5.7 Le contrôle de la température : NVT
5.7.2 Contrôle de la température par le sous-système mécanique
Le système (5.33) n’est pas celui le plus adéquate pour tenter de vérifier si l’amor- tissement magnétique découle d’un couplage avec les phonons. Pour cela, nous pro- posons de réaliser la dissipation et la fluctuation sur l’équation d’évolution de l’im- pulsion du système mécanique. De cette manière, le réseau fluctue sous l’influence d’une température introduisant ainsi une modification du champ effectif autour du- quel les spins effectuent une précession. Le système devient :
˙ ~ q = ∂H ∂~p ˙ ~ p = −∂H ∂~q − γ~p + ˜ ~ f ˙ ~s = 1 1 + α2(~ω × ~s) (5.36)
où < ~f >= ~0 et < fia(t)fjb(t0) >= 2Dδabδij(t − t0). La formulation de Stratanovich de l’équation de Fokker-Planck associée à ce système d’équation est de la forme :
∂W ∂t = − ∂ ∂qi · ( ˙qiW ) − ∂ ∂pi · ( ˙piW ) − ∂ ∂si · ( ˙siW ) + D ∂2W ∂pi∂pj (5.37)
Sachant que W = Z1e−βH, la condition d’équilibre ∂W∂t = 0 conduit à l’expression générale de D : D = mγ β + m β − ∂ ∂si · ˙si+ β ˙si · ∂H ∂si (5.38) Dans le cas où ˙~s = ~ω × ~s et si ~ω ne dépend pas du spin i mais des autres spins, alors D = mγβ . Ce coefficient est identique à celui d’un unique système mécanique soumis à l’équation de Langevin. Le cas d’une interaction d’anisotropie pseudo-quadrupolaire ne remplit pas ces conditions puisque ~ω est une fonction explicite du spin du site i Dans ce cas là, il faut considérer la formule 5.38 pour l’évaluation de D. Pour simplifier le problème et se limiter au cas D = mγβ , nous allons nous limiter à des interactions d’ordre quadratique de type échange magnétique et anisotropie pseudo- dipolaire.
L’objectif est de démontrer l’existence d’un amortissement magnétique intrin- sèque lié au réseau. Pour cela, il est nécessaire de montrer que la fluctuation sur l’impulsion engendre un champ effectif différent de type :
˙
~s =~ω + ˜~ω× ~s, où ˜~ω est un vecteur proportionnel à α(~ω × ~s).
Dans le cas où l’interaction magnétique est constituée d’un unique échange ma- gnétique, on a ˜~ω = A~ω avec A une constante. En effet, le changement de l’impulsion donc des positions, n’entraîne qu’une modification de la norme ~ω à travers ∂J (rij)
∂rij . L’échange magnétique ne peut donc pas être responsable d’un quelconque amortis- sement magnétique. Cependant, c’est l’anisotropie résultant du couplage ~L. ~S qui y contribue. La pulsation d’une interaction de type pseudo-dipolaire est en effet fonction du vecteur position ~r. Lorsque la température est appliquée sur le réseau mécanique, les positions des atomes sont modifiées. La symétrie du réseau étant brisée, la pulsation magnétique résultante n’est plus proportionnelle au champ ef- fectif intrinsèque (˜~ω 6= A~ω). Le contrôle de la température à partir des phonons et la présence d’une anisotropie dipolaire suffit donc à introduire un amortissement
magnétique alors même que l’équation d’évolution des spins est non amortie. Les simulations de DMM réalisées à partir de (5.36) confirment que l’anisotropie induit un amortissement. En partant d’une configuration de spins strictement ferro- magnétique, les simulations avec un unique échange magnétique (J=29 meV/liaison) ont montré qu’il était impossible de sortir de cet état de minimum d’énergie et ce malgré la fluctuation thermique sur l’impulsion. Néanmoins, en ajoutant une aniso- tropie pseudo-dipolaire correspondant à l’énergie d’anisotropie du Hcp-Co (50µeV), une déviation de cet état ferromagnétique est observée. Ceci n’est autre que la signa- ture de la présence d’un amortissement magnétique. La température microcanonique augmente et la norme totale de l’aimantation diminue en conséquence. Il est cepen- dant important de noter que cette augmentation de la température est faible et que le temps d’attente pour obtenir l’équilibration entre les températures microcano- niques des deux sous-réseaux est bien trop long pour être observé par une DMM. La figure (5.6) montre qu’en présence d’une telle anisotropie, la DMM permet d’intro- duire un amortissement magnétique intrinsèque malgré l’utilisation d’une équation non-amortie sur le spin. Cette dynamique est équivalente à une dynamique de Lan- gevin où le paramètre d’amortissement magnétique est très faible soit de l’ordre de 10−7. Ce résultat va dans le sens des résultats de Kamberský[200] qui montrent par des calculs ab initio, que l’amortissement de Gilbert pour le fer et le nickel, tient son origine majoritairement dans l’interaction électron-électron. Plus récemment, Liu et al [201] ont réalisé des calculs de liaisons fortes sur le Hcp-Co pour extraire le paramètre d’amortissement. Pour cela, le réseau a été perturbé en introduisant un déplacement aléatoire de chacun des atomes pour mimer un désordre thermique. Avec un tel traitement électronique, ils ont trouvé un amortissement de Gilbert du même ordre de grandeur que celui mesuré expérimentalement (≈10−2) prouvant ainsi la nature électronique de l’amortissement dans les métaux 3d. Néanmoins, la valeur α = 10−7 est anormalement faible pour un couplage magnon-phonon. Rossi et al [202] ont étudié un modèle de dynamique d’aimantation couplée à des modes élastiques à travers un coulage magnétoélastique linéaire. Pour le cas de paramètres réalistes de films ferromagnétiques, ils ont réussi à écrire l’équation intégrale du ten- seur non-diagonale d’amortissement et ainsi évaluer le paramètre d’amortissement issue d’un tel couplage magnéto-élastique. Ce dernier a été évalué à 2 × 10−4. Il est donc trop faible par rapport à l’amortissement rencontré dans les métaux ferroma- gnétiques, qui est du au couplage d’échange entre les électrons des orbitales s et p.
Figure 5.6 – Comparaison de trois DMM d’un système de 53 spins à partir de la norme de l’aimantation moyenne. La température cible est de 300 K. Les spins sont initialement dans un état strictement ferromagnétique. α représente le paramètre d’amortissement de l’équation du spin et γ celui agissant sur l’impulsion du système. Par conséquent nous venons de démontrer que le couplage magnéto-élastique n’est pas suffisant pour l’introduction d’un amortissement effectif magnétique dans la dynamique d’aimantation du cobalt. La présence d’un amortissement et d’une fluctuation sur l’équation du spin s’impose forcément dans cette dynamique où les électrons sont absents.