Test pour la moyenne

Soit (X₁,· · · , X_n) un ´echantillon de taille nde loi µ_θ et de moyenne commune m. On note Pθ

la loi jointe du vecteur al´eatoire (X₁,· · · , X_n).

On souhaite tester deux sortes d’hypoth`eses pour la moyenne.

1. H₀ : “m =m₀” contre H₁ : “m 6=m₀”, appel´e test bilat`ere et nonbilat´eral qui est une mauvaise traduction de l’anglaisbilateral.

2. Si l’on sait que la moyenne m satisfait `a m ≥m<sub>0</sub>, on teste alors les hypoth`eses : H₀ :

“m=m0” contreH1 : “m > m0”, appel´etest unilat`ere. De mani`ere analogue, si l’on sait que la moyenne m satisfait `a m ≤m<sub>0</sub>, on teste alors les hypoth`eses : H₀ : “m = m₀” contre H₁ : “m < m₀”.

Soit α∈]0,1[ un seuil fix´e. Il est alors naturel de chercher une r´egion critique de la forme : 1. Dα={x∈ X : |M_n−m|> Cα},

2. Dα={x∈ X : Mn−m > Cα} ou Dα ={x∈ X : Mn−m < Cα}.

Etant donn´´ e que l’hypoth`ese H₀ est simple, le test est de niveauα, si : Pm0(D_α) =α.

D´etaillons ceci dans le cas d’un test bilat`ere. On chercheCα tel que : α=Pm0(Dα) =Pm0

"

(x1,· · · , xn)∈ X : 1 n

n

X

k=1

xk−m0

> Cα

#

. (6.2)

Afin de continuer, nous avons besoin de plus d’informations sur la loi de l’´echantillon ou sur sa taille.

• Echantillon de loi gaussienne de param`´ etres m et σ²

Soit (X₁,· · ·, X_n) un ´echantillon de taillende loi gaussienne de moyennem et de varianceσ². Soit m0 ∈R.

Dans ce cas, il faut traiter s´epar´ement le cas o`u la variance est connue de celui o`u elle ne l’est pas. On noteTn−1 une variable al´eatoire de loi de Student `an−1 degr´es de libert´e.

Proposition 6.8.

(A) Cas o`u la variance σ² est connue.

Remarque. On rappelle que la densit´e d’une variable de Student est paire, de sorte queP[|T_d| ≥

Le param`etre inconnuθ ´etant la moyennem de l’´echantillon, l’ensemble des param`etres est Θ =R. Dans ce cas,H0 : “m=m0”. Le test repose sur le fait que, sous l’hypoth`ese NotonsN une variable al´eatoire normale centr´ee r´eduite.

Nous prouvons le r´esultat uniquement dans le cas d’un test bilat`ere : test de m =m<sub>0</sub> contre m6=m<sub>0</sub>. D’apr`es l’´equation (6.2), nous cherchons C_α tel que :

Le param`etre inconnuθest cette fois le couple moyenne-variance (m, σ²) de l’´echantillon,

de sorte que l’ensemble des param`etres est Θ =R×R^∗+. Dans ce cas,H₀: “(m, σ²)∈ {m₀} ×R^∗+”.

Le test repose sur le fait que, sous l’hypoth`eseH0, la variable√

n^Mn_S^−m0

Nous prouvons le r´esultat uniquement dans le cas d’un test bilat`ere. Comme pour la construction d’un intervalle de confiance, au lieu de travailler `a partir de la variable al´eatoireM_n−m₀ ou en fait de√

n^Mn−m_σ ⁰, nous allons travailler ici `a partir de la variable al´eatoire √

n^Mn_S^−m0

n puisqu’on ne connaˆıt pas la variance σ. Nous cherchons donc une constantecα telle que :

α=Pm0[D_α] =Pm0

Remarque.

1. Si on ne rejette pas l’hypoth`ese H0, pourquoi ne peut-on pas en g´en´eral l’accepter ? Ac-cepterH<sub>0</sub>revient en fait `a rejeterH₁. Calculons par exemple la probabilit´e de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, c’est-`a-dire de rejeter l’hypoth`ese H1 `a tort, autrement dit d’accepter H0 `a tort, dans le cas d’un test de m = m0 contre m < m0 lorsque la variance de l’´echantillon gaussien est connue.

PuisqueH₁ est l’hypoth`ese “m∈]− ∞, m<sub>0</sub>[” dans ce cas, l’erreur de deuxi`eme esp`ece est o`u N est une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite.

Or, l’application m 7→ 1−Π

est continue croissante, de sorte que sa borne sup´erieure sur l’intervalle ]− ∞, m₀[ est ´egale `a sa valeur en m<sub>0</sub>, `a savoir 1−Π(Π⁻¹(α)) = 1−α.

La probabilit´e d’accepter `a tort l’hypoth`ese H0 vaut donc 1−α... mais α est “petit”, donc 1−α est “proche de 1”... On comprend pourquoi cela n’a pas de sens d’accepter l’hypoth`eseH₀ avec ce type de test !

2. Nous avons ´enonc´e les tests tels qu’ils figurent d´esormais dans les programmes du concours du CAPES. On remarquera que l’on peut ais´ement ´etendre les r´esultats pour des tests de m≤m0 contrem > m0, ou dem≥m0 contrem < m0, qui sont les tests ´enonc´es le plus fr´equemment dans la litt´erature math´ematique. On calcule alors l’erreur de premi`ere esp`ece en utilisant la continuit´e et la croissance de la fonction de r´epartition Π de la gaussienne centr´ee r´eduite, comme pour le calcul de l’erreur de deuxi`eme esp`ece dans la remarque ci-dessus.

• Echantillon de loi de Bernoulli de param`´ etre inconnu θ∈]0,1[.

Soit (X1, . . . , Xn) un ´echantillon de taille nde loi de Bernoulli de param`etre inconnu θ∈]0,1[.

On suppose quen et θsont tels que la variable al´eatoire

n

P

k=1

X_k, qui suit une loi binomiale de param`etres (n, θ), est approchable par une loi normale (classiquement n ≥10 et nθ, n(1−θ) d´epassent quelques unit´es).

Soit θ0 ∈]0,1[. On obtient alors les r´esultats suivants : Proposition 6.9. Soit α∈]0,1[ le niveau fix´e du test.

1. (Test bilat`ere). SoitH₀ : “θ=θ₀” et H₁ : “θ∈]0,1[\{θ₀}”. Posons :

Alors,D_α est la r´egion critique d’un test de niveau (`a peu pr`es ´egal `a)α deH<sub>0</sub>contreH<sub>1</sub>. 2. (Test unilat`ere). On suppose que l’on sait queθappartient `a l’intervalle[θ0,1[. Soit alors,

H₀ : “θ=θ₀” et H₁ : “θ∈]θ₀,1[”. Posons : 3. (Test unilat`ere). On suppose que l’on sait queθappartient `a l’intervalle]0, θ0]. Soit alors,

H₀ : “θ=θ₀” et H₁ : “θ∈]0, θ₀[”. Posons : non plus car on ne sait pas si la probabilit´e d’accepter `a tort l’hypoth`eseH0, c’est-`a-dire

sup

θ6=θ0

Pθ[D_α^c] est faible ou non.

Exercice 6.4. D’apr`es Dunod ex. 11.1, p. 140.

Dans la population fran¸caise, le pourcentage d’individus de rh´esus n´egatif est de 15%. Dans un

´

echantillon repr´esentatif de 200 basques fran¸cais, on observe que 44 personnes sont de rh´esus n´egatif. Peut-on dire, au risque α = 0,05, que les basques diff`erent du reste de la population fran¸caise en ce qui concerne le rh´esus ? Quelle serait la conclusion si on avait observ´e seulement 37 basques de rh´esus n´egatif parmi les 200 personnes test´ees ?

Solution 6.4. Le nombre de basques de rh´esus n´egatif suit une loi binomiale de param`etres n = 200 et θ ∈]0,1[ inconnu, avec θ = 0,15 si les basques ne diff`erent pas du reste de la population fran¸caise en ce qui concerne le rh´esus,θ6= 0,15 sinon. On pose H₀ : “θ= 0,15” et H1 : “θ∈]0,1[\{0,15}”. On fait donc un test de H0 contre H1 dans le cas d’une loi binomiale approchable par une loi gaussienne. Posons c= Π⁻¹

1−^0,05₂ Les basques diff`erent du reste de la population fran¸caise en ce qui concerne le rh´esus, et la probabilit´e de se tromper est inf´erieure `a 0,05.

Avec 37 basques au lieu de 44, on trouve :

200 . Cette fois l’observation n’appartient pas `a D, de sorte qu’on ne peut pas rejeter l’hypoth`eseH₀.

Exercice 6.5. D’apr`es Dunod ex. 11.2, p. 140.

Dans une population, le pourcentage d’individus pr´esentant des rides est de 25%. Sur 200 per-sonnes ayant suivi un traitement anti-rides, on observe que 40 perper-sonnes ont des rides. Au risque α= 0,05, peut-on dire que le traitement est efficace ?

Solution6.5. Le nombre de personnes ayant des rides apr`es le traitement suit une loi binomiale de param`etres n = 200 et θ ∈]0,1[ inconnu, avec θ = 0,25 si le traitement est inefficace, et θ < 0,25 si le traitement est efficace (on suppose tout de mˆeme que le traitement ne favorise pas l’apparition des rides, ce qui serait un comble !) On pose H0 : “θ = 0,25” et H1 : “θ ∈

de sorte que l’observation n’appartient pas `aD: on ne peut pas rejeter l’hypoth`eseH0de l’inef-ficacit´e du traitement. Ce qui ne veut pas dire non plus qu’il est efficace, on ne sait pas conclure !