Absence de cycles réguliers et présence de non linéarités

1) Cycles périodiques

On cherche à détecter la présence de cycles réguliers, périodiques, dans la série Dpalme par une analyse de Fourier. L'objectif de l'analyse spectrale est de décomposer une série chronologique avec des composantes cycliques en fonctions (sinus et cosinus) sinusoïdales sous-jacentes de longueurs d'ondes particulières. Les résultats d'une analyse spectrale permettent de mettre en évidence les éventuels cycles récurrents.

Le modèle est celui d’une régression multiple linéaire, dont la variable dépendante est la série chronologique observée, et les variables indépendantes les fonctions sinus de toutes les fréquences possibles.

DPALMEt = a

[

a_{k k} t b_{k k} t

]

k q 0 1 + + =

∑

* cos(λ * ) * sin(λ * ) [1.7]

Suivant la notation courante de l'analyse harmonique, dans cette équation λ est la fréquence exprimée en terme de radians par unité de temps, c'est-à-dire : λ = 2*p*νk, et

νk = k/q. Le paramètre a_k et le paramètre b_k sont les coefficients de régression indiquant le degré auquel les fonctions respectives (cosinus et sinus) sont corrélées aux données : une corrélation importante signale la périodicité3.

2C’est le modèle de changements de la volatilité de Hamilton (1990) mentionné dans l’introduction.

3Il existe q différentes fonctions sinus et cosinus. Il ne peut y avoir plus de fonctions sinus et cosinus que de points dans la série. Sans entrer dans les détails, si la série comporte N points de données, il y aura N/2+1 fonctions cosinus et N/2-1 fonctions sinus : il y aura autant d'ondes sinusoïdales qu'il y a de points

Résultat : l’équation [1.7] est estimée avec X_t =DPALME_t. Les coefficients des fonctions sinus et cosinus sont reportés graphiques 1.9 et 1.10. Leur contribution homogène n’isole aucune fréquence particulière et accuse l’absence de cycles réguliers.

Graphique 1.9 : Analyse spectrale DPALME, 1818-1997, coef. a_k

Graphique 1.10 : Analyse spectrale DPALME, 1818-1997, coef. bk

Analyse spectr.: DPALME, 1818-1997 Nb d'Obs.: 2158 (tronc.) Fréquence Coeffs Sinus -0,010 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 -0,010 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

On continue d’explorer le hasard, un hasard non gaussien et apériodique.

Analyse spectr.: DPALME, 1818-1997 Nb d'Obs.: 2158 (tronc.) Fréquence Coeffs Cosinus -0,006 -0,004 -0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Troisième question. Quelle est sa structure : est-elle affine ou non linéaire ? Question aux implications techniques mais aussi économiques puisque dans un premier cas, et dans l’hypothèse où l’on se trouve sur un marché libre, les prix varient en proportion directe de l’écart entre l’offre et la demande, et, quoique non gaussiens, ceux-ci préservent l’espoir d’utiliser les filtres traditionnels des séries temporelles qui en débarrassant la série de ses variations extrêmes lui fournissent un cadre normal dans lequel les outils économétriques classiques de prévision et de couverture pourront être appliqués ; tandis que dans le deuxième cas les réactions sont non linéaires, les prix amplifient l’écart hors de toute proportion ; résistant aux filtres classiques d’extraction de tendance, ils laissent planer la menace ponctuelle de ruine sur la tête des acteurs.

2) Non linéarités

La non linéarité est testée sous deux formes. La forme la plus simple est celle de l’hétéroscédasticité conditionnelle ou corrélation des variances : elle renvoie à la corrélation des moments d’ordre deux, et, pour reprendre l’expression de Kohers et alii. (1997), à une dépendance non linéaire multiplicative. On la détecte par la procédure ARCH (pour AutoRegressive Conditionnal Heteroscedasticity) mise au point par Engle (1982) afin d’expliquer « le syndrome de variance infinie » de Mandelbrot sans recourir aux lois stables. Elle renseigne sur l’évolution de la dispersion dans le temps, la corrélation de la variance d’aujourd’hui à celle d’hier se traduisant en effet par la concentration de la variance, par des « noeuds » de volatilité succédant à des périodes plus calmes dans un enchaînement sans déterminisme apparent. On parle pour cette raison de non linéarité « stochastique » : la variance s’agrège et se désagrège de manière fortuite. Un exemple est donné par le modèle suivant (Gourieroux, 1992 : 21) :

t t t Y ε2 ε 1 − = [1.8]

où ε est un bruit blanc gaussien de variance σ². Une trajectoire correspondant à Y_t est donnée graphique 1.11. Les variabilités diffèrent selon les périodes. A titre de comparaison, le bruit blanc εt de [1.8] est rapporté graphique 1.12.

dépendances non linéaires additives qu’imposent les moyennes. Elle renvoie à des non linéarités en niveau et est qualifiée en conséquence de « déterministe » par Kohers et alii (1997).

Graphique 1.11 : Modèle Arch, 2000 points

Graphique 1.12 : bruit blanc, 2000 points

-0,00025 -0,0002 -0,00015 -0,0001 -0,00005 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 1 181 361 541 721 901 1081 1261 1441 1621 1801 1981 -0,00003 -0,00002 -0,00001 0 0,00001 0,00002 0,00003 1 180 359 538 717 896 1075 1254 1433 1612 1791 1970

a) Le test ARCH de non linéarité par la variance

On suppose dans ce test que la série étudiée {et} est distribuée selon une loi normale de moyenne nulle et de variance corrélée dans le temps :

e_t ~ N (0, σ² (1+α e² _t-1)) [1.9]

Le modèle ARCH est testé par la régression de la série {e_t }, t = 1..T , élevée au carré : {e _t²} = {Z_t}, t = 1..T, sur elle-même décalée d’une unité de temps :

Z _t = constante + a Z _{t - 1} [1.10]

Engle (1982) a montré que la statistique T*R² de la régression [1.4] sous l’hypothèse nulle [1.3] est distribuée asymptotiquement selon un χ²(1). Ainsi un χ²(1) significatif à 1% conduit à accepter l’hypothèse de corrélation de la variance et, en conséquence, de non linéarité par la variance dans la série.

Résultat : On a soumis la série DPALME, ainsi qu’une série DPALME filtrée

par application d’un modèle auto-régressif simple de type AR(p), à ce test⁴.

Tableau 1.3 : Résultat du test ARCH de corrélation des variances χχχχ² (1)

DPALME 62.150***

DPALME-AR 45.877***

*** = significatif à 1%

Le χ² est significatif à 1% dans les deux cas : l’hypothèse d’autocorrélation des variances et de non linéarité dans la série ne peut être rejetée.

Interprétation : la variance change dans le temps. La variabilité d’aujourd’hui

est corrélée à la variabilité d’hier, conclusion qui rejoint celles de quantités d’études sur

4 p est déterminé sur la base du critère d’Akaïke et vaut 18. Le filtre AR, sur lequel il est inutile de

s’étendre ici, consiste à supprimer la (faible) dépendance linéaire des variations de prix : on régresse Dpalme sur elle-même décalée de 1, 2, …, p périodes et on conserve le résidu de la régression : ce résidu

la dynamique des cours boursiers, de change et des produits agricoles, réalisées à de pures fins économétriques ou en vue d’améliorer le modèle d’option de Black (1976) et de Black et Scholes (1973) dans lequel la variance du sous-jacent est supposée constante⁵. Il s’agit d’une confirmation, guère d’une surprise : la forme de la courbe de la distribution des variations de prix, avec ses queues allongées, laissait deviner pareil résultat.

On a dit que la distribution des variations des prix du palme se déformait au cours du temps. On montre ici que la non linéarité par effet Arch ou non linéarité par la variance n’est pas une propriété atemporelle de la chronique : il est remarquable qu’à deux reprises, lorsqu’on se penche sur l’examen des cinq échantillons de trente années présentés plus haut qui découpent en cinq périodes égales le tronçon 1835-1984, la volatilité Arch disparaît : disparition presque totale entre 1865 et 1894 et disparition totale entre 1895 et 1924 (tableau 1.4 dans lequel on a rajouté des tests sur deux périodes de longueur égales, 1835-1913 et 1919-1997). Il sera intéressant d’en connaître la raison.

Tableau 1.4 : Test de non linéarité par la variance sur plusieurs sous échantillons

Période 1818-1997 1835-1913 1919-1997 1835-64 1865-94 1895-1924 1925-54 1955-84 ARCH test 45.877*** 18.986*** 34.658*** 10.613*** 3.833* 0.044 10.373*** 24.565*** *** significatif à 1 % ** significatif à 2,5 % * significatif à 5 %

Il est très simple d’utiliser le test ARCH pour visualiser l’évolution de la variance conditionnelle dans le temps. La méthode est la suivante : on filtre la série Dpalme en appliquant un modèle auto-régressif (AR) traditionnel mais en supposant que la variance de la série filtrée, h_t, est variable :

∑

= ⁻ + + = ^p i t i t i t cons te a DPALME e DPALME 1 tan

5Citons Hsieh (1989b), Myers (1994), Engle et Ng (1993), Heynen et alii (1994). Les toutes premières applications des modèles ARCH remontent à la fin des années 80 et concernaient les taux de change. On les trouve chez Bollerslev (1987), Diebold (1988), Diebold et Nerlove (1989), Diebold et Pauly (1988), Engle et Bollerslev (1986), Hsieh (1989b), Miløj (1987).

ht ou « variance conditionnelle » est en général donnée par l’expression ht = c0 + q1 e²t-1 + p1 ht-1. On comprend pourquoi ht est appelée la variance conditionnelle : elle dépend d’elle-même à l’instant précédent, ht-1. Le chapitre 4 revient en détail sur l’estimation du modèle ; on désire simplement montrer ici, à la suite des tests précédents affirmant, selon les périodes, une corrélation de la variance dans le temps, ce à quoi cette variance ressemble. Le graphique 1.13, où l’on a reporté la racine carrée de la variance conditionnelle, par conséquent l’écart type conditionnel, donne une idée plus précise qu’un test des brusqueries de la volatilité.

Graphique 1.13 : Volatilité conditionnelle, 1819-1997

Dans le document L'huile de palme et son marché : la modélisation de la volatilité (Page 64-70)