4.2 Intégration des critères de qualité de service
4.2.1 La distance totale parcourue
La distance totale parcourue est la somme des distances parcourues pour chaque tournée. Même si la distance parcourue d’une tournée ne se décompose pas par rapport aux uniques requêtes servies, elle est obtenue en sommant la distance parcourue entre chaque service, dépôts inclus. Ce critère rentre donc bien dans la troisième catégorie de notre classification, voir la section3.2. Ce critère est représentatif de nombreux autres qui se calculent de façon similaire. Ce critère a un impact fort sur d’autres comme la durée totale de transport, le nombre véhicules utilisés et le coût d’exploitation. C’est la fonction objectif la plus souvent étudiée et c’est en l’optimisant que nous avons évalué notre algorithme. Dans cette section, la minimisation de la distance totale parcourue va nous permettre d’étudier l’intérêt de considérer des chemins alternatifs offerts par le réseau de transport. Ce thème est évoqué dans la section3.3.3où se trouve un schéma d’illustration de l’intérêt, en terme de coût de la solution, de considérer des chemins offrant des compromis entre la durée et la distance.
Nous supposons ici que la taille de la flotte est illimitée. On obtient donc le problème maître : (MP) min
∑
ω∈Ω cωλω (4.53) s.c.q.∑
ω∈Ω ρrωλω =1 ∀r =1, . . . , R, [πrρ] (4.54) λω ∈ {0, 1} ∀ω∈ Ω. (4.55)Le coût cω de chaque tournée est égal à la somme des distances des arcs la compo- sant, comme indiqué dans l’équation4.56.
cω =
∑
(vi,vj)e∈ω¯
Dije (4.56)
4.2.1.1 Construction du p-graphe
Considérons le réseau routier composé de nœuds marquant l’intersection entre plu- sieurs tronçon. Nous construisons à partir de ce réseau, le 1-graphe G0 = (V0,A0), où
V0 contient l’ensemble des nœuds du réseau routier plus un sommet pour chaque ser-
Chapitre 4. Maximisation de la qualité de service
À partir de chaque paire de sommets deV0, on construit les arcs inclus dansA0à partir
des tronçons reliant les intersections ou arrêts correspondant à ces sommets.
À chaque arc trois poids sont attribués : la durée de parcours, la distance, et le flux de passagers3. L’algorithme4calcule l’ensemble des chemins Pareto-optimauxP
ijentre
chaque paire de services i et j. L’ensemble Pij correspond à l’ensemble des solutions
Pareto-optimales du problème de réalisibilité associé au problème de plus court chemin avec contraintes de ressources (SPPRC) entre i et j, avec une ressource sur le durée, une sur le flux de passagers et une sur la distance. Ainsi, l’algorithme 4 est une simple adaptation de l’algorithme de programmation dynamique présenté dans la section2.3. Le tri des chemins partiels entre deux mêmes services par rapport à une ressource discriminante, comme la durée ou le coût, permet d’accélérer la phase d’insertion des nouveaux chemins partiels (des lignes 7 à 14).
Nous pouvons à présent considérer le p-graphe G= (V,A)où les éléments vi deV
sont les services (départ et arrivée aux dépôts inclus) comme dans le cas d’un graphe simple, et l’arc(vi, vj)e(e=1, . . . ,|Pij|) représente un des chemins Pareto-optimaux de
Pij.
4.2.1.2 Résolution du problème esclave
Les améliorations apportées à la résolution du problème esclave dans la section4.1.3 sont aisément adaptables au cas du p-graphe. Les réductions de graphe nécessitent l’utilisation des arcs représentant les plus courts chemins en temps. Les valeurs duales associées aux services sont retranchées à l’ensemble des arcs entrants à ce service.
Considérer l’ensemble des itinéraires Pareto-optimaux offerts par le réseau routier augmente considérablement la taille du graphe à traiter même après les procédures de réduction évoquées dans la section4.1.3.3. Nous proposons alors d’utiliser pour la résolution du problème esclave, un 1-graphe que nous appelons graphe idéal et notons Gid. De tous les arcs incidents aux deux mêmes sommets nous construisons un unique
arc idéal qui prend la meilleure valeur pour chaque poids. Dans notre cas, l’arc idéal
(vi, vj)idest défini par les équations (4.57)-(4.58). Pour la ressource d’occupation F, l’arc
idéal prend la même valeur que tous les autres.
Didij = min e=1,...,|Pij| n Dije o −πiρ si i ∈ R+ min e=1,...,|Pij| n Dije o sinon (4.57) Tid ij = min e=1,...,|Pij| n Tije o (4.58) S’il n’y a pas de chemin de coût négatif dans Gid, alors il n’y en a sûrement pas dans G et le problème est résolu. À partir des chemins de coût négatif issus de Gid, nous
3Le flux de passager est nul pour les arcs sortants d’un nœud n’étant pas un service.
4.2. Intégration des critères de qualité de service
Algorithme 4 : Algorithme de construction du p-graphe Données : G0: un graphe multivalué sur R ressources;
P : une liste de chemins partiels non traités;
Peiet: les listes de chemins partiels de eivers et; Résultat :Peietoù eiet etsont des services
P ←un chemin partiel initial pour chaque service ; 1
tant queP 6=∅faire 2 prendre p∈ P; 3 et:=extrémité terminale de p; 4 ei :=extrémité initiale de p; 5 domine:= f aux; 6
si etest un service alors
7
pour chaque chemin partiel p′ ∈ P
eiet faire 8 si Dp≤ Dp′et Tp ≤Tp′et Fp ≤ Fp′ alors 9 Peiet := Peiet\ p′ ; 10 sinon 11 si Dp′ ≤Dpet Tp′ ≤ Tpet Fp′ ≤Fpalors 12 domine :=vrai; 13 sortir boucle; 14
si domine= f aux alors 15
si etest un service alorsPeiet := Peiet∪ {p} pour chaque arc(et, i)faire 16
p′ :=l’extension de p par(e
t, i);
17
si i est un service alors 18
si Tp′ ≤ Tisupet Fp′ ≤ Fisupalors 19 P := P ∪ p′ ; 20 sinon 21 P := P ∪ p′ ; 22
Chapitre 4. Maximisation de la qualité de service
cherchons des chemins de coût négatif dans G. Pour cela nous cherchons à trouver une sélection d’arcs valide permettant de conserver la séquence du chemin trouvé intacte et minimisant le coût. Ce problème est présenté sous le nom de problème de sélection d’arcs dans une séquence fixée (FSASP) dans la section3.3.3traitant du problème d’ho- rodatage dans un p-graphe linéaire. Un algorithme de résolution y est proposé (l’algo- rithme2). Si la recherche dans les séquences obtenues à partir des chemins du graphe idéal est infructueuse, nous résolvons alors le ESPPRC directement sur G. Là encore l’adaptation de l’algorithme 1 est aisée, puisqu’il suffit lors de la phase d’extension d’étendre les chemins partiels par tous les arcs sortants de son extrémité terminale.
Dans la figure4.9, nous montrons l’intégration de ces étapes dans le schéma général de résolution. Les éléments nouveaux apparaissent en gras dans des cadres à bords épais.