Syst` emes orthonorm´ es, frames ; exemples

Soit (H,h,i) un espace de Hilbert (r´eel ou complexe). Il sera important (pour permettre la repr´esentation des ´el´ements de H de mani`ere non redondante) de dis-poser de syst`emes dits orthonorm´es.

D´efinition 1.6 Soit (H,h, i) un espace de Hilbert (r´eel ou complexe). Un syst`eme de vecteurs(e_ι)_ι∈I index´e par un ensemble d’indices I est dit orthonorm´e si et seule-ment si, pour tout ι, ι⁰ dans I,

he_ι, e⁰_ιi=

1 si ι =ι⁰ 0 si ι 6=ι⁰

Le syst`eme est dit orthogonal si les vecteurs eι sont tous non nuls et si heι, eι⁰i= 0 pour tout couple d’´el´ements distincts ι et ι⁰ de l’ensemble d’indices I.

On remarque imm´ediatement qu’un syst`eme orthogonal est toujours libre (au sens alg´ebrique), ce qui signifie que pour toute partie finie J ⊂ I, la famille (e_ι)_ι∈J est libre.

Exemple 1.3.Un exemple qui sera pour nous fondamental sera celui emprunt´e au cadre des espaces de Hibert l²_R(I) ou l²_C(I) (par exemple pour I =N ou I =Z qui seront pour nous les deux cas importants ult´erieurement). Dans ce cas, le syst`eme de vecteurs (e<sub>ι</sub>)<sub>ι∈I</sub> d´efinis pare<sub>ι</sub>= (e<sub>ι,ι</sub>0)<sub>ι</sub>0∈I, o`u

eι,ι⁰ =

n1 siι⁰=ι 0 sinon

est un syst`eme orthonorm´e, le produit scalaire ´etant, rappelons le, d´efini par h(xι)ι∈I,(yι)ι∈Ii:=X

ι∈I

xιyι

(ici dans le cas complexe ; dans le cas r´eel, on ˆote la conjugaison complexe).

La notion de syst`eme orthonorm´e ´etant une notionid´eale, souvent difficile `a r´ealiser dans la pratique (et on le verra, particuli`erement instable, l’orthogonalit´e ´etant une propri´et´e tr`es fragile), on introduira aussi une notion plus molle, mais souvent bien utile dans la pratique, celle de frame²³. C’est cette derni`ere notion qui nous permettra une repr´esentation certes redondante (au contraire de la repr´esentation dans un syst`eme orthonorm´e), mais stable (ce qui est important) des ´el´ements de l’espace de Hilbert dans lequel on est amen´e `a travailler.

D´efinition 1.7 Soit (H,h, i) un espace de Hilbert (r´eel ou complexe). Un syst`eme de vecteurs (e_ι)_ι∈I index´e par un ensemble d’indices I est un frame si et seule-ment si il existe deux constantes stricteseule-ment positivesC₁ etC₂ telles que, pour toute partie finie J de I, pour toute collection de scalaires (λι)ι∈J,

C₁ X

ι∈J

|λ_ι|²

≤X

ι∈J

λ_ιe_ι² ≤C₂ X

ι∈J

|λ_ι|² .

23. Difficile ici de donner une traduction francaise de cette terminologie anglo-saxonne ; le concept le plus proche est sans doute celui detrameou debˆati(dans une structure).

1.6 Syst`emes orthonorm´es, frames; exemples 25 Un syst`eme orthonorm´e est bien sˆur un frame.

L’exemple de K^N (K = R ou C). Le K-espace K^N, vu ici comme le K-espace vectoriel des fonctionssde{1, ..., N}dansK, ´equip´e du produit scalaire usuel

hs1, s2i= XN j=1

s1(j)s2(j)

(c’est donc l’exemple 1.3, avec I = {1, ..., N}) admet un syst`eme orthonorm´e canonique, correspondant `a la base canonique de K^N, `a savoir le syst`eme (ek)1≤k≤N constitu´e des fonctions

pic:

ek :l∈ {1, ..., N} 7−→ek(l) =

n1 sik=l 0 sinon.

Mais on peut pr´ef´erer d’autres syst`emes orthonorm´es, plus en relation avec la classe de signaux digitaux que l’on pr´etend d´ecomposer pour les traiter. Tel est le cas de la base orthonorm´ee constitu´ee des signauxoscillants:

l∈ {1, ..., N} 7−→ 1

√NW_N^{−(k−1)(l−1)/N}, k= 1, ..., N,

o`uWN := exp(−2iπ/N). Cette base orthonorm´ee jouera un rˆole capital en analyse de Fourier (voir la sous-section 2.2.1 au second chapitre).

Exemple 1.4. SoitH =L²_C(T) le C-espace de Hilbert des classes de fonctions mesurables de R dansC, 2π-p´eriodiques, d’´energie finie sur [0,2π], ´equip´e du produit scalaire (dit produit scalaire associ´e `a l’´energie)

hf ,˙ g˙i:= 1 2π

Z 2π 0

f(θ)g(θ)dθ .

Lesharmoniques fondamentalesde p´eriode 2π, c’est-`a-dire les classes ( ˙en)n∈Z des fonctions en :θ∈R7−→exp(inθ) = cos(nθ) +isin(nθ)

forment un syst`eme orthonorm´e dansH. Ce syst`eme jouera plus tard un rˆole essentiel dans l’analyse de Fourier des signaux p´eriodiques de p´eriode 2π²⁴.

Exemple 1.5.SoitH =L²_C([−1,1], dt) l’espace de Hilbert des classes de fonctions mesurables de [−1,1] dansC, ´equip´e du produit scalaire

hf ,˙ g˙i:=

Z 1

−1

f(t)g(t)dt .

On v´erifie imm´ediatement que, pour tout entier positif n, la fonction t7−→ 1

2ⁿn!

r n+1

2× dⁿ

dtⁿ[(1−t²)ⁿ] (1.20)

est une fonction polynˆomialeLn de degr´e exactementnet que le syst`eme ( ˙Ln)n∈Nest un syst`eme orthonorm´e de l’espace de HilbertH²⁵. Le polynˆomeLnest appel´en-`eme polynˆome de Legendre²⁶ 24. Notons que 2π ne joue aucun rˆole particulier ici et que bien sˆur, on peut remplacer 2πpar T > 0, le produit scalaire (sur le C-espace des classes de fonctions mesurables T-p´eriodiques de carr´e int´egrable sur [0, T]) devenant

hf ,˙ g˙i:= 1 T

Z T 0

f(θ)g(θ)dθ

et les fonctionsen les fonctionseT ,n :

eT ,n :θ∈R7−→exp(2iπnθ/T) = cos(2πnθ/T) +isin(2πnθ/T) (ce sont les harmoniques fondamentales de p´eriodeT).

25. V´erifier ce dernier point constitue un exercice classique de L2 souvent utilis´e pour illustrer l’utilisation de la formule d’int´egration par parties.

26. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) introduit ces polynˆomes en 1782 dans son trait´eFigure des plan`etes.

et il est int´eressant de constater que plus naugmente, plus le graphe de Ln sur [−1,1) pr´esente des oscillations de plus en plus accentu´ees (au niveau de l’amplitude) lorsque l’on s’approche des bornes de l’intervalles [−1,1]. Voici par exemple, sur la figure 1.4 ci-dessous, le graphe deL₃₀ :

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2

−1 0 1 2 3 4 5 6

Figure 1.4 –Le graphe de la fonction polynˆomiale de Legendre L30sur [−1,1]

Ce constat sera important lorsque l’on sera amen´e `a utiliser le syst`eme ( ˙Ln)n∈N`a des fins pratiques (en relation en particulier avec les m´ethodes num´eriques d’int´egration par quadrature propos´ees par Gauss). On retrouve (avec le sou¸ci caus´e par l’amplification des amplitudes des oscillations lorsque l’on s’approche du bord) un probl`eme aussi pr´esent dans l’interpolation de Lagrange faite sur un intervalle [a, b] avec un pas de discr´etisation r´egulier²⁷. Voir aussi l’exercice 8 du guide 1 dans le contrat sous Ulysse accompagnant le d´eroulement de cette UE.

Exemple 1.6.Consid´erons l’espaceL²_C([−1,1], ω(t)dt), o`u ω(t) := 1

√1−t², ∀t∈]−1,1[.

Il s’agit, rappelons le, de l’espace de Hilbert des classes de fonctions ˙f mesurables (pour la mesure de Lebesgue) sur [−1,1], telles que

Z 1

−1

|f(t)|²

√1−t²dt <+∞,

´equip´e du produit scalaire

hf ,˙ g˙i:=

Z 1

−1

f(t)g(t) dt

√1−t².

C’est un exercice imm´ediat que de constater que les classes des fonctions polynˆomiales (Θ_n)_n∈N d´efinies par

Θ₀(t) = 1

√π Θn(t) =

r2

πcos(narcos (t)), n≥1, (1.21) forment un syst`eme orthonorm´e de H (faire l’exercice en faisant le changement de variables t = cosu dans les int´egrales). Cette fois, l’amplitude des oscillations des fonctions Θ_n n’augmente 27. Pour ces questions relevant plus de l’analyse num´erique, voir le polycopi´e du cours de l’UE N1MA3003,http://www.math.u-bordeaux1.fr/∼yger/CSSL.pdf, chapitre 3.

1.6 Syst`emes orthonorm´es, frames; exemples 27

plus (lorsque n croˆıt) lorsque l’on s’approche des bords de [−1,1], mais par contre la fr´equence de ces oscillations augmente tr`es fortement au fur et `a mesure que l’on s’approche du bord, ce qui, on s’en doute, posera des probl`emes aigˆus au niveau num´erique si l’on entend utiliser ces fonctions polynˆomiales (dites fonctions polynˆomiales de Tchebychev<sup>28</sup>) pour coder une classe de fonction mesurable sur [−1,1]. Cependant, le fait que les oscillations se resserrent lorsque l’on se rapproche du bord, mais sans que les amplitudes cette fois ne s’amplifient, feront, en accord avec le Th´eor`eme d’approximation de Tchebychev en analyse num´erique²⁹ de ce syst`eme orthonorm´e un syst`eme interessant du point de vue de l’approximation de Lagrange, et, par exemple, des techniques d’int´egration approch´ee par quadrature qui en r´esultent (section 5.2.2 dans le mˆeme cours d’Algorithmique num´erique). Voici par exemple (sur la figure 1.5 ci-dessous) le graphe de Θ100sur [−1,1] :

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Figure 1.5 – Le graphe de la fonction polynˆomiale de Tchebychev Θ100sur [−1,1]

L’exercice 3 propos´e dans le guide 3 du contrat sous Ulysse accompagnant ce cours compl`ete aussi cette br`eve sensibilisation au rˆole important tenu par le syst`eme orthonorm´e des polynˆomes de Tchebychev.

Exemple 1.7. Un autre exemple important (du point de vue de la physique) sera l’espace de HilbertL²_C(R, e^−t2dt) des classes de fonctions mesurables sur R, `a valeurs complexes, telles que

Z

R|f(t)|²e^−t2dt <∞,

´

equip´e du produit scalaire

hf ,˙ g˙i:=

Z

R

f(t)g(t)e^−t2dt .

Un syst`eme orthonorm´e de cet espace est le syst`eme des classes de fonctions polynˆomiales ( ˙Hn)n≥0

(Hn est une fonction polynˆomiale de degr´e exactementn, dite fonction polynˆomiale de Hermite) donn´e par

H0(t) := 1 π^1/4 Hn(t) := (−1)ⁿ

2^n/2π^1/4√

n!×e^t2× dⁿ

dtⁿ[e^−t2], n≥1. (1.22) 28. On adopte cette terminologie en l’honneur du probabiliste et statisticien russe Pafnouti Tche-bychev (1821-1894).

29. Voir par exemple la section 4.2.3 dans le cours d’algorithmique num´erique : http://www.math.u-bordeaux1.fr/∼yger/mht632.pdf

L’importance de cet espace de Hilbert (et du syst`eme orthonorm´e de Hermite) tient au fait que la gaussienne t 7−→ exp(−t<sup>2</sup>) sera amen´ee `a jouer (on le verra) un rˆole tr`es important vis-`a-vis du principe d’incertitude en physique ou dans les th´eor`emes limites du calcul des probabilit´es (le th´eor`emelimite centralen particulier³⁰). Voir aussi les exercices 9 et 9bis du guide 1 dans le contrat sous Ulysse accompagnant le d´eroulement de cette UE.

On retrouvera plus loin une mani`ere pratique de retrouver tous ces exemples `a partir du syst`eme des fonctions monˆomiales t 7−→ t<sup>n</sup>, n = 0,1, ..., qui lui n’est pas orthonorm´e (dans l’espace de Hilbert de classes de fonctions d’une variable o`u l’on travaille). La construction se fera de proche en proche suivant le proc´ed´e d’or-thonormalisation alg´ebrique bien connu de Gram-Schmidt. Voici un autre exemple important :

Exemple 1.8.Dans l’espaceL²_R([a, b], dt), les classes de fonctions t∈[a, b]7−→

r 2 b−asin

h π

n+1

2 t−a

b−a i

, n∈N,

forment un syst`eme orthonorm´e ; ce sont lesharmoniques localessubordonn´ees `a l’intervalle [a, b].

Ce syst`eme orthonorm´e (pensez que l’intervalle [a, b] peut se dilater ou se contracter tel un ac-cord´eon) jouera un rˆole primordial pour le codage de la parole ou de la musique.

Voici enfin, pour conclure cette galerie d’exemples, un exemple deframe.

Exemple 1.9 (un exemple deframe).Voici un exemple deframeimportant : consid´erons l’espace de Hilbert (r´eel)H des fonctions continues, affines par morceaux surR, `a valeurs r´eelles, avecnoeudsaux points d’un maillageτZ(τ >0), telles que

Z

R|f(t)|² dt <+∞, ce qui revient en fait `a dire X

n∈Z

|f(nτ)|²<∞,

´equip´e du produit scalaire Z

R

f(t)g(t)dt .

Pour simplifier, on prendraτ= 1. Les fonctions triangle (ousplines dans la terminologie des math´ematiques appliqu´ees)

∆n :t7−→max(0,1− |t−n|), n∈Z,

ne forment pas un syst`eme orthonorm´e deH, ni mˆeme orthogonal (le produit scalaire de ∆net ∆n+1

vaut 1/6) ; par contre, le syst`eme (∆n)n∈Z est, on le verra plus loin, unframe. Ces fonctions (que l’on a repr´esent´e sur la figure 1.6 ci-dessous) forment unframeimportant car c’est souvent comme

´el´ements de cet espace de Hilbert que sont repr´esent´es visuellement (sur un ´ecran d’ordinateur) les signaux digitaux (xk)k∈Z´el´ements de l’espace de Hilbertl_R²(Z).

0 1 2 3 4 2 −1^q 2^q

Figure 1.6 – Les ´el´ements duframe(∆n)n∈Zavecτ = 1 etτ = 2 30. Voir l’UE M1MA6M11, ou l’UE N1MA6031 :

http://www.math.u-bordeaux1.fr/∼yger/Proba6031.pdf

1.6 Syst`emes orthonorm´es, frames; exemples 29

Voir `a propos de cet exemple 1.9 l’exercice 5 du guide 2 dans le contrat sous Ulysse accompagnant le d´eroulement de cette UE.

Supposons maintenant que l’espace de Hilbert ne soit pas de dimension finie et admette au moins un syst`eme orthonorm´e d´enombrable. La proposition 1.7 induit la proposition facile (mais tr`es importante) suivante :

Proposition 1.8 Soit H un K-espace de Hilbert (r´eel ou complexe : K = R ou C), la norme ´etant not´ee k k et le produit scalaire h,i, et (e_n)_n∈N∗ un syst`eme orthonorm´e d´enombrable de H. Soit V le sous-espace ferm´e de H d´efini comme l’adh´erence (dans H) de l’ensemble constitu´e de toutes les combinaisons lin´eaires finies

XN k=1

λkek, λk∈K, N ∈N^∗. Alors

1. pour tout h∈H, on a l’in´egalit´e suivante, dite de Bessel³¹ : X∞

k=1

|hh , e_ki|² ≤ khk²; (1.23) 2. pour tout h ∈ H, la s´erie de terme g´en´eral hh , e_nie_n ∈ H est convergente

(dans H) et l’on a

Proj_V (h) = X∞

k=1

hh , ekiek; (1.24) 3. si (λ_n)_n∈N∗ est un ´el´ement de l²_K(N^∗), il existe un unique h_λ dans V tel que

hh_λ, e_ki=λ_k, ∀k ∈N^∗;

cet ´el´ement h_λ est la projection orthogonale sur V de tout autre vecteur h de H tel que

hh , e_ki=λ_k, ∀k∈N^∗.

Preuve. Pour prouver les points 1 et 2, on introduit la projection orthogonale Proj_V (h) et on ´ecrit, du fait du th´eor`eme de Pythagore

khk² = kh−Proj_V (h) + Proj_V (h)k² =kh−Proj_V (h)k²+kProj_V (h)k²

≥ kProj_V(h)k². (1.25)

Si V_n d´esigne le sous-espace vectoriel (de dimension finie) engendr´e par e₁, ..., e_n, le vecteur

Xn k=1

hh , ekiek

repr´esente la projection orthogonale de h sur Vn. D’apr`es le volet 2 de la proposi-tion 1.7, la suite des projecproposi-tions orthogonales Proj_Vn(h) converge vers la projection orthogonale sur le sous-espace ferm´e

V = [∞ k=1

Vk.

31. On l’attribue au math´ematicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel, 1784-1846.

On a donc bien

Proj_V (h) = X∞ k=1

hh , e_kie_k

et la formule (1.24) du point 2 est ainsi d´emontr´ee. En utilisant le th´eor`eme de Pythagore, on a

kProj_Vn(h)k² = Xn

k=1

hh , e_kie_k² = Xn

k=1

|hh , e_ki|²

puisque le syst`eme (e_n)_n∈N∗ est orthonorm´e. On a donc, par continuit´e de la norme

nlim→∞

Xⁿ

k=1

|hh , e_ki|²

=kProj_V (h)k², et en utilisant (1.25),

nlim→∞

Xⁿ

k=1

|hh , e_ki|²

≤ khk², ce qui prouve l’in´egalit´e de Bessel (1.23).

Reste `a prouver le point 3. Si (λ_n)_n∈N est un ´el´ement de l_K²(N^∗), la suite S_λ :=

Xⁿ

l=1

λ_le_l

n∈N^∗

est de Cauchy dans H car, pour tout p > n≥1,

Xp l=1

λ_le_l− Xn

l=1

λ_le_l² = Xp l=n+1

λ_ke_l² = Xp l=n+1

|λ_l|²

en utilisant le th´eor`eme de Pythagore et le fait que le syst`eme (e_n)_n∈N∗ est ortho-norm´e. Cette suiteSλ converge donc (puisqueH est complet) vers un ´el´ement hλ de H; en fait h_λ ∈ V car le terme g´en´eral S_λ,n de la suite S_λ est dans V_n. On a bien, par continuit´e du produit scalaire

hh_λ, e_ki:= lim

n→∞

DXⁿ

l=1

λ_le_l, e_k E

=λ_k. Sih est un autre ´el´ement de V tel que

hhλ, eki=λk, ∀k ∈N^∗,

alors h−h_λ est orthogonal `aV, ce qui prouve que h<sub>λ</sub> est bien la projection ortho-gonale de h surV. Le point 3 est ainsi compl`etement d´emontr´e. ♦

Si (v_n)_n∈N∗ est un syst`eme libre dans un espace de Hilbert, il existe un processus algorithmique bien connu des alg´ebristes pour construire `a partir de v1, v2, ... (pris dans cet ordre) un syst`eme orthonorm´e (e<sub>n</sub>)<sub>n∈N</sub>∗, ce en faisant en sorte qu’`a chaque cran n de l’algorithme, les sous-espaces vectoriels de dimension finie Vec (v₁, ..., v_n) et Vec (e1, ..., en) co¨ıncident.

1.7 Espaces de Hilbert s´eparables ; notion de base hilbertienne 31

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