Termes de diffusion

Dans cette partie, on va pr´esenter les termes de diffusion utilis´es dans AVBP. Il existe deux op´erateurs diff´erents. Le premier r´esulte de la formulation cell-vertex appliqu´ee aux termes visqueux. Le second est une adaptation de la m´ethode ´el´ements finis de Galerkin au code AVBP.

4.8.1 Op´erateur cell-vertex (4∆)

Cet op´erateur correspond historiquement au premier implant´e dans AVBPpour calculer la partie dif-fusive des ´equations de Navier-Stokes. La m´ethode de calcul suit exactement la description du calcul du r´esidu `a la cellule (section 4.3), ainsi que la formule de l’´equation nodale (4.12), pour obtenir le terme de diffusion au noeudj. Il reste donc `a expliciter le calcul du flux diffusif ou plus pr´ecis´ement celui du gradient du vecteur solution.

Calcul du gradient

Le calcul du gradient du vecteur est bas´e sur l’hypoth`ese que le vecteur solution varie lin´eairement le long des arˆetes, `a la mani`ere des flux, ce qui revient `a ´ecrire (4.26) et donc faire une approximation du produit des variables, comme on l’a expliqu´e section (4.5.5). Ce calcul est pr´esent´e par Crumpton et al. dans [55]. Selon ces auteurs, cette fac¸on d’int´egrer les flux diffusifs comme les flux convectifs est plus naturelle et consistante que de faire intervenir un volume de contrˆole diff´erent pour chaque ph´enom`ene. Le calcul du gradient au centre d’une cellule se fait de la mˆeme mani`ere que le calcul de la divergence des flux (4.10) en ´ecrivant que (dans le cas 3D) :

~

∇ϕ = ~∇ · (ϕ~ex) ~ex+ ~∇ · (ϕ~ey) ~ey+ ~∇ · (ϕ~ez) ~ez (4.97)

14Avec l’aide pr´ecieuse d’Anthony Roux !

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FIG. 4.14 - Noeuds et cellules utilis´es pour le calcul du terme de diffusion ~∇ · ~FV

j avec l’op´erateur4∆ au noeud

situ´e au centre. Au centre des cellules sombres sont calcul´es les gradients(~∇U)eet termes de diffusion

(~∇ · ~FV)eutilis´es dans le calcul. Au centre des cellules claires sont calcul´es les gradients(~∇U)e.

o`uϕ est une variable scalaire quelconque. On a donc :

(~∇U)e=− ¹ dV_e

X

k∈Ke

U_kS^~_k (4.98)

Une fois le gradient `a la cellule calcul´e, quel que soit le type d’´el´ement consid´er´e, le gradient est recons-truit au noeudj via une moyenne similaire `a la formule (4.12) (op´eration scatter) :

(~∇U)j = ¹ Vj X e∈Dj V_e ne v (~∇U)e (4.99)

Divergence des flux

Les flux diffusifs sont calcul´es `a partir des gradients aux noeuds :

~

Fj^V = ~Fh^V(~x_j) = ~F^V(U_j, (~∇U)j)

La divergence des flux diffusifs aux noeuds (r´esidu des flux diffusifs) est obtenue, en suivant la m´ethodologie d´ecrite section (4.3), en appliquant cons´ecutivement (4.10) puis (4.12), `a l’instar des flux convectifs, mais toujours avecD_j,e = _n¹e

vId, c’est-`a-dire la matrice des diff´erences centr´ees. Cela implique donc que les gradients varient lin´eairement le long des arˆetes des cellules. Cette approximation ne pose pas de difficult´es pratiques et le sch´ema est consistant et d’ordre 2.

Pour obtenir le terme de diffusion au noeudj, il faut donc proc´eder `a deux op´erations scatter (la premi`ere pour les gradients, la deuxi`eme pour distribuer les r´esidus), ce qui rend le calcul du terme de diffusion coˆuteux. Cel`a revient aussi `a dire que le stencil de ce sch´ema de diffusion est `a4∆, c’est-`a-dire que deux couches de cellules autour du noeudj sont exploit´ees pour le calcul (voir figure (4.14)).

FIG. 4.15 - Noeuds et cellules utilis´es pour le calcul du terme de diffusion~∇ · ~FV

j avec l’op´erateur2∆ au noeud

situ´e au centre. Au centre des cellules sont calcul´es les flux(~∇U)e.

En plus de son coˆut, ce sch´ema a pour d´efaut d’ˆetre tr`es peu dissipatif (moins que l’op´erateur qu’il approxime), en particulier pour les petites ´echelles. Son utilisation, dans le cadre de simulations d’´ecoulements turbulents instationnaires (LES), est donc plutˆot d´econseill´ee car les petites structures ne sont pas dissip´ees et les spectres d’´energie cin´etique erron´es (voir les THI dans [45]). En outre, cet op´erateur ne dissipe absolument pas les wiggles dont la longueur d’onde est ´egale `a2∆ (ou 2h) , c’est-`a-dire les oscillations num´eriques de plus petite longueur, pr´esentes dans toute simulation num´erique (mais d’une mani`ere plus ou moins sensible) et souvent g´en´eratrices de divergence des r´esultats.

4.8.2 Op´erateur (2∆) - M´ethode de Galerkin

Au vu des limitations de l’op´erateur 4∆, un deuxi`eme op´erateur a vu le jour dans AVBP. Celui-ci est bas´e sur la m´ethode de Galerkin. Il a ´et´e montr´e que l’op´erateur de diffusion ainsi obtenu peut ˆetre exprim´e comme un sch´ema fluctuation splitting (donc cell-vertex ) sur des ´el´ements lin´eaires [246]. Cependant, `a proprement parler, il ne s’agit pas d’un sch´ema cell-vertex mais vertex-centred comme on va le voir.

Comme l’a indiqu´e Colin [45], la construction du sch´ema 2∆ dans AVBP ne s’appuie pas sur une application stricte de la m´ethode des ´el´ements finis de Galerkin, car la formulation exacte devient alors assez lourde dans certains cas (´equation de la quantit´e de mouvement par exemple). La m´ethodologie adopt´ee permet toutefois d’obtenir un r´esultat similaire.

Le sch´ema obtenu `a partir de la m´ethode de Galerkin est donc ´equivalent `a un sch´ema volumes finis vertex-centredpour des ´el´ements P1 [14]. Ainsi, le volume de contrˆole associ´e au noeud j n’est pas une cellule primale du maillage. Ici, le calcul de la divergence des flux ne se fait donc pas au centre des cellules comme dans l’´equation (4.10)), mais dans le volume de contrˆole associ´e au noeudj, qu’on consid`ere loin des bords ici (figure (4.15)). En utilisant la relation (4.41) :

~ ∇ · ~F^V j ≈ ¹ V_j Z Ω ~ ∇ · ~Fh^V φ_j dV = − ¹ V_j Z Ω ~ Fh^V · ~∇φjdV = ¹ V_j Z ∂Cj ~ Fh^V · ~n dS (4.100)

La discr´etisation de l’´equation (4.100) s’´ecrit alors16: ~ ∇ · ~F^V j = ¹ dV_j X e∈Dj ~ Fj,e^V · ~S_j,e (4.101)

o`u la normale ~S<sub>j,e</sub>est associ´ee au noeudj, dans la cellule K<sub>e</sub>et il reste `a expliciter la d´efinition de ~Fj,e^V . Dans le cas de l’op´erateur de difusion `a4∆, aucune distinction n’est faite selon l’´el´ement. Ici, `a l’instar des sch´emas de convection ´el´ements finis, il existe une diff´erence selon qu’on traite des ´el´ements P1 (lin´eaires) et des ´el´em´ents bi ou tri-lin´eaires. Pour des ´el´ements lin´eaires, les gradients sont constants au sein de chaque cellule (cf. fonctions de forme) donc :

~

Fj,e^V = ~Fe^V = ~F^V((~∇U)e).

Dans le cas des ´el´ements non lin´eaires, en revanche, on utilise, pour calculer les flux, des reconstructions ´el´ements finis de Galerkin. Cette reconstruction utilise la mˆeme m´ethodologie que celle ´evoqu´ee pour les sch´emas Taylor-Galerkin, section 4.6.3, soit :

~

Fj,e^V = ~F^V((~∇U)e) + ~F^V((δ ~∇U)j,e).

Au final, la m´ethode de Galerkin n’est donc pas appliqu´ee `a la variable consid´er´ee, mais au flux correspondant (construit `a partir des gradients de cette variable). Colin [45] a cependant montr´e que les deux m´ethodes sont ´equivalentes, sauf pour des pyramides. On notera que ce d´evelopppement est tr`es proche de celui fait pour exprimer les d´eriv´ees secondes, pour les sch´emas Taylor-Galerkin.

Cet op´erateur ne fait intervenir que les noeuds appartenant aux cellules adjacentes au noeudj. Ainsi, le stencil de l’op´erateur est de2∆ et la cons´equence principale, par rapport `a son vis-`a-vis `a 4∆, est qu’il dissipe les petites ´echelles. Son comportement physique est, d`es lors, beaucoup plus physique et il peut ˆetre utilis´e pour les calculs turbulents, car il ´evite de voir l’´energie cin´etique s’accumuler aux longueurs d’onde inf´erieures `a4∆.

Un des d´efauts principaux de ce sch´ema vient de son inconsistance sur certaines connectivit´es [45]. Sur un maillage pour lequel la connectivit´e des noeuds ne change pas, il n’y a aucun probl`eme. En revanche, dans le cas contraire, la d´eriv´ee seconde peut ˆetre mal calcul´ee. N´eanmoins, en moyenne sur un ´el´ement, celle-ci reste exacte, ce qui signifie que la solution globale n’est finalement pas affect´ee et l’inconsistance est locale.

Cet op´erateur est celui utilis´e dans les calculs LES de cette th`ese.