1. Lm groupa de Qrothendieck d n Q-modules dm dimension -fini».
On désigne par Z<t) > le groupe abélien des applications -f de t)* dans Z dont le support est contenu dans une réunion -finie de parties de t) de la -forme DCA) = tX e t) / X < A } . Pour f,g e Z<t)*>, on pose:
(fg) (X) = J f(/u)g(X-/u)
0 0
pour tout X <E t) de sorte que Z<t) > est muni d'une structure d'anneau commutâtif et unitaire.
X
Pour chaque X e t) , on note e l'application fj • 6. ; c'est un élément de Z<t) > (on notera symboliquement J f ( X ) «X l'élément i de Z < 1 ) * » . On a « ^ V =
41 4*
pour X , / L I € t) de sorte que le sous-groupe de Z<t) > engendré par les e pour X e t) (resp pour X e P) est un sous-anneau Z<t) >
0
isomorphe à Ztt) 3 (resp à Z C P 3 ) . Proposition 1.1
Soit p la demi-somme des racines positives; on a:
£> = ep f] (1 - e ~a) € ZCP3
0
4-De plus Z> est inversible dans Z<t) > et l'on a:
3D"1 = e "p( J ^>(r)e""r).
y<=Q
4*
(où, pour ^ € t) , 5>(^) est le nombre de familles
^ *
(*V
i :<
k<
s € W° telles que y= J£ i y
k avec 3+= t^, *^
B})-• Pour l<i<l, ^t< p ) = p - a, de sorte que:
r. (p) (H. ) = p(r. (H. ) ) = -p(H. )
= p(H. ) - a. (H.) = p(H. ) - 2
t V V t
0
d'où P < H ) = 1. D'autre part, on a, dans Z<t) >:
l P<r>*~r - Il (1 + •-0 1 + .-2 0* + )
+
Un 9-module V possède un caractère s'il vérifie les conditions:
i) V est diagonalisable
ii) est de dimension finie pour tout X e t)
iii) P(V) est contenu dans la réunion d'un nombre fini d'ensembles de la forme D(À) avec A e t)*.
Le caractère de V est alors défini par:
ch(V) = J d i m ( Vx) eX e Z<t)*>
Proposition 1,2
Soit A e t) , le module de Ver ma MCA) possède un caractère et l'on a:
A+p ch(M(A) « -5
• Posons * = {}',...,}'}; pour chaque k, 1 < k < s, soit Z_
un élément non nul de 9 de sorte, pour tout X < A, les
~rk vecteurs:
Z (v)vA = Z 1 Z 8 vA
A -y -Y A
tels que ) ^k^k = ^ "~ ^ forment une base de M ( A ) ^ , On a donc:
l<k<e
ch(M(A)) = J PiA - X ) eX = eA( J J P< r ) e ~r) . # X<A r&Q
Le groupe de Weyl W opère sur l'anneau Z<t) > en posant w.e^ = ev <^} pour w e W et X e t)*- Les sous-anneaux Ztt)*l et ZCP3 sont stables pour cette action.
113 Proposition 1.3
i) On a, pour tout w «E W:
w.£> = * <w)E>
(où on pose £(w) = d e t ( w ) ) .
A v
ii) (S(e ^ y ^ , - ^ est une base du Z-module ZCP3 (avec S(e^) = J # v <* > p o u r tout A. € P)
v € V
• i) Il suffit de vérifier cette relation pour w = r., 1 < i < 1.
On a:
r .£) = r . ( ep
fi
(1 - e ~a) )V t
+
P~a. a. _ -r.<oo
= e \ l -
• ) Il
l <1 - • v )= £<r.)X) • v v
puisque f^XCcO est stable par n et que sir Ì = 1
-ii) Si f = ) n^e e ZCP3 , on a = n^ pour tout A e P et tout AeP
w e W; de plus toute orbite de W dans P rencontre P n C en un
V A
unique point de sorte que f = } n^S(e ) . • A*=pnc
Désignons par X ( © ) le groupe de Grothendieck de la catégorie des Q-modules de dimension finie; le produit tensoriel défini par X(u <6> v) = (Xu) # v + u # (Xv) pour X € g, u e V et v e M induit sur JliQ) une structure d'anneau commutatif (et u n i t a i r e ) .
Proposition 1.4
i) L'application
X ( 0 ) • Z C P 3W
CV3 • ch(V) est un i somorphi sme d'anneaux.
ii) L'homorphisme d'anneaux
<p s Z E T f. . .fT 3 • Jt(0) tel que <p(T. ) = EL(A. )3 pour l<i<l est un isomorphisme.
# Si V est un Q-module de dimension finie on a ch(V) e Z E P 3 . Puisque l'on a dim(V . ) = dim(V. ) pour tout A e P et tout w e W
on a:
w(ch(V>> = J d i m ( Vx) ew ( X ) = J d i m ( Vw- i( X )> eX = c h ( V ) .
Considérons deux modules V et V de dimension finie tels que:
ch(V) = ch(V')
et montrons par récurrence sur dim(V) = d i m ( V ) que V et V* sont isomorphes. On peut naturellement supposer que V et V sont non nuls. Soient X un élément maximal de P(V) = P(V') et v (resp v*) un vecteur non nul de (resp V^>; W = t*(0)v (resp W* = W ( 0 ) v ' ) est un sous-module de V (resp de V*) à plus grand poids X. Comme
et W* sont des 0-modules indécomposables et semi-simples, ils sont donc simples et isomorphes (à L(X)) donc ch(W^) = c h ( W M . Or on a V = W e W (resp V = W e W ) de sorte que l'on a
1 2 R 2 2 ^
ch(W^) = c h ( W M ; mais et IAT sont isomorphes d'après l'hypothèse de récurrence donc, finalement, V et V sont isomorphes.
Ainsi l'application CVD • ch(V) est un homomorphisme v
injectif d'anneaux de Jt(0) dans ZCP3 .
v
Montrons que ( c h ( L ( Â ) ) ^ ^ ^ est une base de ZCP3 . On sait que ^ S *1 8^ * * / ^ , ^ es* u n e b a s e d u Z-module Z C P 3W et que l'on a:
ch(L(À)> = S ( eA) + J nxS ( eX) X<Â, XepOc
pour tout A #= P n C ( i e S ( e ) est le plus grand terme de c h ( L ( A ) ) . De plus, toute partie non vide de P n C contient un élément minimal (en effet l'ensemble des X « P n C tels que X < A est fini pour tout A € P n C : cet ensemble est discret et borné puisque
l'on a (A-X|X) > O et (A-X|A) > O d'où H X H2 < (A|X) < HAH2) .
Pour toute partie E de P n C, soit I_ le sous-Z-module de v A -I = ZCP3 de base (S(e > >A € E? l'ensemble des parties E de P n C telles que:
i ) A e E e t X € = D ( A ) n P n C * X <E E ii) (ch(L(A))^^. est une base de 1^
est inductif et possède donc un élément maximal E. Supposons que E * P r> C et soit X un élément minimal de P n C \ E. Alors E u {X>
est une partie de P n C vérifiant i) et ii) ce qui contredit la maximalité de E .
v
Ainsi (ch (L(A) >A € p n£ ®s t u n e base de ZCP3 ; d'autre part
115
le théorème de semi-simplicité de Weyl puisque l'application A • CL(A)3 est une bijection de P n C sur l'ensemble des classes à isomorphisme près de g-modules simples de dimension f i n i e ) . Il en résulte que < C L ( A 3 )A e p n£ est une base de Jt<g) et que
CV3 • ch(V) est un isomorphisme de ^l<g) sur Z C P 3W. A
Puisque, pour tout i, l<i<l, S(e v) est le plus grand terme de ch(L(A. ) ) , on voit que, pour toute famille (n ) ^ _ e W1, e est le plus grand terme de chi<f>iT^ ...T ) , avec A = J n i \ € P n C" 0 n conclut comme précédemment que
t
n rv
i l W
<ch(#(T ...T )) «.i est une base de ZCP3 donc que <p est
i n <n> _... <=(N M
t 1<V<1
un i somorph i sme. #
2« La formule des caractères de Weyl.
Proposition 2.1 (formule des caractères de Weyl) Soit A e P n C; on a:
V . . w(A+p) y £:(w)e ^ ch(L(A) ) = — ^
£>
m Pour A e P n C, l'application:
W • D' (A)
w • w(A+p)—p
est bijective, où D M A ) = D(A) n (W(A+p)-p). L'application est surjective et si w<A+p) = A+p, puisque A+p € C et que W opère simplement dans l'ensemble des chambres de Weyl on a w = 1.
Pour tout X e D M A ) , le module de Verma M(X) est de longueur finie et les sous-quotient s simples de M(X) sont de la forme Lifu) avec y e D' (X) de sorte que l'on a:
ch(M(X)) = J n^ch<L<M))
/LMED' (X)
avec n e IN, u € D M A ) et n% = 1. Il en résulte que:
ch(L(A)) = ) kxc h ( M ( X ) ) X<sD' (A)
avec € Z et kA = *"
En multipliant cette égalité par £> on obtient:
3D ch<L(A>> = J kx 3D ch(M<\>>
\eD'(A) X«D'<A>
avec € Z pour tout w € W. Or on a pour tout w* e W:
w<£» = eiviy )X>
w'(ch(L(A))) = ch(L(A)) d'où:
k _ = £<¥*9)k pour tout W , W * € M.
On a donc:
3D ch(L(A)> = k J £:(w)eW < A","p ) W€W .
avec k e Z et comme le coefficient de e dans D ch(L(A)) est égal à 1 on a finalement k = 1. #
corollaire 1^ (formule du dénominateur de W e y l ) . On a:
3D = 2
e(p)e
W(p># C'est le cas particulier A = O de la formule des caractères. # corollaire 2
Pour tout A € P n C, on a:
dim(L(A)) = H <**p|a)
+
• Pour \ e t) posons:
J ( eX) = J ^ ( w ) eW < X > € ZCT3 w^W
et pour tout € P soit:
f : 2CP3 • [RECTI]
1 * uni que homomorphi sme d * anneaux tel que f ^ ( eX) = exp<(X|m>T>
117 On a alors:
f^<J(eX>> = J ¿p(w)exp<w(X) |^) = J s Ы ) exp (X I*/"1 ifu) ) = fx< J < eM> >
Il en résulte que:
f <
pJ < e N >
= FX(:E>) = ( G X P ( X | P ) T ) П <1 - exp<-<X|c*>T>•f
= tn П < X | « > + TN + 1h avec N = Card<$ ) et h € RCCT3 3.
+
Il résulte de la formule des caractères de Weyl que:
П <A+p|«) = f (ch(L(A)) П <X|ot> + Th(T)
P
et dim<L(A)) est le terme constant de la série f (ch<L(A)). #
P
119