* € $:

H H -a.<H > H .

t

v ⁰⁰

^{= t a <t J a > J}

d'où il résulte, par récurrence sur la longueur des éléments de W, compte tenu de ce que * = W< n ) , que l'application:

H.

(t ) • n t v

H.

est surjective. Enfin , si l'on a j] t. = e, on voit que:

i< I< l ^v

A . < H . > distingué dans W, et on a un unique homomorphisme:

n : W — * W

tel que 7T<q. ) = q. pour l<i<l. De plus n induit un isomorphisme de T sur T: en effet si t € T\Ce> on a t ~ q. q. . . . q. avec: k>l de

Vl V2 Vk

129

sorte que, pour tout 9-module de dimension finie V, tout X « P(V)

\ < H . >+\<H. >+. . . + \ < H >

et v € on a ir(t)v = (-1) 1 2 v et par suite rr(t) * e.

Or on a, puisque t) ⁼ 9^Q* T <= Ker(n) d'où un homomorphisme de groupes:

^ ^ rr — — 77

f : W / T - • W / T > W tel que f (q.T) = r. pour l<i<l.

D'après la définition de W par générateurs et relations, il existe un unique homomorphisme:

g : W • W / T

tel que g(r.) = q.T pour l<i<l, de sorte que f et g sont des

A

isomorphismes réciproques. Il en résulte que n et n sont des isomorphismes. Enfin, puisque Î T |T et n sont des isomorphismes, il en est de m@me de rr.

Soit T , l'ensemble des éléments de T d'ordre < 2 : on a T c T .

(2> <2>

Réciproquement soit t «E T : on a, de manière unique,

H .

t = |"| t. de sorte que t. = 1 pour l<i<l.

i<i<l ^v

3) N est engendré par T et les M , a e S; mais on a M = q M q"1 et M = q T donc N est engendré par W et T.

r.<oo i ot i ot. i ot, Pui sque 1'on a:

q t 1 (q ) = t ot

^ot,x ct,x

on voit que T est un sous-groupe distingué de N. On a T e Ker(rr), puisque t) = 9^, d'où un homomorphisme surjectif:

TT : N / T • W

tel que n(nT) = Ad(n) |t) de sorte que, pour l<i<l on a n(q.T) = r.

et on voit comme ci-dessus que rr est un isomorphisme. • 3. Bases de Chevalley.

Soit n = {or / l<i<l> un système simple de racines et pour chaque i e Cl,..,l>, soit X un élément non nul de 9 ^ , on

i pose q = q

i ot ,x

Soit W le sous-groupe de G engendré par ^^«ct/ci e* T

le sous-groupe abélien distigué de W engendré par les éléments

3) M est formé de deux éléments inverses l'un a

éléments sont inverses l'un de l'autre; d'autre part on a:

M = q M (q.)"1

r. <cx> v a \ pour l<i<l de sorte que:

M = q . . . q M (q. )"1...(q. ) ~1

formé de deux éléments inverses l'un de l'autre. Si m est l'un des

_ ^H

CX ,X 1 = - H

<X,m -a,m O»

A d < q ) X ^ = X M p o u r t o u t q « W et

7T<q>CX,qmq

t o u t c* <= $ et m € M . a

En p a r t i c u l i e r o n a A d ( m ) X = X p o u r t o u t m e M .

OL,m -C*,m a

H H

• q_ = (-1) q = (-1 ) m = m .

OL,m Ot,m

S o i e n t X € 9^\<:0> et Y l ' u n i q u e é l é m e n t d e g ^ \ { 0 > tel q u e CX,Y3 = H , o n a v u q u e q = (q )"⁴s d e s o r t e q u e . si l'on p o s e m = q on a Y = X = -X #

a,x -i -cx,m

Ainsi (X > - est la r é u n i o n d ' u n e b a s e d e Y g

et d e s o n o p p o s é e e t , p o u r a,/?e *, m € M^, n e on a:

6

f(-i> ^m'ⁿ H . _ ⁿ CX ^x 3 = J ^a sia+/? = O

Il r e s t e d o n c à d é t e r m i n e r l e s c o n s t a n t e s d e s t r u c t u r e d e g l o r s q u e <x+ft e *; on a d a n s c e c a s C g ^ , g ^ l = 9^{a +}^ - On p e u t d o n c p o s e r , p o u r a⁹fi⁹y € * t e l l e s q u e c*+ft+y = 0, m e M^, n <s et p e M :

EX ,X 1 = *<<a,m«/?,n,r,P>* <«,^>X a v e c :

é: :

U

(M x

FL

x M ) • C * a fi y

cx+ft+ y-o

et f <<*,/?) le p l u s p e t i t e n t i e r f € W tel que f?~f c* er $.

p r o p o s i t i o n 3 . 3

L a f o n c t i o n d e T i t s s est c a r a c t é r i s é e p a r l e s t r o i s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s , o ù a,fi et y sont t r o i s r a c i n e s t e l l e s q u e

<x+ft+Y = 0 e t m e h , n € M⁰ et p € M :

1 ' or fi Y

i) (a,m,^3,n,^,p) = (^,n^f ^ , p , a , m )

i i ) é:(a,ro,/?,n,^,p S = - ^ ( a , m⁹fi⁹n⁹y⁹p}

... „ ^ ~it , « * f«x,fi)+t

m ) é: (a,m,f?,n,^,mn(n ) = (-1) si fi<H ) = - 1 .

1 a

131

En particulier, la fonction s est à valeurs dans Z = {.—1,1>. x

* Tout d'abord on a:

CX , X^{r t} 1 = ^<ot,m,/?,n, y, p)f ia,(3) X

= ^(a,m,/?,n,7^,p *) f (ot, /?) X

= —s (a, m⁹ /?, n, ^„ p ) f (a,/?) X d'où il résulte que:

^<c*^?m, ^^f n^?? % P ""*> - ^(a,fn,f?,n,^,p) Ensuite, l'identité de Jacobi s'écrit:

CCX ,X„ ],X 1 + CLX^ ,X 1, X 1 + CCX , X 3,X^ 3 = 0 ot,m f?,n ^,p /?,n ^,p ot,™ a, ni /?,n

d'où:

£ (a,ip,/?,n,^^¥p) f (a,/?)H + ^(/?,n,f ^fp,a,rn)f (f?,^)H

+ c <^,p, a,m,/?,n) f (^,a)H^ = O Or on as

f (a,/?)H + f (/9,R>H -F- f <R,a)H = O d'où il résulte que:

£<a⁹III,f?^f n,}",p) = ^ < ^ n , ^ , p , a, F L I )

Supposons que /?<H^) = -i (ie HotH > max ( Hf?H , lir• > > - Soit 9 la scus-algèbre de g engendrée par 9 ^ et Q_^a* ^{l a} représentation:

8

« >

^{0 t <}

£ < W

^}

Z » ^{a d} J ^

est irréductible de rang d+1 = dim<^ 9 ^^{+ k a >} ~ P^Q⁴^¹ ? °& C~p, ql est l'intervalle des k €= Z tel que /?+ka € # et l'on a /*<H > =^: p~q = -1 de sorte que d = 2p+i.

On a alors, pour X e 0 ^ et Z e 9 ^ ad Z = (-l)^p(p+i)AdCq )Z

avec Ad ( q ) Z <e= 9 = 9 ce qui donne, pour m « M et n e M⁰: ot

CX , J = <-l>^p

<p+l>Ad<m>X-- (<p+l>Ad<m>X--l)^p(p+l)X ^t On a donc:

, ⁰ - 1. , . . f <ct,/9>+i ^

« : ( a9I N⁹^⁹N , ^ , N I N F I I ) = (-1) •

133 corollaire

Pour <*⁹ft⁹r « * telles que <x+ft+y = O, m <= M , n e M - et p e M :

é:(c*,m,/?,n,r,P> = -*</?,n,<x,m,r,p) é:(-a,m,~/?,n,-y,p) = s (a, m,f?, n,y⁹ p)

• L* anti symétrie de la fonction provient de celle du crochet de Lie et du fait que f (ex,/?) = f </?,cx) si ex,/? e f et a + e S.

Pour la deuxième propriété, posons:

<cx,m,/3,n,^,p) = (-a,m,~^3,n,~^,p) On a alors les propriétés:

s⁹ (a,m,^?,n,^,p) = £<-a,m,-Y?,n,-T,p)

= *?<-/?, n, - 7 S P * -a, m)

= -*:' (^?,n,^,p,a,m)

*' <a,m,/?,n,}",p~1> = ér<-a,m.-7?,n,-r,p~1>

= < ~ot, m, -f?, n, ~r, p )

= -*:' (a,m,/?,n,r,p)

£:' (a,m,/?,n,?",mnm *) = (-a, m,-/?, n,-j', mnm *)

= <-i )^{f (}~^a' "^{/ 9 >}*¹

= ^ ( a, m, ^ î, n , y , p ) si BaH > max ( H/?H , M^H > # Proposition 3 ,4

L'unique élément co de GL(0) défini par:

co(H) = -H pour tout H € t)

00 (X ) = X pour tout a e * et m e M

a, m -a,m a

est un automorphisme involutif de 9.

(involution de Cheval ley associée à n et < x i ) 1<ⁱ<^{l )}

# Puisqu'on a la décomposition en somme directe 9 = t) m J 9^ et que X et X sont deux éléments opposés de 9 \{0>, co est

CX,m

défini et on a:

Co>(H) ,co(X ) 3 = C-H, X 3

= -a(-H)X

= a(H)co(X ) cx,m

= co(CH,X 3)

Soient a⁹ft e $, m € M et n € M-:

* EX /?

i ) ft = —a et n = m ou m"¹

Cco(X ),A><X )3 = CX ,X 3 6

= -(-1) ^m'ⁿ H a

= (-1) ^m6 'ⁿ co(H ) a

= A>(CX , X 3) i i) a+f? = O

A>(CX , X ^ 3) = O

Cto(X ),w(X⁰ ) 3 = CX ,X - 3 = O iii) a+/? € $ et p € M

-Cto(X ),co(X⁰ ) 3 = CX ,X ⁰ 3

= ( - a , m, -/?, n, a+f?, p) f (-a, -ft) X _^a_ ^^p

= ^<a,m,^,n,-cx-7?,p)f ( a , ^ ) « ( X^{a +}^^p)

= co(CX , X^ 3

de sorte que co est un automorphisme de l'algèbre de Lie 0. •

Soit * l'ensemble des racines positives relativement à +

$; posons m ^ = q^ pour l<i<l et pour chaque ex € *^\n soit m ^ l'un i

des deux éléments de M et m = m~ : on pose alors X = X

a -a a a a,m

a pour tout a e $ de sorte que ((X ) -, <H. ) ^.^^m) est une base de Cheval ley de Q c'est à dire telle que, pour tout a e $:

CX ,X 3 = H

ex ~a a

<A>(X ) = "X

a -a

En posant, pour deux racines a,/? «E * telles que ex+/? € $:

CX ,X 1 = N X _

on a la relation de Weyl:

N == -N ^rt -ex,-/? a,/?

et la relation de Chevalley:

l^Nc^ l - P^{+ 1}

où p est le plus grand entier naturel tel que ft-pex e *. Le signe s _ de N _ étant déterminé par la fonction de Tits sz

a,ft a,ft

s = sic*, m , /?, m_, -ex-/?, m⁰ ) .

135

CHAPITRE XI

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