Les deux études présentées dans la section précédente suggèrent deux hypothèses fortes : (1) les auteurs utilisent chacun un des deux modèles extrêmes de régime de pro- pagation des ondes de coda et (2) leurs méthodes permettent seulement de cartographier l’absorption ou le scattering à partir de l’intensité de coda ( δI) et reposent sur des hy- pothèses ad-hoc.
En adoptant une description du transport des ondes de coda par l’ETR, nous allons voir comment la distribution spatiale de la sensibilité des noyaux présentés en figures 2.3a pour l’absorption et 2.4a pour le scattering va changer. Pour cela, nous allons utiliser une méthode perturbative, classiquement utilisée en imagerie sismique.
2.3.1 Perturbation de l’équation de transfert radiatif
Comme son nom le suggère, l’approche perturbative consiste à modifier les propriétés de scattering et d’absorption d’un milieu de référence de temps libre moyen τ0 (τ =
ωQsc) et de temps d’absorption ta0 (ta = ωQi). On introduit ainsi le milieu perturbé
dans l’équation de transfert radiatif décrit dans l’équation 1.15 (τ−1 = τ−1
0 + δτ−1 et
(ta)−1 = (ta0)−1+ δ(ta)−1 ), puis on sépare les termes perturbés des non-perturbés. En appliquant le théorème des représentations, on obtient la fonction de Green de l’ETR G en fonction de la fonction de Green de référence G0 et des perturbations du milieu. G
satisfait deux propriétés : (1) la conservation de l’énergie pour le processus de scattering ; (2) le théorème de réciprocité. Ces deux propriétés fondamentales sont conservées dans l’approche perturbative. On remarquera que la théorie de perturbation pour l’équation des ondes ne satisfait pas la conservation de l’énergie.
La méthode perturbative est classiquement utilisée en imagerie pour linéariser la relation entre perturbation de l’observable (δI) et perturbation des propriétés du milieu. Grâce au procédé décrit brièvement ci-dessus et détaillé en section 2.4, on obtient l’expression des perturbations d’absorption et de scattering, pondérées par les noyaux de sensibilité
Ka et Ksc dans la forme linéarisée que l’on voulait (Eq. 2.3).
2.3.2 Noyaux d’absorption et de scattering - résultat
Dans l’équation 2.3, nous avons pu montrer que Ka s’exprime comme : Ka(r; r0; r′; t) = −Sd ˆ Sd ˆ t 0 I(r′, −ˆn′; r; t − t′)I(r′, ˆn′; r0; t)dt′dˆn′ (2.5) Le symbole ´S ddˆn
′ indique l’intégrale sur la sphère unité en dimension d (d=2,3). On
observe que Ka dépend de la position de la source r
r′ainsi que du temps dans la coda. Le noyau de scattering s’écrit quant à lui sous la forme : Ksc(r; r′; r0; t) = Sd ˆ Sd ˆ t 0 I0(r′, −ˆn′; r; t − t′) "ˆ p(ˆn′, ˆn′′)I0(r′, ˆn′′; r0; t′)dˆn′′ − I0(r′, ˆn′; r0; t′) # dˆn′dt′ (2.6)
On remarque sur les équations 2.5 et 2.6 que les noyaux de sensibilité sont définis par la convolution de deux intensités décrivant la propagation entre la source et la perturbation puis entre la perturbation et le récepteur. On peut noter que l’intensité I a la dimension [L]−d [Paasschens, 1997], ce qui indique que les noyaux ont une dimension [T ][L]−d2.
L’intensité spécifique, estimée par Paasschens [1997] comme nous avons pu voir en section 1.2.3.1, est décrite par la somme du champ cohérent (onde directe) et du champ diffusé. Quatre contributions différentes vont donc décrire Ka et Ksc. Elles sont schématisées
dans la figure 2.5. La première contribution des noyaux est celle qui décrit la propagation de l’onde de la source vers la perturbation puis de la perturbation vers le récepteur par une onde cohérente sur les deux trajets (Fig. 2.5a). Cette contribution du noyau sera notée Kcc où l’indice cc indique cohérent − cohérent. La deuxième contribution décrit le
transport de l’onde par le champ cohérent (source vers perturbation) puis par le champ diffus (perturbation vers récepteur). La troisième contribution est la réciproque de la seconde : le champ diffus décrit le trajet de la source vers la perturbation puis le trajet vers le récepteur est porté par l’onde cohérente (Fig. 2.5b). Ainsi par symétrie, il suffit de remplacer r0 par r pour obtenir cette troisième contribution. La contribution au noyau de
sensibilité du champ cohérent-diffus Kcd est donc la somme de ces deux trajets possibles
de la source vers le récepteur en passant par la perturbation. La dernière contribution est celle qui va décrire le transport par une onde diffuse de la source vers la perturbation et de la perturbation vers le récepteur. Cette contribution est celle du champ diffus-diffus et sera indiquée par Kdd.
y x Perturbation (r’) Source (r0) |SR|/2 Receiver ( r) y x Perturbation (r’) Source (r0) |SR|/2 Rreceiver (r) y x Perturbation (r’) Source (r0) |SR|/2 Receiver ( r) coherent-coherent coherent-diffuse diffuse-coherent diffuse-diffuse (a) (b) (c)
Figure2.5 – Schéma illustrant les différentes contributions possibles des noyaux de sensibilité. Le trajet de la source vers la perturbation puis de la perturbation vers le récepteur peut s’effectuer via (a) une onde cohérente et une onde cohérente, (b) une onde cohérente et une onde diffuse (et inversement), (c) une onde diffuse et une onde diffuse, respectivement.
méthodologie d’imagerie qui sera développée dans le chapitre 4. En effet, chacun des deux noyaux vérifie la règle de somme :
ˆ
Ka(r; r0; r′; t)dr′= −tI0(r; r0; t) (2.7)
ˆ
Ksc(r; r0; r′; t)dr = 0 (2.8)
Une application de l’équation 2.7 est de considérer une faible perturbation d’absorption (δ(1/ta)) de l’ensemble du milieu de référence. En utilisant les équations 2.3 et 2.7, on
en déduit très vite que I − I0 = −tI0δ
1
ta
et donc que I ∼ I0exp(−tδ(1/ta)). Comme
attendu, l’intensité mesurée au temps t est l’intensité incidente I0 pondérée de la décrois-
sance exponentielle par la perturbation δ(t/ta).
L’équation 2.8 traduit la conservation d’énergie dans le processus de scattering comme annoncé plus haut.
Nous avons ensuite choisi d’appliquer le développement théorique des noyaux Ka et Ksc dans un cas 2D pour des perturbations de scattering et un transport par diffusion
isotrope. Ce choix a été fait car une solution analytique pour I0 en 2D existe pour ce
cas précis [Paasschens, 1997]. Elle nous a ainsi permis d’analyser en détail l’apport de chacune des contributions (champ cohérent et champ diffus) schématisées dans la figure 2.5. Nous allons aussi pouvoir observer l’apport du modèle des ondes de coda par l’ETR sur la distribution spatiale de la sensibilité dans les noyaux, comparés par exemple à ceux présentés dans les figures 2.3 et 2.4. Le détail théorique de la partie 2.3 et l’application 2D dans le cas de scattering isotrope est présenté dans la prochaine section [Mayor et al., 2014].