Tests synthétiques

Pour retrouver un modèle d’absorption à l’aide de données synthétiques, deux étapes sont nécessaires : (1) calculer les noyaux de sensibilité pour un temps t dans la coda, un couple source/récepteur et pour un scattering de référence ℓ0; (2) calculer les données

synthétiques Qc à partir d’un modèle Qi(r′) préalablement choisi. Ces deux points sont

traités dans les paragraphes suivants. 4.2.1.1 Calcul des noyaux de sensibilité

Pour calculer un noyau de sensibilité pour un couple source/station (j/k) de l’équation 4.1, deux points sont importants :

1. Ka _{dépend d’un modèle de scattering de référence (Eq. 2.33). Nous devons donc}

choisir un libre parcours moyen de transport de référence ℓ0 adapté au milieu que

l’on étudie.

2. Ka _{doit satisfaire la règle de somme de l’équation 2.7 qui indique que l’intégration}

du noyau, normalisé par I0, sur toutes les positions de perturbations doit nous

donner le temps dans la coda t. Cependant nous avons vu que la sensibilité de Ka

admettait une singularité sur la source et la station (section 2.4.4.1). Par conséquent, en discrétisant le noyau sur une grille finie, Ka _{est généralement inférieur à I}

0t. Pour

palier ce problème de normalisation, nous avons fait le choix d’attribuer la sensibilité manquante sur la source et la station. On pourra cependant noter qu’elle est toujours inférieure à 1%.

Un exemple de noyau de sensibilité discrétisé sur une grille arbitraire de 0.1◦_{× 0.1}◦_,

correspondant géographiquement à la localisation des Pyrénées, est montré sur la figure 4.2. Le noyau dépend de la position de la source (point rouge) et du récepteur (triangle rouge) et du temps dans la coda. On choisit de prendre t = 95s, le temps milieu de la fenêtre de coda prise pour calculer Qc dans le chapitre 3. On remarque que pour un choix

de grille relativement « lâche », on arrive à conserver les détails de la distribution spatiale de la sensibilité (chapitre 2).

Ka _(km-2₎

Figure4.2 – Exemple de noyau d’absorption Ka _{pour un couple source/station (point/triangle}

rouge) localisé dans les Pyrénées, de distance épicentrale d’environ 100km. La grille du modèle est de 0.1◦_{× 0.1}◦_{. Le noyau d’absorption a été calculée pour t=95s et ℓ0=150km.}

4.2.1.2 Calcul des données synthétiques Qc

Pour calculer les données synthétiques Qcnous avons sélectionné les couples des sources

Q_i Longitude (°) La titude (°) −2˚ −2˚ −1˚ −1˚ 0˚ 0˚ 1˚ 1˚ 2˚ 2˚ 3˚ 3˚ 41˚ 41˚ 42˚ 42˚ 43˚ 43˚ 44˚ 44˚ 50 km (a) (b)

Figure4.3 – (a) Carte des Pyrénées où sont indiquées les localisations des stations sismologiques (triangles noirs) et des séismes (ronds blancs) de cette étude. (b) Modèle d’absorption Qmodel

i (r′)

que l’on s’impose dans cette étude.

150 séismes et 63 stations, ce qui nous laisse 889 trajets possibles pour des distances épicentrales comprises entre 0 et 200km. Le nombre de trajets est limité car nous avons utilisé seulement ceux où il y avait eu un enregistrement et une coda suffisamment longue pour pouvoir mesurer Qc par la suite.

Nous nous sommes ensuite imposés un modèle de Qmodel

i (r′) sur l’ensemble de la

chaîne (Fig. 4.3b). Ce modèle est celui qu’il faudra réussir à prédire après inversion. Nous l’avons choisi comme homogène sur l’ensemble de notre zone d’étude avec Qmodel

i (r′)=300,

excepté sur deux anomalies : l’une fortement absorbante au Centre de la chaîne et l’autre peu absorbante à l’Ouest.

Les valeurs de Qc sont ensuite calculées de façon synthétique à partir de ce modèle

selon l’équation 4.5 (Qmodel

c ). Dans cette équation, on remarque que le Gjkm contenant le

noyau de sensibilité Ka_{, dépend des positions de la source j et de la station k, du temps}

dans la coda et de son intensité. Pour calculer Ka_{, nous avons pris un libre parcours}

moyen ℓ0 équivalent à celui d’une croûte standard : ℓ0=150km. L’intensité est calculée

grâce à l’équation 2.32 [Paasschens, 1997]. Le temps t dans la coda est pris à 95s. 4.2.1.3 Résultat des tests synthétiques

L’inversion par moindres carrés décrite en section 4.1 est réalisée sur les Qc prédits

(Qmodel

c ) dont les valeurs ont été bruitées de façon aléatoire à ± 10% (bruit de distribution

Gaussienne). Les matrices diagonales de covariance des données et du modèle a priori sont prises à 10% des Qmodel

c et 50% de Qpriori (r′), respectivement. Pour cette étude

préliminaire, nous n’avons imposé aucun seuil minimal de valeurs singulières de A (Eq. 4.13) en prenant seulement les valeurs non nulles. Pour observer la robustesse de l’inversion des données synthétiques Qc, nous avons défini trois cas de configuration pour les modèles

de référence de scattering et d’absorption (Qprior

sc ou ℓ0 et Qprior_i ).

Le premier cas est décrit par Qprior

i = 300 et ℓ0 = 150km (Tab. 4.1). Il correspond,

par chance au modèle moyen d’absorption à retrouver et au modèle de scattering utilisé pour les données synthétiques (Fig. 4.4a). On remarque globalement, que notre schéma

Qprior_i ℓprior₀

Cas 1 300 150km

Cas 2 200 150km

Cas 3 300 100km

Table 4.1 – Tableau résumant les valeurs choisies pour les modèles de référence d’absorption et de scattering pour trois cas de configuration, afin de réaliser l’inversion sur les données syn- thétiques Qc. Qi Q_i Cas 1 Modèle inverse 1 Q_i Qi (a) (b) Cas 2 Modèle inverse 2 Modèle a priori 2 Modèle a priori 1

Figure 4.4 – (Configuration du milieu Qmodel

i (r) (haut) et résultat de l’inversion (Qi(r), bas)

sur le jeu de données Qmodel

c prédit selon l’équation 4.5 au temps t=95s, pour ℓ0=150km. Le

modèle de référence pour l’inversion est choisi comme homogène avec (a) Qprior

i (r)=200 et (b)

Qprior_i (r)=150. La discrétisation de la grille est de 0.1◦_{× 0.1}◦_.

d’inversion permet de retrouver les grandes structures d’absorption du modèle Qmodel

i (r)

(en haut). Cependant, les contours des anomalies ne sont pas bien démarqués du reste de milieu, d’autant plus quand la valeur de Qide l’anomalie est proche du milieu environnant.

Quelques raisons peuvent en être la cause : (1) certaines valeurs singulières de A peuvent propager des erreurs dans le modèle final, une régularisation type Tikhonov peut alors être envisagée ; (2) la covariance du modèle est laissée relativement libre ce qui ne contraint pas au mieux les données. Des tests faisant varier Cm devraient permettre d’éclaircir ce

point ; (3) on remarque que, comme attendu, la couverture spatiale des rais joue un rôle majeur pour la délimitation des structures : à l’Ouest, la couverture est moins étendue et la résolution de l’inversion moins bonne (quelques paramètres du modèle sont aberrants). Le second cas va nous permettre d’observer l’influence du modèle a priori d’absorption (Tab. 4.1). ℓ0 est donc le même que celui utilisé pour estimer les données synthétiques

(ℓ0 = 150km) et Qprior_i varie de 30% par rapport au modèle moyen à retrouver (Fig.

4.3b). Comme attendu, le résultat d’inversion montre des structures d’absorption moins bien délimitées que dans le cas précédent illustré en figure 4.4a. Une série de tests qui estime l’écart au modèle a priori pour l’inversion est envisagée dans la suite de cette étude, pour savoir à quel point peut-on faire varier le modèle a priori et retrouver le contour des structures. Dans cet exemple, l’amplitude des anomalies reste cependant bien déterminée. Une observation intéressante qui peut aussi être relevée est le fait qu’en tenant compte de

Modèle inverse 1 Q_i Qi (b) Modèle inverse 3 l 0=100km l 0=150km Qi Q_i Cas 1 (a) Modèle a priori 1 Cas 3 Modèle a priori 1

Figure4.5 – Modèles d’absorption issus d’un même jeu de données Qc estimé pour ℓ0=150km

et des inversions calculées pour (a) ℓ0=150km (exemple de la figure 4.4) et (b) ℓ0=100km.

la sensibilité sur toute l’ellipse de diffusion simple, on arrive à retrouver le milieu moyen du milieu que l’on souhaite imager : la zone où la couverture spatiale était bonne montre les valeurs de Qmodel

i . Ces premiers résultats sont donc encourageants pour réaliser une

tomographie d’absorption qui tient compte de toute la complexité de la propagation des ondes de coda.

Le troisième test permet de regarder l’influence du modèle de référence de scattering (Tab. 4.1). Cette fois-ci Qprior_i est fixé à 300 comme le modèle moyen pyrénéen synthétique (Fig. 4.3b) et ℓ0 varie de 30% (ℓ0 = 100km) par rapport à celui utilisé pour calculer les

données synthétiques. En effet, nous avons vu ci-dessus que pour calculer Ka_{, il était}

nécessaire de pouvoir choisir un ℓ0 adapté au milieu que l’on étudie. Par exemple, il a

été montré que le libre parcours moyen sur des terrains volcaniques était plus petit que celui d’une croûte moyenne (chapitre 1). Dans les Pyrénées, nous avons vu en section 1.3.2 (Fig. 1.22) que ℓ pouvait varier d’un ordre de grandeur entre l’Ouest et l’Est [Sens-

Schönfelder et al., 2009]. Quel est alors l’impact du choix du ℓ0 sur l’inversion ? Sur la

figure 4.5b, on remarque que le choix du ℓ0 peut varier de plus de 30% sans pour autant

affecter énormément le modèle final. Ce résultat est encourageant pour l’implémentation de l’inversion avec les données réelles, puisqu’il sous-entend qu’on pourra utiliser un ℓ0

moyen sur une région donnée.

De nombreux tests doivent encore être réalisés sur les paramètres contrôlant l’inversion comme par exemple l’influence de Cm, le seuil de valeurs singulières à adopter ou encore

connaître la taille des anomalies que l’on peut imager à l’aide des checkerboard (ou test du damier), couramment utilisés en imagerie. Cependant, il nous semblait intéressant d’avoir malgré tout un bref aperçu de l’imagerie résultante de l’inversion sur les données réelles de Qc, mesurées dans le chapitre 3 pour la France.