ports de forme initial a
Trois effondrements sont simulés pour des rapports de forme a = [0.5; 1; 1.5] et une compacité initiale de 0.6 (simulations A, D et E référencées dans la table 5.1). Les proprié- tés physiques des grains et du fluide sont inchangées par rapport aux sections précédentes (voir la section 5.2).
Pour les trois simulations, une dépression est observée à l’intérieur de la colonne dès les premiers instants d’effondrement suivie par l’apparition d’une surpression au niveau du front et ce jusqu’à ce que le milieu granulaire soit statique.
La position du front est tracée sur la figure 5.9 au cours du temps qui est adimen- sionné par différents temps caractéristiques : le temps T0 =
q2H 0 g (resp. t0 = q2R 0 g ) qui
est le temps de chute libre d’une sphère sur une distance de H0 (resp. R0) et le temps
Tvisq = ηf
∆ρgH0 qui est le temps obtenu en écrivant un bilan entre les forces gravitationnelles apparentes de la colonne ∆ρgH0 et les forces visqueuses ηf˙γ où ˙γ est le taux de cisaille-
ment. Dans tous les cas de la figure 5.9, la propagation du front de la colonne présente une évolution en S, avec une phase d’accélération, puis de vitesse relativement constante (correspondant à une droite dans ces graphes) et enfin de ralentissement brusque et ce,
Figure 5.8 – Effondrement tridimensionnel d’une colonne d’environ 800 grains dans un fluide
visqueux. Les iso-contours de pression sont tracés dans un plan vertical. La valeur de la pression normalisée par ∆ρgH0 entre chaque iso-contour est de 9 × 10−3. Une iso-surface de vorticité de
valeur 0.4 est représentée en bleu ciel. A t = 0−, le mur artificiel retenant la colonne de grain est
représenté en bleu foncé. Les grains sont matérialisés par l’iso-surface de fraction solide α = 0.8. Le temps t, la vorticité et la pression sont respectivement est adimensionnés par q
D g,
qg
D, et
∆ρgH0.
quelque soit le rapport de forme. Lorsque le temps visqueux est choisi pour l’adimensiona- lisation (cas c de la figure 5.9), une partie des courbes passe par la même droite maîtresse correspondant à une vitesse constante, ici égale à R0/Tvisq×10−4. Ceci confirme que tous
les cas présentés ici sont dans le régime visqueux de la classification proposée par Cour- rech du Pont (2003). Il est donc cohérent de trouver une adimensionalisation pertinente par un temps visqueux plutôt que par un temps caractéristique du régime sec comme T0
ou t0. Nous utiliserons comme normalisation du temps Tvisq dans la suite.
L’energie cinétique horizontale moyennée sur les grains est calculée comme Ecx(t) =
PNg
i=112miui(t) 2 où u
i est la composante de vitesse du grain i dans la direction horizontale
x et mi est la masse du grain i. Ecxmax, l’énergie cinétique horizontale maximale sur une
simulation, est donnée pour chacune des simulations dans le tableau 5.1. Emax
cx augmente
avec a. L’énergie potentielle de départ est croissant avec a et est transférée en énergie cinétique horizontale qui croît donc aussi avec a. Pour a = 1, dans leurs simulations numériques 2D, Topin et al. (2012) trouvent Emax
cx
mgD ≈0.02 alors que nous trouvons 0.082.
Même si ces valeurs sont du même ordre de grandeur, il y a un facteur 4 entre elles. Ceci peut s’expliquer par le degré de liberté en plus qu’ont les grains dans leurs déplacements
5.4. SIMULATIONS D’EFFONDREMENT POUR PLUSIEURS RAPPORTS DE
FORME INITIAL A 125
Figure 5.9 –Position du front normalisée par la longueur initiale de la colonne (xf ront−R0)/R0
pour différentes valeurs de a ([0.5 ; 1 ; 1.5] = [◦, 4 ; .]) en fonction du temps normalisé par
T0= q2H 0 g (a), t0 = q2R 0 g (b) et Tvisq = ηf
∆ρgH0 (c). Dans le cas (c), une partie des courbes passe
par la même droite maîtresse correspondant à une vitesse constante ici égale à R0/Tvisq×10−4.
en 3D comparé au 2D. Ils s’écoulent en étant moins contraints.
Une fois la colonne effondrée, la morphologie finale du dépôt peut être sous deux formes en fonction du rapport de forme initial a et de la compacité initiale de la colonne Φi : trapézoïdale ou triangulaire (Rondon et al. (2011)). Les types de géométrie de la
morphologie finale du dépôt des simulations présentées dans cette section et des expé- riences de Rondon et al. (2011) sont représentées dans l’espace des paramètres (a, Φi) sur
la figure 5.10. Les formes de dépôts trouvées par nos simulations numériques concordent en grande partie avec les expériences. La seule différence concerne le cas F dans la table 5.1 (a = 0.5 ; Φi = 0.58) pour lequel nous observons un triangle tandis que ces auteurs
obtiennent un trapèze. La raison évoquée ici est la technique utilisée pour calculer la compacité initiale, qui est différente dans leurs expériences et dans nos simulations. Il se pourrait que les valeurs des compacités obtenues ne soient pas parfaitement équiva- lente, et qu’un décalage artificiel existe entre elles. Par exemple, un décalage des points numériques de 4% vers les valeurs les plus faibles de Φi suffirait à rendre l’ensemble des
résultats en accord.
La hauteur H∞ et la longueur R∞ du dépôt final sont mesurées dans les simulations
et comparées aux mesures expérimentales de Rondon et al. (2011) sur la figure 5.11. Les résultats trouvés par les simulations numériques sont dans la gamme de ceux trouvés dans les expériences de Rondon et al. (2011). Les longueurs finales de dépôts sont en bon accord avec les expériences pour une compacité initiale similaire. Cependant, on note que l’on sous-estime les hauteurs de dépôt final pour a ≥ 1. Par exemple, pour a = 1, la simulation donne une hauteur finale de H∞/R0 = 0.73 tandis que dans les expériences,
Figure 5.10 – Les deux morphologies de dépôt final observées dans les simulations présentées
(triangle 4, trapèze ) et dans les expériences de Rondon et al. (2011) (triangle N, trapèze ) dans l’espace des paramètres (Φi, a).
de taille du fait que le nombre de grains contenu dans la colonne est insuffisant.
A titre de comparaison, les résultats obtenus dans les simulations bidimensionnelles de Topin et al. (2012) sont aussi reportés sur la figure 5.11. Dans le régime visqueux, il y a un accord quantitatif entre les expériences Rondon et al. (2011), les simulations 3D réalisées ici et les simulations numériques 2D de Topin et al. (2012) quant à la morphologie des dépôts. Dans le Chapitre 2, nous avions vu que dans un régime sec, la forme du dépôt d’un effondrement granulaire est identique entre des simulations 2D de Staron and Hinch (2005) et 3D présentées en section 2.1.3.3 (voir la figure 2.13). Les résultats de la figure 5.11 montrent que, quand le régime est visqueux, ceci reste vrai.