Esp´ erance

equitable ou non.

• Cas o`u l’univers est fini.

Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e. Supposons l’univers Ω fini : Ω ={ω₁,· · · , ω_n}.

D´efinition. Soit X une variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur Ω. On appelleesp´erance deX, que l’on noteE(X), la quantit´e :

L’esp´erance satisfait aux propri´et´es suivantes.

Propri´et´e 5.

1. (Lin´earit´e). Si X etY sont deux variables al´eatoires d´efinies sur Ω, et si a, b sont deux constantes r´eelles, alors :

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y).

2. (Monotonie). Si X et Y sont deux variables al´eatoires d´efinies sur Ω telle que X ≤Y, alorsE(X)≤E(Y). En particulier, |E(X)| ≤E(|X|).

3. SiX est une variable al´eatoire constante,X ≡a, alors E(X) =a.

4. (Th´eor`eme de transfert). Notons {x₁,· · · , xm} l’ensemble des valeurs prises par la va-riable al´eatoire r´eelle X, et soit f une application d´efinie sur X(Ω), alors :

E(f(X)) =

m

X

k=1

f(x_k)P^X({x_k}).

En particulier, si f ≡Id, on obtient : E(X) =

m

X

k=1

xkP^X({x_k}).

D´emonstration.

1. Par d´efinition de l’esp´erance,

E(aX +bY) =

n

X

i=1

(aX(ω_i) +bY(ω_i))P({ω_i})

=a

n

X

i=1

X(ωi)P({ω_i}) +b

n

X

i=1

Y(ωi)P({ω_i})

=aE(X) +bE(Y).

2. Supposons queX ≤Y. Alors, comme la probabilit´eP est `a valeur positive,

E(X) =

n

X

i=1

X(ω_i)P({ω_i})≤

n

X

i=1

Y(ω_i)P({ω_i}) =E(Y).

En appliquant ceci avec−X≤ |X|etX ≤ |X|, et en utilisant la lin´earit´e de l’esp´erance, on obtient,E(X)≤E(|X|) et −E(X)≤E(|X|), d’o`u on d´eduit, |E(X)| ≤E(|X|).

3. Par lin´earit´e de l’esp´erance, il suffit de montrer que siX ≡1, alorsE(1) = 1.

E(1) =

n

X

i=1

X(ω_i)P({ω_i}) =

n

X

i=1

P({ω_i}) =P(Ω) = 1.

4. D´emontrons ce point pourf ≡Id. Par d´efinition de l’esp´erance,E(X) =

n

P

i=1

X(ωi)P({ω_i}).

CommeX prend les valeurs {x₁,· · ·, x_m}, on peut r´e´ecrire ceci sous la forme : E(X) =

m

X

k=1

X

1≤i≤n X(ωi)=xk

X(ωi)P({ω_i})

=

m

X

k=1

x_k X

1≤i≤n X(ωi)=xk

P({ω_i})

=

m

X

k=1

x_kP({ω ∈Ω : X(ω) =x_k}) =

m

X

k=1

x_kP^X({x_k}).

• Cas o`u l’espace des ´etats est quelconque et la variable al´eatoire discr`ete

Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e etX une variable al´eatoire discr`ete d´efinie sur Ω, `a valeurs dansX(Ω) ={x_j : j∈J}, o`u J est une partie non vide, finie ou d´enombrable de N.

D´efinition.

— La variable al´eatoire discr`ete X est dite int´egrable, si la s´erie de terme g´en´eral |x_j|pj

converge.

— SiX est une variable al´eatoire discr`ete int´egrable, on d´efinit son esp´erance, not´eeE(X), par :

E(X) =X

j∈J

xjP^X({x_j}).

Remarque.

— Lorsque l’univers Ω est fini, toute variable al´eatoire d´efinie sur Ω est int´egrable et la d´efinition co¨ıncide avec celle donn´ee pr´ec´edemment.

— SiX n’est pas int´egrable, elle n’admet pas d’esp´erance.

— L’esp´erance deX, lorsqu’elle existe, ne d´epend que de la loi deX, c’est-`a-dire des couples {(x_j,P^X({x_j})), j ∈J}, et repr´esente le barycentre de l’ensemble de ces couples.

On retrouve les propri´et´es vues lorsque l’espace des ´etats est fini, mais elles sont souvent plus difficile `a montrer dans ce cas.

Propri´et´e 6.

1. Une variable al´eatoire discr`ete X est int´egrable si et seulement si|X|est int´egrable.

2. Si la variable al´eatoire X est born´ee, alors elle est int´egrable.

3. (Lin´earit´e). SiX et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes int´egrables, et si a, bsont deux constantes r´eelles, alorsaX+bY est int´egrable et on a :

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y).

4. (Monotonie). Si X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes int´egrables telles que X≤Y, alors E(X)≤E(Y). En particulier si X est int´egrable, alors |E(X)| ≤E(|X|).

5. SiX est une variable al´eatoire constante,X ≡a, alors X est int´egrable etE(X) =a.

6. (Th´eor`eme de transfert). SiX est une variable al´eatoire discr`ete et sif est une applica-tion d´efinie surX(Ω)telle que la s´erie de terme g´en´eral |f(x_j)|P^X({x_j}) converge, alors f(X) est une variable al´eatoire discr`ete int´egrable et

E(f(X)) =X

j∈J

f(xj)P^X({x_j}).

D´efinition. SoitXune variable al´eatoire discr`ete int´egrable. SiX est d’esp´erance nulle, on dit queX estcentr´ee.

Exercices

Exercice4.7. SoitXune variable al´eatoire discr`ete int´egrable. Montrer que la variable al´eatoire X−E(X) est centr´ee.

Exercice 4.8. Calculer, si elle existe, l’esp´erance des variables al´eatoires ayant pour loi : 1. loi uniforme sur {1,· · ·, n},

2. loi de Bernoulli de param`etrep. SoitA∈ Aun ´ev´enement de Ω, d´eduire que E(IA) =P(A).

3. loi binomiale de param`etresnetp,

4. loi g´eom´etrique de param`etre p, 0< p <1, 5. loi de Poisson de param`etre θ >0.

Solutions

Solution 4.7. SiXest int´egrable, alors par la propri´et´e de lin´earit´e de l’esp´erance,X−E(X) est int´egrable et,

E(X−E(X)) =E(X)−E(X) = 0, d’o`u on d´eduit que la variable al´eatoireX−E(X) est centr´ee.

Solution 4.8.

1. SoitX une variable al´eatoire suivant une loi uniforme sur{1,· · · , n}. CommeXne prend qu’un nombre fini de valeurs, alors X est int´egrable et admet donc une esp´erance. Par d´efinition :

E(X) =

n

X

k=1

k1

n = n(n+ 1)

2n = n+ 1 2 .

2. Soit X une variable al´eatoire suivant une loi de Bernoulli de param`etre p. CommeX ne prend qu’un nombre fini de valeurs, alorsX est int´egrable et admet donc une esp´erance.

Par d´efinition :

E(X) = 1.p+ 0.(1−p) =p.

Soit A une ´ev´enement de Ω, alors l’indicatrice de A, IA, suit une loi de Bernoulli de param`etreP(A), ainsi IA admet une esp´erance et

E(IA) =P(A).

3. SoitXune variable al´eatoire suivant un loi binomiale de param`etresnetp. CommeX ne prend qu’un nombre fini de valeurs, alorsX est int´egrable et admet donc une esp´erance.

Nous allons calculer l’esp´erance de X de deux mani`eres. Par d´efinition de l’esp´erance, E(X) =

D’autre part, la variable al´eatoire X a mˆeme loi que

n

P

k=1

X_k, o`u les (X<sub>k</sub>)1≤k≤n sont des variables al´eatoires ind´ependantes de Bernoulli de param`etre p. Ainsi, en utilisant la lin´earit´e de l’esp´erance et le Point 2, nous obtenons :

E(X) =E

4. Soit X une variable al´eatoire suivant une loi g´eom´etrique de param`etrep. Pour montrer

queXest int´egrable, nous devons prouver que la s´erie de terme g´en´eral|k|P^X({k}) =kp(1−p)^k−1 est convergente. Soitx∈R, consid´erons la s´erie de terme g´en´eralx^k. On reconnaˆıt la s´erie

g´eom´etrique, qui est absolument convergente pour tout x tel que |x|<1, et vaut alors, φ(x) = _1−x¹ . Par un th´eor`eme du cours, la s´erie est infiniment d´erivable sur l’int´erieur de son intervalle de convergence et les d´eriv´ees successives sont donn´ees par les d´eriv´ees successives terme `a terme. En particulier, pour toutx tel que|x|<1,

φ⁰(x) = 1 absolu-ment convergente et qu’elle vautp_p¹2. Ainsi, siXsuit une loi g´eom´etrique de param`etrep, X admet une esp´erance et

E(X) = 1 p.

5. SoitX une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etreθ. Afin de montrer queXest int´egrable, nous devons prouver que la s´erie de terme g´en´eral|k|P<sup>X</sup>({k}) =k e<sup>−θ θ</sup><sub>k!</sub><sup>k</sup> est convergente. Or pour tout k≥1,k e<sup>−θ θ</sup><sub>k!</sub><sup>k</sup> =e<sup>−θ</sup>θ<sub>(k−1)!</sub><sup>θk−1</sup> . On reconnaˆıt, `a la constante e^−θθ pr`es, le d´eveloppement en s´erie de e<sup>θ</sup>. Ainsi, si X suit une loi de Poisson de pa-ram`etre θ,X admet une esp´erance, et

E(X) =θe^−θe^θ=θ.

Dans le document Probabilit´es et statistique pour le CAPES (Page 54-59)