Tests de mémoire longue

L’analyse du ratio des variances de Cochrane et la dimension quasi-nulle de notre attracteur, dont on a dit qu’ils signalaient une succession d’équilibres de dissipation contrariés, convoqueraient plutôt l’anti-persistance en description de nos variations de prix.

1) Statistique R/S et statistique de Lo

Le calcul de H l’exposant de Hurst par régression linéaire (graphique 4.6) donne les résultats suivants :

Tableau 4.6 : calcul de l’exposant de Hurst par régression

1818-1997 H

Dpalme 0.59

Dpalme-AR18 0.54

Dpalme-AR18-GARCH 0.50

Le calcul de la statistique Q^~_nne confirme pas la présence de mémoire longue que suggère H :

Tableau 4.7 : statistique R/S (notée Q^~_n) classique

1818-1997 _Q^~_n

Palme 1.32

Palme-AR18 1.37

Palme-AR18-GARCH 1.25

Enfin le calcul de la statistique modifiée par Lo, V, augmente la confusion :

Tableau 4.8 : Statistique V de Lo 1818-1997 V Palme 0.78** Palme-AR18 1.37 Palme-AR18-GARCH 1.25 *** : significatif à 1% ** : significatif à 2,5% * : significatif à 5%

Graphique 4.6 : Calcul de l’exposant de Hurst H par régression linéaire, Dpalme AR18 : H = 0.54

Log # observations

Le graphique 4.7 donne l’évolution de la statistique V avec le nombre d’observations en logarithme ; le seuil des 1% est matérialisé par la droite horizontale coupant l’axe des ordonnées à 0.721. A l’évidence nous sommes dans un cas limite. Un cas limite d’anti-persistance. Précisément, le système entre et sort de la zone de mémoire longue : il converge d’abord en sinusoïdes irrégulières, atteint un extremum autour de la 1214^ème observation (log (1214) ≈ 3.08) avec une valeur minimum de V égale à 0.46.

Cette observation se situe au premier trimestre de l’année 1919. La sortie de la zone d’anti-persistance a lieu à la 1348^ème observation (log (1348) ≈ 3.13) soit durant le premier trimestre de l’année 1930. Après un dernier passage dans cette région du test durant les onze années 1940-1950, le processus perd la mémoire.

Graphique 4.7 : Entrées et sorties des zones de mémoire longue, Dpalme AR18

Log # observations

L’occurrence des régimes et changements de régimes est obtenue par comparaison de la statistique V avec sa valeur significative au seuil des 1% sur échantillon unique. On obtient une succession de pertes de mémoire (sortie de la zone de mémoire longue : V > 0.721 pour 1 bloc de n observations, n fournissant la date) selon la chronologie suivante :

Tableau 4.9 : entrée et sortie des zones d’anti-persistance

XIX^e siècle entrée 1930 sortie

1940 entrée 1950 sortie

Il est aisé alors de traduire graphiquement les changements de régime mesurés à l’aune de la mémoire longue. Le graphique 4.8 montre l’évolution de la dynamique des prix de l’anti-persistance vers l’absence de mémoire longue.

Graphique 4.8 : pertes de mémoire, série Dpalme, 1818 1997 1 8 1 8 1 8 3 4 1 8 5 0 1 8 6 6 1 8 8 2 1 8 9 8 1 9 1 4 1 9 3 0 1 9 4 6 1 9 6 2 1 9 7 8 1 9 9 4 -0 .3 6 -0 .2 4 -0 .1 2 0 .0 0 0 .1 2 0 .2 4 0 .3 6 0 .4 8 0 .6 0

Les zones non grisées correspondent aux régions significatives à 1% du test de mémoire longue de Lo.

Une confirmation du découpage par régimes, les régimes étant déterminés par le seul indicateur de mémoire longue, est fournie par l’exercice suivant. On scinde l’échantillon Dpalme en deux échantillons de longueur égale : le premier couvre la période 1835-1913, le second la période 1919-1997 puis on applique à chacun le test de Lo. Nous devrions trouver, dans le premier cas, une convergence marquée vers la région d’anti-persistance, et dans le second, une promenade de la statistique V dans la zone sans mémoire. Les calculs le confirment (graphiques 4.9 à 4.12 où l’espérance de la statistique V égale à celle d’un bruit est reportée sous la légende « ERS »). Pour reprende la typologie de Peters (1994) et Mandelbrot (1997) qui définit trois couleurs de hasard (rose pour l’anti-persistance, blanc pour un signal indépendant et identiquement distribué, noir pour la persistance), on passe d’un régime rose à un régime blanc – ou tirant vers le blanc, disons « gris ».

Graphique 4.9 : Tests de mémoire longue, série 1835-1913

Calcul de l’exposant de Hurst par régression linéaire, 1835-1913 : H = 0.42

Log # observations

Graphique 4.10 : V statistique et présence de mémoire longue : un cas d’anti-persistance, 1835-1913

Graphique 4.11 : Tests de mémoire longue, série 1919-1997

Calcul de l’exposant de Hurst par régression, 1919-1997 : H = 0.60

Log # observations

Graphique 4.12 : V statistique et indétermination : 1919-1997

Reste à traduire les changements de régime en terme de volatilité : les prix sont-ils plus volatiles en régime anti-persistant ou durant les périodes sans dépendance de long terme ?

2) Test d’égalité des variances en période rose et grise

On scinde l’échantillon Dpalme en deux échantillons de longueur égale : le premier couvre la période rose 1835-1913, le second la période grise 1919-1997. Puis on compare les variances mesurées sur chaque échantillon grâce à un test F de Fischer. Le test F de Fischer permet de tester l’égalité des variances sur deux périodes disjointes d’un échantillon. Les résultats sont fournis dans le tableau suivant :

Tableau 4.10 : Test F de Fischer d’égalité de la variance entre les régimes

1835- 1913 1919-1997

σσσσ2 .001756 .005825

Test F 1.25^E-71

Résultat : La variance rose est égale à 0.001756 contre 0.005825 en période

grise. Le test F est très largement significatif : la volatilité a plus que triplé en passant le siècle. En définissant l’écart type des variations logarithmiques des prix du palme comme la mesure de la volatilité, on aurait une éventuelle identification du régime rose à de la volatilité basse, et du régime gris à de la volatilité haute. Le seul indicateur de volatilité mensuelle que nous possédons est l’écart-type conditionnel. L’évolution de la volatilité conditionnelle (graphique 11 du chapitre 1) sur laquelle a été reportée les dates d’entrée / sortie des zones de dépendance de long terme est donnée graphique 4.13.

Graphique 4.13 : volatilité conditionnelle et pertes de mémoire, série Dpalme

Square Root of Conditional Variance

1819 1834 1849 1864 1879 1894 1909 1924 1939 1954 1969 1984 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

Hormis le pic d’inflation des années 1919-1923, la concomittance entre volatilité haute et dépendance de court terme et entre volatilité basse et dépendance de long terme est graphiquement vérifiée. Il ne s’agit bien sûr que d’une illustration. On pourrait néanmoins lui trouver des justifications. La dépendance de long terme a des implications en terme de prévision : elle la sert puisque c’est sur la connaissance des corrélations passées d’une variable que s’appuie la prévision de ses valeurs futures. Traduire la volatilité comme une erreur de prévision devrait alors mener au constat que la dissipation des dépendances de long terme, en réduisant la prévisibilité des cours, augmente le risque d’erreur. Or c’est bien ce que l’on constate. On le vérifie par l’estimation d’un modèle de changements de régime de la volatilité sous chaînes de Markov.

CHAPITRE 5

DES CHANGEMENTS DE REGIME AUX CHANGEMENTS DE LA