Equations r´esolues et calcul des m´etriques .1Equations sous forme compacte.1Equations sous forme compacte

Comme on l’a ´evoqu´e dans la partie I, la formulation diff´erentielle des ´equations de Navier-Stokes, des ´equations d´ecrivant la phase dispers´ee ou encore des ´equations de convection-diffusion d’un scalaire avec ou sans terme source, s’´ecrit de mani`ere compacte de la fac¸on suivante :

∂U

∂t ^{+ ~}∇ · ~F = S (4.5)

o`u U ∈ Rm est le vecteur contenant les m variables conservatives (4 ou 5 pour les ´equations de Navier-Stokes, pour Ω respectivement dans R² ou R³), ~F = (F, G, H)T le tenseur des flux de U et

1Il faut noter toutefois que l’indice k est aussi utilis´e pour la num´erotation globale lors de la description de la m´ethode de Galerkin.

noeud

centre de cellule

volume de contrôle

FIG. 4.4 - Repr´esentation d’un maillage hybride et mise en ´evidence : (1) des contributions d’un ´el´ement (color´e

ici) vers ses sommets et (2) des contributions des cellules adjacentes `a un noeud (ici le noeud au centre du sch´ema).

S ∈ Rm repr´esente les termes sources. Les diff´erentes variables et leurs flux ont ´et´e pr´esent´es dans la partie I de cette th`ese. Les flux peuvent ˆetre explicit´es selon deux composantes :

~

F = ~F^C(U) + ~F^V(U, ~∇U) (4.6)

~

FC correspond aux flux convectifs, propres aux ´equations d’Euler (et ne d´ependent que de U) et ~FV

sont les flux visqueux (d´ependant `a la fois deU et de ses gradients).

4.3.2 Discr´etisation du domaine de calcul

La premi`ere ´etape de la formulation cell-vertex est commune aux m´ethodes volumes ou ´el´ements finis et consiste `a discr´etiser, comme on l’a dit dans la section 4.1, le domaine de calcul en un ensemble conforme de poly`edres. Ici, chaque poly`edre (ou cellule, maille ou encore ´el´ement) est compos´e den^e_v sommets (vertex-vertices en anglais) qui constituent lesN_hnoeuds du maillage. Le principe de r´esolution de la m´ethode cell-vertex est d’appliquer les bilans des flux des lois de conservation dans les cellules primales (ou ´el´ements ou mailles) du maillage, puis de redistribuer aux noeuds pour ´ecrire la mise `a jour temporelle des variables conservatives (voir figure (4.4)). Dans cette formulation, le stockage des variables ne se fait pas au centre des volumes de contrˆole sur lequels sont appliqu´es les bilans, mais aux noeuds (donc aux sommets des ´el´ements).

La r´esolution de l’´equation (4.5) se fait `a chaque noeud de discr´etisation du maillage et en plusieurs ´etapes. La premi`ere est de r´ealiser le calcul du r´esidu (ou fluctuation) pour chaque ´el´ementK_e. Celui-ci est d´efini de la mani`ere suivante [200] :

R_e:= ¹ V_e Z Ke ~ ∇ · ~FhdV (4.7)

En appliquant le th´eor`eme de Green-Gauss `a l’´equation (4.7) R_e:= ¹ Ve I ∂Ke ~ Fh· ~n dS (4.8)

o`u ~Fhest l’approximation num´erique du flux ~F et Ve := mes(Ke) est le volume de la cellule Ke(en 2 dimensions, il s’agit de l’aire).

4.3.3 M´etriques

Avant de donner les d´etails du calcul du r´esidu, on va rappeler comment sont d´efinies les m´etriques dans AVBP. Le code de calcul peut ˆetre utilis´e sur des maillages hybrides (voir figure (4.4)), on peut donc combiner des ´el´ements typiques des maillages structur´es (quadrilat`eres, hexa`edres) et des maillages non-structur´es (triangles, t´etra`edres), ainsi que des ´el´ements de transition (prismes, pyramides), comme on le voit sur la figure (4.5). La m´ethode cell-vertex repose sur une d´efinition des m´etriques bas´ee aux cellules (par opposition `a une m´ethode bas´ee aux arˆetes comme le code N3SNatur).

FIG. 4.5 - Les diff´erents ´el´ements pouvant se retrouver dans les maillages utilis´es avec le code AVBP. De gauche `a droite : triangle, quadrilat`ere, t´etra`edre, h´exa`edre, pyramide, prisme

A l’exception des bords du domaine Ω, o`u le traitement est particulier (on y reviendra plus tard), les normales utilis´ees dans AVBP sont d´efinies aux sommets des ´el´ements. Pour simplifier le codage et pouvoir appliquer la mˆeme formule de calcul du r´esidu ou des gradients, quel que soit le type d’´el´ement consid´er´e, on d´efinit les normales de la mani`ere suivante :

1. On calcule d’abord les normales ~S_f aux facesf des cellules (pointant vers l’ext´erieur). Ce calcul inclut la pond´eration de la normale par l’aire de la face concern´ee. Il est `a noter qu’en g´en´eral, dans le cas des faces quadrangulaires, les 4 sommets n’appartiennent pas `a un mˆeme plan. La face est donc divis´ee en quatres triangles (deux divisions selon les diagonales) et la normale ~S_f est une moyenne des normales aux triangles (voir figure (1)). Cette mani`ere de calculer les nor-males permet, en particulier, de pr´eserver la lin´earit´e d’une solution (ce qui revient `a assurer une convergence du sch´ema `a l’ordre 2 pour des maillages suffisamment r´eguliers).

2. La normale ~S_kau sommetk est une combinaison lin´eaire des normales aux faces adjacentes `a k et s’´ecrit : ~ S_k =X f ∋k − ^d n^fv ~ S_f (4.9)

Le signe ”−” apparaˆıt car on a choisi une normale ~S_kpointant vers l’int´erieur de la cellule.n^f_v est le nombre de sommets sur la facef et d le nombre de dimensions de Ω. Il faut noter que la normale ~

S_kest pond´er´ee par une surface (sa norme n’est pas unitaire). Un exemple pour un quadrilat`ere est donn´e sur la figure (4.7).

FIG. 4.7 - Calcul des normales aux noeuds dans un quadrilat`ere quelconque.

Par ailleurs, dans le cas d’´el´ements lin´eaires (triangles et t´etra`edres), ce calcul revient `a obtenir une normale ~S_k´egale `a la normale de la face oppos´ee au sommetk (figure (4.8)).

FIG. 4.8 - Calcul des normales aux noeuds dans un triangle quelconque. Afin d’assurer la consistance des sch´emas num´eriques, on v´erifie que :P

k∈Ke_S~

k= ~0.

4.3.4 Calcul du r´esidu et ´equations aux noeuds

La discr´etisation du r´esidu utilise une int´egration des flux suivant une m´ethode des trap`ezes appliqu´ee aux arˆetes (ou aux faces selon la dimension), partant de l’hypoth`ese que les flux varient lin´eairement

le long des arˆetes des ´el´ements (voir section 4.1) [11,201]. Grˆace `a la d´efinition des normales (4.9), le r´esidu `a la celluleK_es’´ecrit alors, quel que soit le type d’´el´ement consid´er´e²:

R_e=− ¹ dVe X k∈Ke ~ Fk· ~S_k (4.10)

o`u ~Fk = ~Fh(~x<sub>k</sub>) = ~F(Uk) est l’approximation des flux au sommet{k|k ∈ Ke}. De plus, en notant que : ~∇ · ~x = d, on peut d´efinir le volume Vede la mˆeme mani`ere par :

V_e=−_d¹₂ ^X

k∈Ke

~x_k· ~S_k (4.11)

Une fois les r´esidus aux cellules calcul´es, il est n´ecessaire d’envoyer l’information aux noeuds afin d’obtenir autant d’´equations alg´ebriques que d’inconnues et pouvoir r´ealiser la mise `a jour du vecteur so-lution (figure (4.4)). Le r´esidu au noeudj s’´ecrit comme une moyenne des r´esidus aux cellules adjacentes pond´er´es par le volume de celles-ci :

N_j = ¹ V_j

X

e∈Dj

D_j,eV_eR_e (4.12)

o`uD<sub>j,e</sub>est une matrice de distribution qui permet de distribuer le r´esidu du centre de la celluleK<sub>e</sub> au noeudj. L’op´eration d’assemblage des contributions de chaque cellule est appel´ee scatter. Il s’agit de l’op´eration la plus coˆuteuse en terme de temps de calcul dans AVBP, car elle fait intervenir des commu-nications et transferts de donn´ees aux interfaces entre processeurs, en calcul parall`ele, et entre groupe de cellules. Le volume de contrˆoleV_jassoci´e au noeudj est d´efini : V_j =P

e∈DjV_e/n^e_v. On peut, d`es lors, ´ecrire un sch´ema semi-discret (avec un avancement en temps parfait) :

dU_j

dt ⁼−Nj (4.13)

On remarque que pour le moment, la discr´etisation temporelle n’est pas ´evoqu´ee. Cet aspect sera d´evelopp´e plus en d´etail dans la suite.

Il est `a noter, ici, que pour assurer la conservativit´e du sch´ema num´erique, la somme des matrices de distribution doit ˆetre ´egale `a l’identit´e :P

k∈KeD_k,e = Id [235].