4.2 Intégration des critères de qualité de service
4.2.2 Le temps perdu
Hormis le temps de transport passé dans le véhicule, le passager est parfois obligé d’attendre le véhicule ou d’attendre à son arrivée, attentes qui lui sont imposées par le transporteur. Le premier cas, appelé requête retour, peut correspondre à une personne souhaitant rentrer chez elle en sortant du travail à une heure précise et le second cas, la requête aller, à une personne se rendant à un rendez-vous et n’ayant aucun intérêt à être en avance. Ces deux types de requêtes forment les ensembles disjoints Aller et Retour. Le premier type de passager souhaite donc être livré le plus tôt possible et le second type être ramassé le plus tard possible. Nous appelons temps perdu l’écart entre la date de livraison effective et la date de livraison au plus tôt pour les requêtes retour (équation (4.59)) et l’écart entre la date de ramassage effective et la date de ramassage au plus tard pour les requêtes aller (équation (4.60)). Ce critère de qualité de service est présenté plus en détail dans la section 3.2 dans le paragraphe réservé aux écarts par rapport à des dates de service souhaitées.
tempsperdu(r) =tr−−Tin f
r− , ∀r∈ Retour (4.59)
tempsperdu(r) =Trsup+ −tr+, ∀r ∈ Aller (4.60)
Le temps perdu se mesure indépendamment pour chaque requête. Nous évaluons, au niveau d’une tournée puis d’une solution, le niveau de qualité de service sur ce cri- tère en sommant le temps perdu pour chaque requête. L’objectif est alors de minimiser cette somme. Nous remarquons que pris comme seul critère d’optimisation, si on dis- pose d’au moins autant de véhicules que de requêtes, une solution optimale triviale est de servir chaque requête par un véhicule différent. Dans un TAD traditionnel, ce critère a du sens soit combiné à un autre ayant un effet minimisant sur le nombre de véhicules, soit accompagné d’une contrainte forte sur la taille de la flotte disponible. La contrainte d’affectation peut être relâchée en une inégalité puisqu’il est trivial de construire une solution équivalente à partir d’une solution optimale servant plusieurs fois la même requête.
4.2. Intégration des critères de qualité de service
Ajouter les colonnes à MP restreint non non oui oui oui oui non Stop Résoudre FSASP oui non oui Résoudre EP dans le p-graphe non Résoudre EP dans le Graphe Idéal
Résoudre MP restreint : Z∗ Z∗>BI(n)? colonnes de coût négatif ? colonnes de coût négatif ? colonnes de coût négatif ? oui EP résolu à l’optimum : c∗? oui BI(n) ≥ BS?
Créer les nœuds fils avec BI( f ils) := Z∗ BI(n):= Z∗+Kc∗ BS:= Z∗ n = argmin{BI(m): m un nœud} Z∗<BSet entière ? Z∗+Kc∗>BI(n)? dans le p-graphe linéaire
Chapitre 4. Maximisation de la qualité de service
Le problème maître MP prend donc la forme suivante : (MP) min
∑
ω∈Ω cωλω (4.61) s.c.q.∑
ω∈Ω ρrωλω ≥1 ∀r=1, . . . , R, [πrρ] (4.62)∑
ω∈Ω λω ≤K [πκ] (4.63) λω ∈ {0, 1} ∀ω ∈Ω. (4.64)Le coût cω de chaque tournée est égal à la somme des temps perdus pour chaque requête ; comme indiqué dans l’équation (4.65) dans le cas des requêtes aller.
cω=
∑
r+∈˙ω
Trsup+ −tr+ (4.65)
4.2.2.1 Résolution du problème esclave
4.2.2.1.1 Cas de requêtes retour uniquement Rien ne change par rapport au modèle standard proposé dans la section4.1.1si ce n’est la ressource liée à la fonction objectif. Le coût n’est pas défini directement sur les arcs, il se calcule dynamiquement par sa fonction d’extension décrite par l’équation 4.66. En effet, les dates de service (ti) ob-
tenues par la fonction d’extension définie par la formule4.25ne sont pas remises en cause par les extensions futures, ni pour des raisons de réalisibilité – les fenêtres de temps étant entièrement compatibles – ni pour des raisons d’optimalité – les dates de ramassage au plus tôt étant optimales pour ce critère. Les règles de dominance entre chemins partiels restent les mêmes. En effet, les durées respectant l’inégalité triangu- laire, tout détour par une livraison entraîne une augmentation du coût. De plus, le fait d’arriver plus tôt au sommet terminal pour le chemin partiel dominant assure que ses extensions peuvent arriver au moins aussi tôt, que celles du chemin partiel dominé, pour les livraisons des requêtes en cours. À ce titre, les règles de dominance sur l’inclu- sion des requêtes en cours et les coûts sont valides.
re fC(ch,(vi, vj)) = Cch si j∈ R+ Cch+tj−Tjin f −πρj si j∈ R− Cch−πvν si j= −R−1 (4.66)
Il est notable que cette procédure n’est pas symétrique et que partir du dépôt d’ar- rivée provoque un affaiblissement de la dominance puisque les dates optimales des services présents dans un chemin partiel « inversé » ne peuvent pas être déterminées avec exactitude dans ce cas.
4.2. Intégration des critères de qualité de service
4.2.2.1.2 Cas de requêtes aller uniquement Dans ce cas, ce sont les dates de ramas- sage au plus tard qui sont optimales. Une procédure parfaitement symétrique à celle proposée pour les requêtes retour, construisant les tournées du dépôt d’arrivée vers celui de départ permet de résoudre le problème.
4.2.2.1.3 Cas de requêtes aller et retour Dans ce cas, il est impossible de détermi- ner les dates optimales de service lorsque la tournée est en construction. Il est donc nécessaire d’affaiblir les règles de dominance liées aux dates de service. Cependant, l’incertitude sur une dominance ne porte que sur le coût final des tournées et non sur leur réalisibilité. Il suffit donc de calculer une borne supérieure sur le coût de la tournée partielle pour pouvoir effectuer la comparaison. Une borne supérieure sur le coût est obtenue par résolution du programme linéaire BSch où le graphe Gch = (Vch,Ach)re-
présente le chemin partiel ch et Aller(ch)et Retour(ch)les ensembles de requêtes aller et retour servies dans ch. Pour i et j deux services successifs dans ch, δij est fixé à 1 et à
0 pour tout autre paire de services. (BSch)
max
∑
r∈Retour(ch)
(tr−−Trin f− −πρr) +
∑
r∈Aller(ch)∪(O(ch)∩Aller)
(Trsup+ −tr+−πrρ) (4.67) s.c.q. Tiin f ≤ti ≤ Tisup ∀vi ∈ Vch, (4.68) ti+Tij−tj ≤0 ∀(vi, vj) ∈Ach : δij =1 , (4.69) ti ≥0 ∀vi ∈ Vch. (4.70) On note z∗(BS
ch)la valeur optimale de BSch et z∗(BIch)la valeur optimale de BIch
qui est le pendant de BSchpour la minimisation. Ainsi z∗(BI
ch)est une borne inférieure
sur le coût de ch. On remplace la règle de dominance sur les coûts (Cch ≤Cch′) entre ch et ch′par la règle4.71.
z∗(BS
ch) ≤z∗(BIch′) (4.71)
Cette règle est valide puisque pour toute requête retour en cours, le fait que Tch
soit inférieur ou égal à Tch′ assure la dominance en terme de coût pour les livraisons des requêtes retour en cours. Pour les autres requêtes servies ou commencées, la règle compare le pire cas pour ch et le meilleur pour ch′.
Pour calculer le coût de la tournée complète, il suffit d’utiliser le même modèle en remplaçant la maximisation par une minimisation et en retranchant la variable duale associée au véhicule.
Chapitre 4. Maximisation de la qualité de service