2.3 Couplage de JADIM/GraDyM
2.3.2 Fermeture du modèle avec une force de lubrification
A l’approche de deux sphères ou d’une sphère à un mur, une force de lubrification de- vient prédominante proche du contact. Pour prendre en compte cet effet numériquement, il est possible de raffiner la zone de calcul fluide proche de chaque contact (comme cela est fait par exemple par Ardekani and Rangel (2008)), ce qui demande alors un surplus de calcul augmentant linéairement avec le nombre de contact à un instant donné. Du fait de la complexité de ce traitement et des limitations actuelles des ressources de calcul, ces approches de raffinement de maillage ne permettent pas de simuler un nombre de grains important comme visé dans cette thèse. Ici, nous utilisons, dans le solveur fluide, une grille cartésienne fixe de résolution moyenne (qui ne permet pas de décrire correctement les effets de lubrification) mais qui, cependant, estime correctement les efforts de fluide sur les grains, et une force de lubrification ad-hoc qui décrit correctement l’effet de la lubrification aux petites échelles (jusqu’à ≈ 0.1%R) près des contacts. Cet ajout pour clore ce genre de modèle numérique a été fait par différents auteurs (Ten Cate et al.
Figure 2.16 – Schéma du couplage. Ici, M = ∆tf
∆ts ∈ N et M ≈ O(10
2.3. COUPLAGE DE JADIM/GRADYM 41
(2002), Kempe and Fröhlich (2012), Breugem (2012), Simeonov and Calantoni (2012) et Brändle de Motta et al. (2013)).
Nous utilisons ici le modèle de lubrification donné en formule 2.36 et proposé par Brenner (1961), entre deux sphères i et j de vitesse upi et upj et de rayon Ri et Rj.
Flub = − 6πηf(upi.n − upj.n) δn+ ηe RiRj Ri+ Rj !2 n. (2.36)
où ηe est une hauteur de rugosité effective qui traduit l’effet de la rugosité réelle de
surface des grains (voir figure 2.17). Ce paramètre est ajouté à notre modélisation pour reproduire la dynamique de grains rugueux et aussi pour éviter la divergence de la force de lubrification juste avant que les particules entrent en contact (δn = 0). En fonction des
matériaux utilisés, la hauteur de rugosité effective normalisée ηe/R est dans l’intervalle
[10−6,10−3] (voir Joseph et al. (2001)). Cette force de lubrification est utilisée ici quand
la distance entre les grains proches d’un contact est inférieure à R/2 (0 ≤ δn ≤ R2). La
distance d’application de la force a été testée (dans l’intervalle [∆x; R]) et elle n’affecte pas les résultats de manière significative sur les critères quantitatifs que nous nous sommes fixés, comme en particulier le coefficient de restitution qui est présenté dans le chapitre suivant. A noter que cette force est calculée dans GraDyM et est appliquée au même pas de temps de résolution des contacts. Les résultats du couplage avec ce modèle de fermeture, correspondant à l’ajout d’une force de lubrification, sont présentés dans la suite de cette thèse.
Conclusion du chapitre
Nous avons maintenant à disposition un logiciel de calcul, basé sur une méthode complètements résolues (voir 1.3.2), qui permet de simuler des écoulements granulaires en présence d’un fluide dont l’échelle résolue est plus petite que la taille d’un grain. Pour témoigner de la pertinence du couplage implémenté, nous présentons dans le prochain chapitre plusieurs études physiques de collisions binaires immergées dans des fluides.
Chapitre 3
Collisions binaires dans des fluides
Dans ce chapitre, plusieurs collisions binaires dans un fluide sont simulées avec l’outil numérique IBM/DEM présenté au chapitre 2. Nous présentons, dans la première partie, une étude sur le rebond normal d’un grain sur une paroi plane qui a fait l’objet d’un article scientifique publié dans la revue Journal of Fluid Mechanics (Izard et al. (2014a)). L’article est reporté ci-après en section 3.1. Brièvement, l’objet de cette étude a porté sur deux points, à savoir la confrontation de la méthode IBM/DEM avec les résultats numé- riques et expérimentaux de la littérature sur le cas du rebond d’un grain sur une paroi dans un fluide, et d’autre part la proposition de deux modèles analytiques permettant de décrire la vitesse d’approche du grain en l’absence de rebond et la vitesse de rebond le cas échéant. Dans la seconde partie, la collision normale de deux grains mobiles est étudiée. Ensuite, une discussion sur la définition du coefficient effectif de restitution normale est faite. Enfin, le rebond oblique d’un grain sur une paroi où une composante tangentielle intervient dans la dynamique est présenté.3.1
Modelling the dynamics of a sphere approaching
and bouncing on a wall in a viscous fluid
Abstract
The canonical configuration of a solid particle bouncing on a wall in a viscous fluid is considered here, focusing on rough particles as encountered in most of the laboratory experiments or applications. In that case, the particle deformation is not expected to be significant prior solid contact. An immersed boundary method allowing to numerically describe the fluid flow around the solid particle is combined to a discrete element method in order to numerically investigate the dynamics of the system. Specific attention is paid to model the lubrication force added in the discrete element method, which is not captured by the fluid solver at very small scale. The specificity of the proposed numerical model is to account for the surface roughness of real particles through an effective roughness length in the contact model, and to consider that the time scale of the contact is small compared to that of the fluid. The present coupled method is shown to quantitatively reproduce available experimental data and in particular is in very good agreement with recent measurement of the dynamics of a particle approaching very close to a wall in the viscous regime St ≤ O(10), where St is the Stokes number which traduces the balance between particle inertia and viscous dissipation. Finally, based on the reliability of the numerical results, two predictive models are proposed, namely for the dynamics of the particle close to the wall and the effective coefficient of restitution. Both models use the effective roughness height and assume the particle remains rigid prior solid contact. They show to be pertinent to describe experimental and numerical data for the whole range of investigated parameters.