Évaluation sur un tronçon ou un arrêt

1. Écarts par rapport à des dates de service souhaitées

Les passagers peuvent avoir des préférences ou des impératifs sur les dates de réalisation des services. Le cas général donne ainsi lieu à une fonction φr(tr+, t_r−) associant un niveau d’inconvénient aux dates de réalisation des services.

Dans certaines applications l’inconvénient se mesure par rapport à un seul service soit le ramassage (notion de inbound request, par exemple pour le retour chez soi), soit la livraison (notion de outbound request, par exemple pour le départ de chez soi). D’une fonction exprimée par rapport à la date de livraison, on peut déduire un inconvénient lié à la date de ramassage. La réciproque est vraie.

Un cas particulier courant de telles fonctions d’inconvénient est celui des fenêtres de temps, où l’inconvénient est infini à l’extérieur de la fenêtre.

Cette fonction peut prendre des formes diverses (fig.1) généralement date butoir, fonction convexe, souvent linéaire et limitée dans une fenêtre de temps. Les fonc- tions d’inconvénient peuvent être intégrées au modèle dans la fonction objectif ou dans des contraintes de majoration. Il est souvent possible de se ramener à une

date butoir avance-retard quadratique périodique

FIG. 3.2: Représentation de la pénalité associée à l’écart par rapport à des horaires idéaux de début de service.

fonction où l’inconvénient est indépendant pour chaque service. Dans ce cas, il existe une fonction φ séparable et des fonctions φ_r+ et φ_r− telle que

∀r ∈ R, φr(tr+, t_r−) =φ(φ_r+(t_r+), φ_r−(t_r−)).

Par exemple, une pénalisation linéairement liée à la durée d’une course (équation (3.5)) est décomposable en deux fonctions indépendantes. La figure3.3représente un tel cas particulier.

∀r∈ R, φr(tr+, t_r−) =a(t_r−−t_r+) +b= [a(t_r−) +b] + [−a(t_r+)] (3.5)

2. Temps d’attente absurdes

Pour bon nombre de TAD, aucun passager n’a intérêt à attendre dans le véhicule à l’arrêt avant de descendre même s’il arrive avant la date souhaitée, ou bien d’at- tendre à l’arrêt après être monté dans le véhicule même s’il monte à la date sou- haitée. La figure3.4indique les cas où il ne doit pas y avoir d’attente ; c’est-à-dire

Chapitre 3. Critères de qualité de service +x coût temps -x 0 T_r+_r− T_rin f+ T_rin f− T_rsup+ T_rsup− φr=a(tr−−t_r+) −T_r+_r− φ_r−(t_r−) =at_r−−T_r+_r− φ_r+(t_r+) = −at_r+

FIG. 3.3: Représentation de la pénalité associée à la durée d’un trajet par des fonctions du temps associées à chaque arrêt

départ arrivée i+ i+ _j− j− départ arrivée i+ départ arrivée j− départ arrivée j− i− départ arrivée i− i+ départ arrivée j+ j+

FIG. 3.4: Temps d’attente absurdes

3.2. Critères de qualité de service

que quelque soit la fonction objectif de l’optimisation, des solutions présentant ce genre de temps d’attente auront toujours une qualité de service trop faible pour les passagers. Dans chacun des trois cas, le schéma du haut représente une si- tuation avec des temps d’attentes absurdes représentés par des points de suspen- sion, et le schéma du bas la situation correspondante sans ces temps d’attentes. Le cas du haut indique que les suppressions des attentes entre un ramassage et une livraison se font par retardement du ramassage et/ou avancement de la li- vraison suivante. Ceci traduit uniquement le fait que les gens n’attendent pas à l’arrêt juste après être monté ni juste avant de descendre quelque soit leur date de réalisation de service souhaitée. Les deux cas de figure en-dessous, illustrent la transitivité de ces temps d’attente absurdes entre services de même nature. On en déduit que seules les attentes dans le véhicule entre une livraison suivie d’un ramassage peuvent avoir du sens, ce qui se traduit par l’équation (3.6).

∀ (i, j)∈ R/ −× R+, wij =0 (3.6)

Même si, à notre connaissance aucun outil d’optimisation n’en tient compte ac- tuellement, ces temps d’attente ne sont pas si absurdes dans certains cas pra- tiques. Pour des raisons de sécurité par exemple, les passagers peuvent préférer attendre dans le véhicule avant de faire la correspondance avec un autre moyen de transport.

Nous signalons que bon nombre d’applications n’autorisent aucun temps d’at- tente à l’arrêt lorsque des passagers sont à bord. Ceci dans le souci d’augmenter le niveau de qualité de service ; ce qui paraît assez incohérent lorsque les passa- gers sont prêts à faire des détours.

3. Ordre des services en un même lieu

Dès qu’un véhicule arrive à un arrêt, il y effectue toutes ses livraisons sans at- tendre. Il quitte ce lieu dès que tous les ramassages prévus sont faits. Ceci est illustré par la figure3.5et s’exprime par la formule (3.7) :

∀(vi, vj) ∈Aavec Tij = 0        tj ≥ti+si si(i, j) ∈ R−× R+et(vi, vj) ∈ω¯; tj =ti+si si(i, j) ∈ R−× R−et(vi, vj) ∈ω¯; tj =ti+si si(i, j) ∈ R+× R+et(vi, vj) ∈ω¯; (vi, vj)∈/ω¯ si(i, j) ∈ R+× R−. (3.7) On pourrait supposer que les livraisons et les ramassages sont simultanés et alors d’une durée égale au plus long des services ou à une autre combinaison. A priori, par souci d’homogénéité avec le cas général, nous considérons que ces temps de service se cumulent dans le temps. Ce qui nous permet d’intégrer les temps de service dans les temps de parcours.

4. Différents niveaux de qualité de service par type de véhicule

Les passagers peuvent exprimer des préférences (ou des exigences) par rapport au véhicule qui les transporte. Soit veck

r la préférence d’une requête r pour un

type de véhicule k. Dans le cas où vec_rk est binaire, chaque type de véhicule se voit attribuer un sous-graphe propre restreint à l’ensemble des requêtes qu’il peut servir.

Chapitre 3. Critères de qualité de service r− 2 r+5 r6+ r− 3 r− 1

arrivée à l’arrêt départ de l’arrêt

temps

FIG. 3.5: Ordonnancement des services pour un véhicule en un même lieu entre deux trajets 5. Distance parcourue

Ce critère est le plus classique en calcul de tournées de véhicules. La distance est un attribut associable à chaque arc (tronçon)(vi, vj). Que ce soit par course ou par

tournée, il suffit de sommer la distance de chaque arc concerné. Malgré tout, il peut être pertinent de modéliser le réseau pour un p-graphe, rendant ainsi ce cas plus complexe. Ce sujet est développé dans la section3.3.3.

6. Durée

C’est exactement le même calcul que celui de la distance parcourue en utilisant la durée des arcs et en y ajoutant les durées de service et les temps d’attente aux arrêts. Les seuls tronçons minimaux pour la durée sont suffisants pour obtenir une solution optimale. Si une contrainte est imposée sur la distance totale par- courue, il devient alors pertinent de considérer des trajets alternatifs comme pour le critère de la distance parcourue.

7. Pénibilité

À chaque tronçon de route, est associable un facteur de pénibilité calculé à par- tir du nombre de ralentissements ou d’arrêts obligatoires (feux tricolores, stops, passages piétons, ralentisseurs. . .), de la qualité du macadam, de la sinuosité de la route, de la beauté du paysage, ou tout autre critère déterminable de façon définitive et indépendante pour chaque tronçon.

3.2.2 Évaluation sur une course