Test de la dynamique de Langevin sur un système à spin

Dans cette partie, nous étudions la dynamique de Langevin sur un système à spins, couplés entre eux par un unique échange magnétique, sur un réseau cubique simple de paramètre de maille a = 2.50Å. L’interaction est limitée aux premiers voisins et l’Hamiltonien du système s’écrit donc :

H = −J 2 N X i,j ~si· ~sj (3.9)

où J désigne la constante d’échange aux premiers voisins. Elle est ici fixée à 29 meV par liaison. Le but de ce chapitre est d’analyser la dynamique d’aimantation en température lorsque cette dernière est contrôlée de manière stochastique. Pour cela, nous résolvons numériquement l’équation (3.7). Il est à noter que nous utilisons l’algorithme de Suzuki-Trotter pour résoudre cette équation stochastique. Garcia- Palacios et al [122] ont souligné la difficulté d’intégration d’une telle équation et ont montré que certains algorithmes étaient plus appropriés. En effet, l’algorithme de Heun est plus stable que celui d’Euler puisqu’il conduit comme il se doit à une solution de Stratanovich. Le schéma d’Euler conduit vers une solution de type îto. En toute rigueur, il faudrait s’assurer que l’algorithme STD2 est en adéquation avec le schéma de Stratanovich employé pour la connexion à la température. Pour ces simulations, nous avons fixé une température cible de 300 K.

La figure (3.3) met en évidence le processus de thermalisation pour différentes valeurs du paramètre d’amortissement. Lorsque ce dernier est faible, c’est à dire inférieur à 0.2, l’état magnétique vers lequel se dirige le système présente la même aimantation spontanée. Pour des valeurs plus importantes de α, l’état magnétique diffère. Cette divergence d’état final pour des grandes valeurs de α s’explique en regardant l’évolution temporelle de la température (voir figure (3.4)). Pour α > 0.2, la température de stabilisation du système diffère de la température de consigne. Un α trop grand ne permet pas de converger vers la température canonique souhaitée.

Figure 3.3 – Suivi temporel de la norme de l’aimantation pour différentes valeurs du paramètre d’amortissement. Le système est composé de 10x10x10 spins. La tem- pérature cible est fixée à 300K

Il est légitime de se demander s’il ne s’agit pas d’une erreur purement d’ordre nu- mérique. Néanmoins, l’état magnétique du système est cependant en accord avec la température microcanonique du système. En effet, la valeur de l’aimantation spon- tanée à α = 1.0 est bien identique à celle correspondant à la température microca- nonique du système et obtenue avec α << 1(voir figure (3.5)). L’analyse de cette température microcanonique est donc essentielle puisque sans celle-ci on pourrait conclure que les simulations en températures avec des α proches de l’unité donnent des résultats discordant. En effet, la température de Curie obtenue pour de tels α serait tout simplement beaucoup trop grande alors quelle est parfaitement juste en regardant non pas la température canonique mais celle microcanonique. La raison profonde à cela est la violation du théorème de fluctuation-dissipation. α doit en effet être suffisamment petit pour autoriser une balance entre les fluctuations sto- chastiques et la dissipation apportée au système et satisfaire ainsi l’hypothèse de la succession d’états d’équilibre faite pour extraire le paramètre D(voir annexeC). Le paramètre d’amortissement a donc une borne supérieure à ne pas dépasser pour faire coïncider la température microcanonique à la température canonique. On prendra cette borne comme étant 0.1. Une analyse détaillée de cette température, comme

Figure 3.4 – Suivi temporel de la température de spin à l’aide de la formule 3.8 pour différentes valeurs du paramètre d’amortissement. La température cible est fixé à 300K pour toutes les valeurs de α.

Figure 3.5 – Norme de l’aimantation moyenne et température microcanonique du système en fonction de temps pour deux systèmes dont le paramètre d’amortissement vaut 1.0 (courbes rouges) et 0.1 (courbes noires). Les simulations à α = 1.0 ont été réalisées avec une température de consigne égale à 300K tandis que pour α = 0.1, la température de consigne a été fixée à 77K.

Figure 3.6 – Espérance de la température pour différentes valeurs du paramètre d’amortissement α. La température de consigne est 300K.

Figure 3.7 – Histrogramme de la température pour trois systèmes de tailles diffé- rentes (10x10x10,30x30x30 et 50x50x50). L’ajustement a été réalisé par la fonction (1/σ√2π) exp (−(x − µ)2_/2σ2_{). Pour les 3 systèmes, le paramètre d’amortissement}

a été fixé à 0.1.

par exemple l’étude de sa distribution (voir figure 3.6), met en évidence l’incapa- cité à faire converger la température définie par l’équation 3.8 vers la température

Figure 3.8 – Ecart-type fonction de la racine carrée du nombre d’atomes. Pour cette série de calcul, le nombre d’atomes s’étend de 1000 à 216000. Le paramètre d’amortissement est égale à 0.1.

de consigne. Le paramètre d’amortissement a beau être aussi petit que l’on veut la température finale surestime la température cible de quelques pour cents (entre 2 et 4). Plusieurs pistes sont envisageables pour tenter d’expliquer cette différence. La première sont les effets de tailles finies. Plusieurs calculs ont été reconduits sur des systèmes de tailles différentes. La figure 3.7 permet d’écarter cette hypothèse. La valeur moyenne de la température est indépendante de la taille du système. L’écart- type moyen obtenu à partir d’une loi normale4 diminue avec le nombre d’atomes conformément au théorème central limite5. Le figure 3.8 permet de comparer l’écart- type obtenu numériquement à celui extrait de la loi normale. La variation linéaire de l’espérance en fonction de √N prévue par la loi normale est bien respectée. Une autre piste à exploiter est la méthode d’intégration. Rien ne garantit que l’algo- rithme de décomposition STD2 utilisé converge au sens de Stratanovich. En effet nous avons dérivé la constante D à partir d’une formulation de Stratanovich de

4. En probabilité, on dit qu’une variable aléatoire x suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ si cette variable admet pour densité de probabilité la fonction p(x) définie par p(x) = 1 σ√2πexp  −1 2 x−µ σ
2

5. Ce théorème est l’un des résultats les plus importants de la théorie des probabilité. Étant donnée une suite de variables aléatoires Xi obéissant à une loi normale d’espérance µ et d’écart-

type σ, la moyenne expérimentale d’une collection de valeurs (X1+ ... + X − N/n) converge vers

l’équation de Fokker-Planck. Or il a été montré que tous les algorithmes ne conver- geaient pas vers cette formulation[122]. Dans cette référence, l’approche de Heun a été montrée supérieure à la méthode d’Euler car elles correspondent respectivement à une formulation de Stratanovich et Itô. Nous avons implémenté ces deux méthodes pour tenter d’identifier la source de la divergence entre la température canonique et microcanonique. La courbe (3.9) montre l’histogramme de la température micro- canonique obtenus à partir de trois intégrateurs différents (Heun [122],Euler[88] et STD2(formule 2.33)) et avec le même pas d’intégration de 0.02fs. Avec un tel pas d’intégration, on évite les dérives pour de petits temps de simulations. L’algorithme a bien un impact sur la température microcanonique finale. L’algorithme de Heun qui est censé être de type Stratonovich est celui dont la température microcanonique converge le plus vers celle canonique. L’algorithme d’Euler étant de type Itô, est bien le moins précis. L’algorithme de décomposition STD2 se révèle être très proche de ce- lui de Heun. Pour les 3 algorithmes, on observe une divergence entre la température de stabilisation microcanonique et celle de consigne canonique. La dernière hypo-

Figure 3.9 – Histogramme de la température microcanonique d’un système de 10x10x10 spins en structure cubique simple et soumis à un unique échange magné- tique(J=29meV/liaison). Le pas d’intégration a été fixé à 0.02 fs. Trois algorithmes ont été testés.

thèse concerne la validité de l’approximation du bruit blanc. En effet l’équation de Landau-Lifshitz stochastique présuppose que le bain thermique agit beaucoup plus vite que le système à spins. Entre chaque pas d’intégration, l’équilibre thermodyna-

mique est supposé atteint pour autoriser un paramètre d’amortissement constant. Les récentes dynamiques ultra-rapides d’aimantation montrent le contraire[52]. Il serait donc nécessaire d’introduire une autre corrélation du bruit afin d’introduire un temps de relaxation du bain thermique. On parle alors de bruit coloré.

3.2

Une équation stochastique avec un bruit coloré :