Plusieurs effondrements ayant les mêmes propriétés physiques sont simulés ici. Ont été variés le nombre de mailles pour la résolution de l’écoulement du fluide d’une part et la taille du domaine dans la direction transverse d’autre part.
Des conditions de non-glissement sont imposées sur toutes les parois du domaine de calcul excepté dans la direction transverse y de l’écoulement où des conditions de périodicité sont appliquées. Des grains ont été fixés au fond afin de modéliser un fond rugueux. Initialement, un mur de normale x est artificiellement placé dans le domaine fluide afin de soutenir la colonne pour qu’elle ne s’effondre pas. Le rapport de densité grain/fluide est de ρp
ρ = 8, la masse volumique du fluide est ρ = 1000kg/m
3, la viscosité
dynamique du fluide est ηf = 1.0P a.s, la norme de la gravité est g = 9.81m/s2 dirigée
vers le bas (direction z). Les paramètres de contact utilisés sont max = 0.87, µc =
0.25, tc
q
g/D = 2.5 × 10−3 et ηe/D = 1.0 × 10−4. Le pas de temps fluide est égal à
∆tf
q
g/D = 2.5 × 10−2. Les grains ont une polydispersité de 5% autour de leur rayon
moyen D/2 = R = 7.6mm. Ces paramètres physiques sont choisis de sorte que le nombre d’Archimède soit Ar = ρ(ρp − ρ)gD3/ηf2 ≈ 30. Dans cette section, les colonnes sont
initialisées en laissant sédimenter les grains en sec (uniquement avec GraDyM) dans une boîte initialement plus haute et plus étroite (délimitée par le plan bleu sur la figure
5.2. QUELQUES TESTS PRÉLIMINAIRES 119
5.8), ce qui permet de construire des colonnes statiques de compacité initiale d’environ Φi ≈0.6±0.002. La compacité initiale est mesurée à l’intérieur de la colonne en moyennant
le taux de présence de solide α issu de l’IBM contenu dans un volume donné. En faisant varier le volume de mesure d’environ 40%, nous observons une variation maximale de 0.7% sur la mesure de la compacité. Il est possible d’estimer la compacité de la même manière que dans les expériences de Rondon et al. (2011) en faisant le rapport entre le volume occupé par les grains 1
ρp
PNg
i=1mi et le volume de contenance H0R0W0. Avec cette
estimation, la compacité, égale à 0.585, est plus faible de 2.5% comparée à celle observée en utilisant dans son calcul le taux de présence de solide. Nous garderons cette différence notable en mémoire dans la suite de ce chapitre. A t = 0, la colonne statique a pour dimension 16D × NtrD ×8D où Ntr est le nombre de grains dans la direction transverse
y.
5.2.1
Effet de la résolution spatiale
Pour un rapport de forme de 0.5 d’une colonne contenant 327 grains, nous simulons un même cas d’effondrement de colonne avec une résolution spatiale correspondant à 10 (resp. 20) mailles par diamètre moyen de grain, simulations que nous appellerons cas A (resp. cas B). Ici, la direction transverse est de taille 2D (voir figure 5.6 a). Le maillage utilisé est [Nx; Ny; Nz] = [512; 176; 22] pour le cas A (resp. [1008; 344; 42] pour le cas B).
Les cellules de calcul sont de taille uniforme dans la région où le milieu granulaire s’écoule, c’est-à-dire dans la région 0 ≤ x/D ≤ 50, 0 ≤ y/D ≤ 2 et 0 ≤ z/D ≤ 16, tandis qu’elles sont de taille variable hors de cette région, leur taille augmentant de façon linéaire au fur et à mesure que l’on se rapproche des frontières du domaine. Ceci permet de placer les frontières du domaine suffisamment loin de sorte qu’elles n’influencent pas la dynamique de l’effondrement granulaire, tout en économisant les ressources de calcul en comparaison avec un maillage uniforme. L’évolution temporelle de l’enveloppe externe de la colonne pour les deux simulations est tracée sur les figures 5.3(a) et 5.3(b). De plus, la position du front xf ront est tracée au cours du temps pour ces deux cas sur la figure 5.4. Nous
notons que l’évolution temporelle du front est similaire dans les deux cas jusqu’au temps
t = 17. Après, le position du front dans le cas B est quasi-statique alors que, pour le
cas A, il continue à se déplacer. Dans les deux cas, la forme finale du tas est un trapèze. La différence relative de la position finale du front est de 10%. Notons d’autre part que la valeur maximale du nombre de Reynolds particulaire, basé sur le diamètre moyen des grains et la vitesse relative du grain avec le fluide autour (cellule fluide contenue dans la sphère de rayon 3R centrée au centre de la particule) est inférieur à 2.5 durant toute la durée de la simulation. L’évolution temporelle du champ de pression est tracée pour ces deux cas sur la figure 5.5. Dans les deux cas, une dépression du même ordre de grandeur apparaît dès les premiers instants qui disparaît ensuite pour laisser place à une surpression du même ordre de grandeur proche du front granulaire qui relaxe vers la pression hydrostatique ensuite. Pour 14 ≤ t ≤ 21, l’arrêt du tas étant différé entre les deux cas, les champs de pression diffèrent en conséquence. Notons ici que l’erreur de 10% entre la position finale des fronts des cas A et B est grande, cependant, la morphologie, l’évolution et la magnitude de la pression sont les mêmes. Une résolution spatiale de 10
mailles par diamètre moyen de grain semble donc suffisante pour les cas auxquels nous nous intéressons ici.
(a) (b)
Figure 5.3 –Évolution temporelle de l’enveloppe externe de la colonne lors d’un effondrement
granulaire dans un fluide avec une résolution spatiale de (a) ∆x = D
10 et (b) ∆x =
D
20. Le
temps adimensionné par p
D/g varie de 0 à 37.2 avec un pas de 2.48. Ici, les dimensions sont
dimensionnelles.
Figure 5.4 – Evolution temporelle de la position du front normalisée par la longueur initiale
de la colonne (xf ront− R0)/R0 pour différentes résolutions spatiales : ◦, ∆x = 10D ; , ∆x = 20D.
5.2.2
Effet de la taille du domaine de calcul dans la direction
transverse
Le même effondrement (mêmes propriétés physiques et géométriques et même com- pacité initiale) que dans la section précédente est simulé avec une longueur de domaine dans la direction transverse plus grande de 5D (voir figure 5.6 b), simulation que nous appellerons cas C. Le maillage utilisé est [Nx; Ny; Nz] = [512; 176; 52] et le nombre de
grains mobiles est de 798 pour le cas C. Dans les cas A et C, la résolution du fluide est fixe et correspond à ∆x = D
5.2. QUELQUES TESTS PRÉLIMINAIRES 121
Figure 5.5 – Évolution temporelle du champ de pression et de la forme du front de deux
effondrements de rapport de forme initial a = 0.5 (à gauche ∆x = D
10 et à droite ∆x =
D
20). Les
champs sont moyennés dans la direction transverse. Le temps est adimensionné par p
Figure 5.6 – État initial de la simulation avec une direction transverse de (a) 2D et (b) 5D.
La position du front au cours du temps est tracée pour les cas A et C sur la figure 5.7. Dans ces deux cas, un dépôt final de forme trapézoïdale est obtenu. La propagation du front est relativement similaire, même si on peut noter que l’effondrement est sensiblement plus rapide au début dans le cas C à t ≈ 7. Après le temps t ≈ 20, le front est statique dans le cas A alors que, dans le cas C, le milieu tend vers son état final plus lentement (jusqu’à t ≈ 40). Ces différences sont probablement dues au confinement des grains dans la direction transverse, qui a tendance modifier le réarrangement du milieu granulaire à faible vitesse. Cependant la longueur du dépôt final est inchangée entre les deux cas.
Figure 5.7 – Évolution temporelle du front dans le cas A (◦) et C (×).
Au vu de ces tests préliminaires, nous choisissons par la suite de mener une étude paramétrique d’effondrements dans cette configuration avec une résolution spatiale de 10
5.3. UN EXEMPLE DE SIMULATION IBM/DEM D’EFFONDREMENT 123
mailles par diamètre moyen de grain ainsi qu’avec une direction transverse à l’écoulement de 2D.
5.3
Un exemple de simulation IBM/DEM d’effon-
drement
Le cas C présenté dans la section précédente est décrit plus en détails dans cette sec- tion. A l’instant t = 0, on enlève le mur vertical qui soutient la colonne et l’effondrement s’effectue dans la direction x. Plusieurs instants de l’effondrement sont présentés sur la figure 5.8. Des nappes d’iso-vorticité sont tracées ainsi que des iso-contours de pression sur un plan perpendiculaire à la direction transverse. Initialement (t = 0), le champ de pression est hydrostatique et le fluide comme les grains sont au repos. A l’instant t = 12.7, de la vorticité, associée à une zone de recirculation dans le fluide, est créée dans la zone d’avalanche des grains. Une zone de surpression locale est visible au niveau du front de la colonne granulaire, à sa base, accompagnée d’une zone de dépression localisée à l’in- térieur de la colonne, dans la région de l’avalanche. A cet instant, la vitesse du front de la colonne est maximale (figure 5.7). Ensuite, le front de la colonne granulaire ralentit brusquement (25.4 ≤ t ≤ 38.1) et la vorticité résiduelle à la surface des grains emportés dans l’avalanche est dissipée, tandis que la pression relaxe vers la pression hydrostatique de départ. Dans le cas présent, le tas formé par la colonne effondrée a pour longueur 52D et pour hauteur 8D. A titre indicatif, cette simulation a nécessité 20000 heures CPU et l’utilisation de 40 coeurs.