3.3 Maximisation de la qualité de service pour une séquence fixée d’arrêts à
3.3.2 Cas du 1-graphe
3.3.2.1 Modélisation
Soit Gω = (Vω,Aω) un 1-graphe, où Vω est la restriction de V à la séquence ¯ω etAω les arcs la composant. Le problème d’horodatage HP prend la forme suivante. La fonction φ de R|Vω| dans R exprime l’inconvénient lié aux dates de réalisation des
services. Les contraintes (3.22) assurent le respect des fenêtres de temps tandis que les contraintes (3.23) assurent la continuité du flot sur la ressource T.
(HP) min φ(t) (3.21) s.c.q. Tiin f ≤ti ≤Tisup ∀vi ∈ Vω, (3.22) ti+Tij−tj ≤0 ∀(vi, vj) ∈ Aω, (3.23) t∈R|Vω| (3.24)
Le fait d’imposer un ordre sur les services, permet de renforcer les contraintes de fe- nêtres de tempshTiin f, Tisupiinitiales. Il est clair que certaines dates de début de service
Chapitre 3. Critères de qualité de service
peuvent être incompatibles avec des services prédécesseurs ou successeurs. Les procé- dures récursives, où i représente le successeur de i dans ¯ω, décrites par les équations (3.25) et (3.26) permettent la mise à jour des fenêtres de temps.
Tiin f :=maxnTiin f +Tii, Tiin f
o
∀vi ∈ Vω (3.25)
Tisup:=minnTisup−Tii, Tisup
o
∀vi ∈ Vω (3.26)
La séquence est supposée valide ; c’est-à-dire que toutes les contraintes structurelles (élémentarité, couplage, précédence) et d’occupation du véhicule sont respectées et qu’il existe un horodatage réalisable pour HP.
3.3.2.2 Résolution
Lorsque les dates de service peuvent être considérées à valeurs réelles (ce qui, en pratique, est généralement le cas), HP est un programme linéaire si φ est linéaire et sinon sa difficulté dépend de la nature de φ et fait appel à des méthodes de résolution plus ou moins standard. La littérature propose néanmoins des algorithmes adhoc.
Le cas des fonctions objectifs exprimables comme combinaison linéaire de fonc- tions d’inconvénient propres à chaque service représente la quasi-totalité de la litté- rature à ce sujet (Desrosiers et al., 1995). Nous remarquons que sous ces conditions, le problème est analogue à un problème d’ordonnancement à une machine de type
(1, Fk|(rj, dj), seq|line|), où 1 est le nombre de machines, Fkla limite de ressource consom-
mée, rj et dj les dates de réalisation au plus tôt et au plus tard, seq (pour séquence)
le type de graphe représentant les contraintes de précédence et line (pour linéaire) le type de métrique. Puisque les durées de transport entre deux services successifs sont constants, on peut appeler ces trajets des tâches de durée fixe. Les contraintes de pré- cédence entre les tâches définissent l’ordre total équivalent à la séquence de services donnée. Le but est de déterminer les dates de début pour une chaîne de tâches de du- rées fixes. La tâche i correspond au trajet entre les services i et i. Le début d’une tâche i correspond donc au démarrage du service i. Considérons une fonction de pénalité (3.27) pour chaque tâche linéaire en trois morceaux.
φi =max
n
αi(Tiin f −ti), 0, βi(ti−Tisup)
o
(3.27) La pénalité pour toute la chaîne s’obtient en sommant ces valeurs.Garey et al.(1988) proposent un algorithme en O(nlog n)résolvant le problème pour αi = βi = 1, où
n est le nombre de tâches. Hoogeveen et van de Velde(1996) montrent que cet algo- rithme fonctionne pour αi = αet βi = β. PuisChrétienne(1999) propose un algorithme
toujours enO(nlog n)pour le cas avec des coefficients de pénalité asymétriques et in-
dépendants des tâches qui s’étend au cas des coefficients dépendants des tâches (Chré- tienne et Sourd,2000). Pour le cas général, Szwarc et Mukhopadhyay(1995) donnent un algorithme enO(nm)où m est le nombre de groupes (dans la solution) qui sont des
paquets de tâches se succédant sans temps d’attente.
Nous présentons quelques critères et algorithmes de résolution adéquats. 62
3.3. Maximisation de la qualité de service pour une séquence fixée d’arrêts à visiter
1. La date de fin de la tournée
Dans le cas où l’objectif est de minimiser la date de fin de la tournée, on a la solution optimale triviale telle que ti =Tiin f,∀vi ∈ Vω.
2. Le temps perdu
Si on ne considère que des requêtes aller (voir la section2), la fonction d’inconvé- nient relative à la date de ramassage de chaque passager est linéaire décroissante. Optimiser suivant ce critère revient à réaliser un horodatage au plus tard. L’in- convénient mesuré étant uniquement localisé aux ramassages, on peut utiliser un second critère hiérarchique sur les dates de livraison. Ces dernières sont généra- lement prises au plus tôt afin de minimiser les durées de transport et les temps d’attente mais surtout d’éviter les temps d’attente absurdes. Les requêtes retour offrent un raisonnement symétrique avec les dates de livraison au plus tôt. Le cas du mélange des deux types de requêtes est moins trivial et peut être vu comme un cas particulier « d’une combinaison linéaire de fonctions convexes d’inconvénient par rapport à une date de réalisation de service » présenté par la suite.
3. Une combinaison linéaire de l’écart entre la durée effective de la course et sa durée minimale et de l’écart entre la date de service et une date limite de réalisation Le problème esclave de la décomposition de Benders deSexton et Bodin(1985a) pour le 1-DARP, est un problème d’horodatage optimisé suivant la fonction ob- jectif (3.28).
φ=min
∑
r∈Rω
[β(tr− −tr+) −αtr−] (3.28)
Cette fonction d’inconvénient se ramène aisément à une fonction linéaire en chaque service (voir figure (3.11)). Ils proposent deux algorithmes résolvant le problème
Tinfr+ Tsupr+ Tinfr− Tsupr− Tinfr− Tsupr−
−β<0
β−α<0 β−α>0
FIG. 3.11: Fonction d’inconvénient liée aux dates de service (Sexton et al.).
de flot équivalent au dual du problème d’horodatage. Le premier algorithme ré- pond au cas β >αet le second au cas β ≤ α. Ces algorithmes sont de complexité
linéaire. Sexton et Choi (1986) généralisent φ par une combinaison de fonctions linéaires en trois morceaux pour mesurer le désagrément en chaque service, au- torisant ainsi les retards de livraison.
4. Une combinaison linéaire de fonctions convexes d’inconvénient par rapport à une date de réalisation de service
Dumas et al. (1990) donnent un algorithme basé sur la résolution séquentielle de minimisations de problèmes d’horodatage ayant les contraintes de succession
Chapitre 3. Critères de qualité de service
(3.22) relâchées. Ces dernières étant intégrées au fur et à mesure. Cette modélisa- tion, figure3.12, est assez proche de l’inconvénient subi par les passagers. Dans le cas particulier de fonctions quadratiques, l’algorithme est montré linéaire. Bien sûr cet algorithme offre une alternative à celui de Sexton et Bodin(1985a) dans le cas de fonctions d’inconvénients linéaires. Les auteurs montrent qu’il est aussi possible d’intégrer une fonction d’inconvénient linéaire liée aux temps d’attente et que l’algorithme reste valide dans le cas de date de services à valeurs entières. Ce sont sensiblement les mêmes algorithmes pourDumas et al. (1990) et Chré-
Tinf
i T
sup i
FIG. 3.12: Fonction d’inconvénient liée aux dates de service (Dumas et al.).
tienne et Sourd (2000). Un bloc est une suite de trajets consécutifs sans temps d’attente. On parcourt la séquence des trajets (entre deux arrêts successifs) de fa- çon incrémentale. Pour un trajet de i à i, soit on peut le positionner de façon à minimiser fi et on passe au trajet suivant, sinon on réoptimise le bloc précédent.
On réitère la réoptimisation des blocs tant que l’on rentre en conflit avec le bloc précédent, puis on passe au trajet suivant.
5. Une combinaison linéaire d’une déviation par rapport à une date de service sou- haitée avec les temps d’attente et la durée individuelle de transport
Ahuja et al.(2003) traitent une telle fonction objectif (équation (3.29)), par trans- formation puis résolution en un problème dual de flot à coûts entiers et à objectif convexe (The Dual Network Flow Problem), modélisé par DNFP.
min
∑
vi∈Vω [αi(ti−Tiid) +βi(ti−Tii−ti)] +∑
vi+∈Vω γi+(ti− −ti+) (3.29) (DNFP) min∑
(i,j)∈Q ¯ Hij(wij) +∑
i∈P ¯Bi(µi) (3.30) s.c.q. µi−µj ≤ wij ∀(i, j) ∈Q, (3.31) lij ≤wij ≤uij ∀(i, j) ∈Q, (3.32) li ≤µi ≤ui ∀i∈ P, (3.33) wij ∈N, µi ∈N, P ⊂N, Q⊂ P×P. (3.34)Les variables de décisions sont les wij et les µi. Les données li, ui, lij, uij sont en-
tières (li et lij peuvent prendre des valeurs négatives). ¯Hijet ¯Bisont des fonctions
convexes. De plus l’ensemble U=max[max uij−lij :(i, j) ∈Q , max{ui−li : i ∈P}]
est fini.
3.3. Maximisation de la qualité de service pour une séquence fixée d’arrêts à visiter
En prenant Q = Aωet P= Vω, Des changements de variable décrits par les équa- tions (3.35)-(3.36) on déduit les valeurs suivantes aux données de DNFP (équa- tions (3.37)-(3.40)).
wij = tj−ti−Tij,∀(vi, vj) ∈ Aω (3.35)
µi =ti,∀vi ∈ Vω (3.36)
De l’équation (3.35), on déduit aisément les contraintes (3.31).
lij = Tjin f −Tisup−Tij,∀(vi, vj) ∈ Aω (3.37) uij =Tjsup−Tiin f −Tij,∀(vi, vj) ∈ Aω (3.38) Les deux équations (3.37) et (3.38) permettent, avec les contraintes (3.22) et (3.23) de HP, de déduire les contraintes (3.32) de DNFP.
ui =Tisup,∀vi ∈ Vω (3.39)
li = Tiin f,∀vi ∈ Vω (3.40) Des contraintes (3.22) de HP et des équations (3.39) et (3.40), on déduit les con- traintes (3.33) dans DNFP. Il est aisé de voir que la fonction objectif (3.29) sur les trois critères : la date de service, le temps d’attente et la durée de transport, se ramène à deux fonctions convexes du type de ¯Hijet ¯Bi.
Le problème DNFP subit ensuite une suite de transformations et est résolu comme un problème de flot à coûts non linéaires.
6. Une somme de fonctions linéaires par morceaux d’inconvénient sur des contrain- tes souples de fenêtres de temps et de durée totale de transport
Le problème d’horodatage prend alors une forme différente (HPS) où φT
i mesure
l’inconvénient lié aux dates de service et φ∆
ij celui lié à la durée de transport. La
difficulté de HPS réside dans les contraintes d’intégralité (3.43) imposées sur les dates de service. (HPS) min
∑
vi∈Vω φiT(ti) +∑
(vi,vj)∈Aω φij∆(tj−ti) (3.41) s.c.q. ti+Tij−tj ≤0 ∀(vi, vj) ∈ Aω, (3.42) ti ∈N ∀vi ∈ V. (3.43)Hashimoto et al. (2006) prouvent par une réduction du problème de sac-à-dos, que le problème d’horodatage avec des contraintes souples de fenêtres de temps et de durée de transport ayant la forme de fonctions linéaires par morceaux, est pseudo-polynomial. De plus, si la contrainte sur la durée de transport est convexe le problème est alors polynomial. Ils fournissent un algorithme de programma- tion dynamique dans les deux cas.
Chapitre 3. Critères de qualité de service