Mod´elisation m´esoscopique des ´ecoulements dispers´es
1.1 Stat´egies pour la simulation d’un spray dilu´e .1Introduction - particule isol´ee
Dans cette th`ese, on s’int´eresse `a la dispersion d’un brouillard de gouttes ou de particules (spray)1
dans une chambre de combustion. Dans cette partie, on n’´evoque pas les ph´enom`enes d’atomisations primaire et secondaire qui ont permis l’obtention du spray. De plus, par hypoth`ese, on consid`ere que le spray est dilu´e, c’est-`a-dire que la fraction volumique de gouttes est inf´erieure `a environ0, 1%. Ceci permet de dire que le transfert de quantit´e de mouvement entre les deux phases est essentiellement `a sens unique : du gaz (phase porteuse) vers les particules (phase dispers´ee). En outre, la dilution permet de s’affranchir de l’interaction complexe que sont les collisions entre les gouttes. Une seconde approxima-tion consiste `a consid´erer que les particules sont toutes sph´eriques et de densit´eρpconstante.
En suivant ces hypoth`eses et en consid´erant un faible Reynolds particulaire, Maxey et Riley [140] ont r´ealis´e un bilan des forces sur une particule isol´ee qui s’´ecrit :
mp
d~vp
dt = ~Fp,1+ ~Fp,2 (1.1)
o`ump est la masse de la particule,~vpsa vitesse, ~Fp,1 les forces que le gaz exercerait sur un ´el´ement de fluide situ´e `a la place de la particule et ~Fp,2les forces qui r´esultent de la perturbation du champ de vitesse du gaz par la particule.
F´evrier [69], Kaufmann [109] et Riber [192] d´etaillent l’ensemble de ces forces (traˆın´ee, pouss´ee d’Ar-chim`ede, force de masse ajout´ee, d’histoire, portance...) avant de r´ealiser des simplifications, compte tenu des ´ecoulements qui nous int´eressent en particulier. De toutes les forces qu’ils ´enum`erent, seule la
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traˆın´ee est conserv´ee par la suite2. Celle-ci s’exprime comme suit : ~ Fp= 3 4ρ πd3p 6 1 dp Cd||~uf @p− ~vp||(~uf @p− ~vp) (1.2) etdp est le diam`etre de la particule consid´er´ee,Cdle coefficient de traˆın´ee et~uf @pla vitesse du fluide porteur `a la position de la particule. On reviendra sur le calcul de la traˆın´ee un peu plus loin. On s’int´eresse tout d’abord aux strat´egies qu’on peut employer pour simuler la propagation d’un brouillard de gouttes ou de particules.
1.1.2 M´ethodes Lagrangiennes
La premi`ere m´ethode qu’on consid`ere ici est parfois appel´ee DPS (pour Discrete Particle Simulation). Elle est utilis´ee et rencontr´ee dans de nombreuses simulations gaz-particules (ou gouttes) allant des configurations acad´emiques [231,66,227,251,147] `a des g´eom´etries beaucoup plus complexes [208,
92, 13] et les domaines d’application sont tr`es nombreux comme le soulignent Crowe et al [53]. Elle consiste `a suivre chaque goutte d’un point de vue Lagrangien, en r´esolvant pour chacune la position
~ Xp(k)et ~Vp(k)de la mani`ere suivante : dXp,i(k) dt = V (k) p,i (1.3) dVp,i(k) dt = F (k) p,i (1.4)
A ces ´equations peuvent s’ajouter la variation de masse et de temp´erature, permettant ainsi de prendre en compte le ph´enom`ene d’´evaporation, notamment. L’avantage majeur de cette m´ethode provient du fait qu’il n’est pas n´ecessaire d’ajouter une mod´elisation suppl´ementaire afin de tenir compte de la po-lydispersion ou du croisement de trajectoires. Dans le cadre d’´ecoulements turbulents, elle a ´et´e utilis´ee avec succ`es, coupl´ee `a des m´ethodes RANS, LES et DNS pour le gaz. Afin de r´ealiser le couplage entre les deux phases, il faut localiser les particules sur le maillage utilis´e pour r´esoudre les ´equations du gaz. Pour ce faire, des algorithmes d’interpolation pr´ecis doivent ˆetre utilis´es (afin d’´eviter des ph´enom`enes de diffusion num´erique, notamment).
Le point dur de cette strat´egie reste les calculs sur machines parall`eles [208]. Suivre une particule pas-sant d’un domaine attribu´e `a un processeur `a un autre contrˆol´e par un processeur diff´erent reste difficile [81]. En outre, la d´ecomposition du domaine de calcul ne suit pas les mˆemes r`egles que pour la phase porteuse Eul´erienne. Dans ce dernier cas, le temps de calcul sur une cellule ou sur un groupe de cellules donn´e ne d´epend pas de la solution. Par contre, dans l’approche Lagrangienne, le nombre d’op´erations va ˆetre fortement modifi´e en fonction du nombre de particules dans le domaine d’un processeur. Ainsi la charge de calcul peut ˆetre r´epartie in´equitablement entre les processeurs et d´egrader l’efficacit´e globale. L’´etape de d´ecomposition du domaine de calcul et de r´epartition des tˆaches entre processeurs doit donc ˆetre r´ep´et´ee plusieurs fois pendant le calcul [92].
On note qu’il existe des m´ethodes Lagrangiennes dites stochastiques, permettant de limiter le nombre de
2On se place dans le cas o`u les particules sont plus petites que l’´echelle de Kolmogorov et de masse volumique bien importante que le fluide porteur.
gouttes dans le calcul. L’id´ee est de repr´esenter plusieurs particules ayant des propri´et´es similaires par une seule particule num´erique. Le gain en temps de calcul est non n´egligeable. En revanche, un niveau de mod´elisation suppl´ementaire est alors n´ecessaire.
Enfin on termine ce paragraphe en ´evoquant les m´ethodes semi-lagrangiennes. Le but de cette strat´egie est de construire des champs Eul´eriens pour d´ecrire la phase dispers´ee. L’avancement en temps det `a t + ∆t est cependant r´ealis´e selon un formalisme Lagrangien : on construit les trajectoires des particules arrivant `a un noeud donn´e `at + ∆t afin de connaˆıtre leurs propri´et´es et en d´eduire, de ce fait, le champ Eul´erien. L’avantage que pr´esentent ces sch´emas est leur stabilit´e inconditionnelle et leur lien ´evident avec des m´ethodes de caract´eristiques (cf le sch´ema de Courant-Isaacson-Rees). Leur pr´ecision d´epend des m´ethodes d’interpolation utilis´ees pour calculer les propri´et´es associ´ees aux particules au tempst [167].
1.1.3 M´ethodes Eul´eriennes
L’autre grande cat´egorie de strat´egie est associ´ee au formalisme Eul´erien. Il existe plusieurs formu-lations diff´erentes mais l’id´ee de base est de repr´esenter les propri´et´es de la phase dispers´ee par des champs Eul´eriens. On ne s’int´eresse donc plus aux particules individuellement. Le nuage de gouttes est vu comme une phase continue. Parmi les diverses m´ethodes existantes, on en pr´esente deux.
Filtrage volumique
Cette premi`ere formulation est aussi appel´ee m´ethode `a deux fluides. On trouve une pr´esentation et une discussion tr`es d´etaill´ee dans la th`ese de Kaufmann [109]. On part du principe que les ´equations de Navier-Stokes sont valables pour les deux phases (porteuse et dispers´ee). L’obtention des ´equations se fait en plusieurs ´etapes :
1. On multiplie toutes les ´equations (pour les deux phases) par une fonction indicatriceχφ. Celle-ci est ´egale `a 1 dans une phase not´eeφ et nulle dans l’autre.
2. Application des relations de commutation entre d´eriv´ees et fonction indicatrice lorsque c’est pos-sible.
3. L’op´erateur de moyenneh · iΩ= |Ω|1 R
Ω · χφdV est appliqu´e sur un volume de contrˆole Ω. 4. On mod´elise les termes non r´esolus.
On obtient par exemple pour la conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement de la phaseφ :
∂ ∂tρφαφ+ ∂ ∂xjρφαφUφ,j = Sα,φ (1.5) ∂ ∂tρφαφUφ,i+ ∂ ∂xjρφαφUφ,jUφ,i = Sui,φ (1.6)
etαφ=hχφiΩest la fraction volumique de la phaseφ, ρφla masse volumique etUφ,ila vitesse moyenne ou filtr´ee au sens de Favre (αφρφUφ,i =hρφuφχφiΩ).Sα,φetSui,φsont des termes `a mod´eliser compre-nant les effets de pression, de viscosit´e, d’´echanges entre phases et des fluctuations d’´echelles inf´erieures `aΩ.
Filtrage statistique
La description du spray, du point de vue statistique, repose sur les mˆemes id´ees que la th´eorie cin´etique des gaz. Il s’agit de la strat´egie sur laquelle repose la description de la phase dispers´ee dans AVBP et on la pr´esente en d´etail dans la section suivante.