Arbre de probabilit´ e

Ainsi il est plus probable de faire un score d’au moins 5 si le score est impair.

3. On cherche PC[A]. D’apr`es la formule de Bayes, on a : PC[A] = PA[C]P[A]

P[C] =

1 7

7 10 2 10

= 1 2.

On cherche ensuitePC[B] =PC[A^c]. Comme une probabilit´e conditionnelle est une pro-babilit´e, on a en particulier :

PC[B] =PC[A^c] = 1−PC[A] = 1 2.

S’il on sait que le score est d’au moins 5, alors il est aussi probable d’obtenir un score pair qu’un score impair.

3.1.3 Arbre de probabilit´e

Nous trouvons plus judicieux de traiter ce th`eme sur un exemple tir´e de l’´epreuve “dossier” du CAPES externe.

Exemple 3.4. (Dossier CAPES externe, juillet 2007). Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires. On tire successivement et “au hasard” trois boules dans cette urne, en respectant le protocole suivant : on remet la boule dans l’urne si elle est noire, on ne la remet pas si elle est blanche.

1. Quelle est la probabilit´e de n’obtenir aucune boule blanche ? 2. Quelle est la probabilit´e d’obtenir trois boules blanches ?

3. Quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement une boule blanche ? Pendant sa pr´esentation, le candidat traitera les questions suivantes.

1. Construire un arbre de probabilit´e permettant de r´epondre aux questions de l’exercice.

2. Utiliser un tel arbre pour r´epondre `a la question 3 de l’exercice.

Sur ses fiches, le candidat r´edigera et pr´esentera :

— sa r´eponse `a la question 1 ;

— l’´enonc´e de 1 ou plusieurs exercices se rapportant au th`eme “Probabilit´es”.

Etant donn´´ e que nous sommes int´eress´es par les trois premiers tirages, nous choisissons comme espace des ´etats :

Ω ={B, N}³ ={(B, B, B),(B, B, N),· · · ,(N, N, N)}.

On munit Ω de la tribuA=P(Ω) et d’une probabilit´e, not´eeP. Attention, la probabilit´ePn’est pas la probabilit´e uniforme sur (Ω,A). Pouri∈ {1,2,3}, d´efinissonsB_i (resp.N_i) l’´ev´enement

“lai-i`eme boule tir´ee est de couleur blanche (resp. noire)”, alors les ´ev´enements{B_i, N_i}forment une partition de Ω.

Calcul des probabilit´es et probabilit´es conditionnelles

Au moment du premier tirage, il y a 3 boules blanches dans l’urne et 2 boules noires. Comme les boules sont tir´ees “au hasard”, on d´eduit que :

P(B₁) = 3

5, P(N₁) = 2 5.

Ces deux probabilit´es ´etant strictement positives, il fait sens de conditionner par les ´ev´enements correspondants.

Le protocole de tirage nous dit ´egalement que les probabilit´esP(B₁∩B₂),· · · ,P(N₁∩N₂) sont strictement positives, on peut donc conditionner par les ´ev´enements correspondants.

Supposons qu’au premier tirage une boule blanche est tir´ee. Comme cons´equence du protocole, il reste alors 2 boules blanches et 2 noires. ´Etant donn´e que les boules sont tir´ees “au hasard”, on conclut :

PB1(B2) = 1

2, PB1(N2) = 1 2.

Supposons que lors des deux premiers tirages une boule blanche est tir´ee. Alors il reste, `a l’issue de ces deux tirages, 1 boule blanche et 2 noires. ´Etant donn´e que les boules sont tir´ees “au hasard”, on conclut :

PB1∩B2(B3) = 1

3, PB1∩B2(N3) = 2 3.

Les autres probabilit´es conditionnelles sont calcul´ees de mani`ere similaires, et r´esum´ees sur l’arbre de probabilit´e ci-dessous.

1/3

2/3

3/5

2/5

1/2

1/2 1/2

1/2 1/2

1/2

3/5

2/5 3/5

2/5 B1

N1

B2

N2

B2

N2

B3

N3

B3

N3 B3

N3

B3

N3 O

Interpr´etation de l’arbre de probabilit´e

L’arbre de probabilit´e est un arbre orient´e et pond´er´e, satisfaisant aux conditions suivantes.

— Les sommets de l’arbre sont form´es d’´ev´enements de Ω, et la racine est Ω.

— SiA est un sommet de l’arbre, alors les feuilles deA forment une partition de A.

— Soitn≥1, et A0, A1,· · ·, An un chemin de l’arbre (o`u A0 = Ω). Alors le nombre situ´e sur la branche de An−1 vers A_n est la probabilit´e conditionnelle de A_n sachant que A₁∩ · · · ∩An−1 est r´ealis´e.

Ainsi, la somme des probabilit´es des branches issues d’un mˆeme sommet est 1.

Soitn≥1, etA₀, A₁,· · · , A_nun chemin de l’arbre,A₀ = Ω. Alors, par d´efinition des probabilit´es conditionnelles, la probabilit´eP(A₁∩ · · · ∩A_n) est obtenue en effectuant le produit des nombres situ´es sur les branches formant le chemin, en effet :

P(A₁∩ · · · ∩A_n) =P(A₁)PA1(A₂)· · ·PA1∩···∩An−1(A_n).

En sommant le produit le long de diff´erentes branches, on retrouve diff´erentes formes de la formule des probabilit´es totales.

Solutions des questions 1-3

L’´ev´enement “obtenir aucune boule blanche” est le mˆeme que l’´ev´enement “obtenir 3 boules noires” qui correspond au sous-ensemble N1∩N2∩N3 de Ω. D’apr`es le Point 4 ci-dessus, on d´eduit queP(N₁∩N₂∩N₃) s’obtient en effectuant le produit des probabilit´es le long du dernier chemin de l’arbre.

P(N1∩N2∩N3) =P(N1)PN1(N2)PN1∩N2(N3) = 2

5 3

= 8 125.

De mani`ere similaire, la probabilit´e d’obtenir trois boules blanches s’obtient en effectuant le produit des probabilit´es le long du premier chemin de l’arbre :

P(B₁∩B₂∩B₃) = 3 5.2.3 = 1

10.

L’´ev´enement “obtenir exactement une boule blanche” correspond au sous-ensemble (B1∩N2∩N3)∪(N1∩B2∩N3)∪(N1∩N2∩B3).

Comme ces ´ev´enements sont disjoints, cette probabilit´e s’obtient en effectuant le produit le long de la 4-i`eme, 6-i`eme et 7-i`eme branche et en sommant les r´esultats obtenus. Ainsi :

P((B₁∩N₂∩N₃)∪(N₁∩B₂∩N₃)∪(N₁∩N₂∩B₃))

=P(B₁∩N₂∩N₃) +P(N₁∩B₂∩N₃) +P(N₁∩N₂∩B₃)

= 3

5.2.2 + 2.3

5.5.2 +2.2.3 5.5.5 = 183

500.

Exercice 3.6. Donner les arbres de probabilit´es correspondant `a :

1. l’exemple de l’entreprise (cadres/ouvriers, sachant parler anglais ou non) ; 2. l’Exercice 2. sur les urnes de Polya.

R´esoudre les exercices en expliquant.

Solution3.6. Voici l’arbre de probabilit´e correspondant `a l’exemple du sondage dans la soci´et´e (il faut expliquer les nombres sur les arˆetes).

En effectuant le produit le long d’une branche, on retrouve la cons´equence de la formule de proba-bilit´e conditionnelle, qui permet de calculer la probabilit´e de l’intersection de deux ´ev´enements.

Par exemple, en faisant le produit le long de la premi`ere branche, on retrouve : P(A∩C) =P(C)PC(A).

On retrouve ´egalement la formule des probabilit´es totales. Par exemple en faisant le produit le long de la premi`ere branche et le long de la troisi`eme branche et en sommant les deux r´esultats, on retrouve :

P(A) =P(A∩C) +P(A∩O).

6/10 4/10

2/10

1/10 9/10 8/10

C

O U

A

Ac A

Ac