1.3 Les notions d’espace de Hilbert (r´ eel ou com-plexe)
1.3.1 Le cadre Hilbert
La section 1.1 nous guide vers les deux d´efinitions suivantes, situant le cadre de travail dans lequel on entend mettre en pratique les id´ees inspir´ees du maniement de l’orthogonalit´e dans Rn ouCn :
D´efinition 1.1 Un espace de Hilbert r´eel est un R-espace vectoriel, coupl´e avec la donn´ee d’un produit scalaire
(h1, h2)∈H×H 7−→ hh1, h2i ∈R, c’est-`a-dire une application bilin´eaire `a valeurs r´eelles
– sym´etrique, c’est-`a-dire telle que hh1, h2i=hh2, h1ipour toush1, h2 dans H; – telle que hh , hi ≥0 pour tout h ∈H (clause de positivit´e) ;
– telle que hh , hi= 0 si et seulement si h= 0 (clause de d´efinition).
De plus, on exige que l’espace vectoriel norm´e (H,k k), o`u khk:=p
hh , hi
soit un espace norm´e complet (c’est-`a-dire un espace de Banach8).
D´efinition 1.2 Un espace de Hilbert complexe est unC-espace vectoriel, coupl´e avec la donn´ee d’un produit scalaire
(h1, h2)∈H×H 7−→ hh1, h2i ∈C, c’est-`a-dire une application sesquilin´eaire9 `a valeurs complexes
– pr´esentant la sym´etrie hermitienne, c’est-`a-dire : hh1, h2i = hh2, h1i pour tout h1, h2 dans H;
– telle que hh , hi ≥0 pour tout h ∈H (clause de positivit´e) ;
– telle que hh , hi= 0 si et seulement si h= 0 (clause de d´efinition).
De plus, on exige que l’espace vectoriel norm´e (H,k k), o`u khk:=p
hh , hi
soit un espace norm´e complet (c’est-`a-dire un espace de Banach).
1.3.2 Un formulaire g´ eom´ etrique
En utilisant la bilin´earit´e et la sym´etrie du produit scalaire dans le cas r´eel, la sesquilin´earit´e et la sym´etrie hermitienne du produit scalaire dans le cas complexe, on voit que l’on a l’identit´e importante
kh1+h2k2+kh1−h2k2 = 2(kh1k2+kh2k2) ∀h1, h2 ∈H (1.3)
8. En r´ef´erence au math´ematicien polonais Stefan Banach (1892-1945) qui explora toutes les facettes et tout l’int´erˆet de ce concept, un espace de Banachest par d´efinition un RouC-espace vectoriel norm´e o`u toute suite de Cauchy (au sens de la norme) est convergente.
9. Ceci signifieC-lin´eaire enh1, C-antilin´eaire enh2.
(dite loi du parall´elogramme10) et, suivant que l’on est dans le cas r´eel ou dans le cas complexe, soit
kh1+h2k2 =kh1k2+kh2k2+ 2hh1, h2i ∀h1, h2 ∈H , (1.4) soit
kh1+h2k2 =kh1k2+kh2k2+ 2 Rehh1, h2i ∀h1, h2 ∈H ; (1.5) les identit´es (1.4) et (1.5) sont ditesidentit´es de Pythagore. La loi du parall´ elogram-me induit laformule de la m´ediane :
h0−h1+h2 2
2+ kh1−h2k2
4 = (kh0−h1k2 +kh0−h2k2)
2 ∀h0, h1, h2 ∈H; (1.6) il suffit pour le voir d’appliquer (1.3) en remplacant hj par (h0 −hj)/2, j = 1,2.
La positivit´e du produit scalaire implique dans le cas r´eel, si h1 et h2 sont deux
´el´ements de H, que la fonction trinˆome
λ∈R7−→ hh1+λh2, h1+λh2i=λ2kh2k2 + 2λhh1, h2i+kh1k2 (1.7) est positive ou nulle surR, dans le cas complexe que la fonction trinˆome complexe
λ∈C7−→ hh1+λh2, h1+λh2i=|λ|2kh2k2+ 2 Re (λhh1, h2i) +kh1k2 (1.8) prend ses valeurs dans [0,∞[. Ceci implique dans le cas r´eel que le discriminant du trinˆome (1.7) est n´egatif, d’o`u l’in´egalit´e
|hh1, h2i| ≤ kh1k × kh2k ∀h1, h2 ∈H , (1.9) dite de Cauchy-Schwarz11. En sp´ecifiant λ = teiα, α ∈ R dans (1.8) et en faisant varierα, on constate, dans le cas complexe, que l’on a la mˆeme in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (1.9). Il est important de noter que cette in´egalit´e (1.9) est stricte d`es que h1 eth2 ne sont pas colin´eaires. Sih1 eth2 sont colin´eaires, l’in´egalit´e (1.9) devient une ´egalit´e.
Dans un espace de Hilbert, on peut d´efinir, non pas l’angle de deux vecteurs non nuls, mais au moins leur cosinus, ce de la mani`ere suivante :
cos(angle (h1, h2)) := Rehh1, h2i kh1k kh2k .
Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de H, on peut d´efinir le cosinus de l’angle entre F1 etF2 en posant
cos(angle (F1, F2)) := sup
h1∈F1\{0}, h2∈F2\{0}
|hh1, h2i|
kh1k kh2k ∈[0,1]
(`a cause de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz).
Rappelons, pour m´emoire, les trois mani`eres ´equivalentes de caract´eriser la compl´ e-tude d’un R (ou C) espace vectoriel norm´e (H,k k) :
10. Ainsi d´enot´ee car elle s’appuie sur la figure du parall´elogramme construit `a partir des deux vecteursh1et h2 (on fera un petit dessin pour s’en convaincre).
11. Les noms de l’analyste fran¸cais Augustin Cauchy (1789-1857) et du g´eom`etre allemand Her-mann Schwarz (1843-1921) sont attach´es `a cette in´egalit´e, que dans l’ex culture sovi´etique, on connaˆıt sous la terminologie d’in´egalit´e de Cauchy-Bunyakovsky.
1.3 Les notions d’espace de Hilbert (r´eel ou complexe) 11 – toute suite de Cauchy (pour la m´etrique d(x, y) :kx−yk) est convergente ; – si (Ak)k∈Nest une suite d´ecroissante (au sens de l’inclusion) de sous ensembles
ferm´es de H dont le diam`etre (au sens de la distance d) tend vers 0, l’inter-section de tous les Ak est non vide et r´eduite `a un singleton ;
– toute s´erie (P
nhn),hn ∈H, telle queP∞
n=0khnk<∞, converge dansH.
SiK=RouK=C, la donn´ee d’unK-espace vectorielH´equip´e d’un produit scalaire h, i constitue ce que l’on appelle la donn´ee d’un K-espace pr´ehilbertien. Dans un tel cadre, th´eor`eme de Pythagore ((1.4), (1.5)), in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (cas d’´egalit´e inclus) (1.9), formules du parall´elogramme (1.3) et de la m´ediane (1.6), restent valables. Ne manque au tableau (pour que (H,h, i) soit un K-espace de Hilbert) que le fait que (H,k k) (la norme ici ´etant celle d´erivant du produit scalaire) soit un K-espace vectoriel complet.
Le fait qu’un K-espace vectoriel H ´equip´e d’un produit scalaire h, i ne soit qu’un K-espace pr´ehilbertien (au lieu d’ˆetre unK-espace de Hilbert) ne constitue pas un si s´erieux handicap que cela. En effet, il est possible d’exhiber un K-espace de Hilbert H, ´e equip´e d’un produit scalaire hh, ii (on note ||| ||| la norme associ´ee), et une application
inj :H →He telle que :
– d’une part l’application inj est semi-lin´eaire, c’est-`a-dire v´erifie
∀h1, h2 ∈H, ∀λ ∈C, inj(h1+λh2) = inj(h1) + ¯λinj(h2) ;
– d’autre part inj(H) est un K-sous-espace vectoriel dense dans le K-espace de HilbertHe ´equip´e de son produit scalairehh, ii;
– d’autre part enfin
∀h∈H, |||inj(h)|||=khk,
ce qui implique d’apr`es la semi-lin´earit´e de inj et le th´eor`eme de Pythagore que inj pr´eserve aussi le produit scalaire de cette mani`ere, i.e. :
∀h1, h2 ∈H, hhinj(h1),inj(h2)ii=hh2, h1i.
Pour construire inj et le K-espace de Hilbert He (avec son produit scalaire), voici comment l’on proc`ede : on consid`ere l’application inj de H dans le K-espace des K-formes lin´eaires continues sur H (que l’on appelle aussi le dual topologique de H et que l’on note pour l’instant Hk k∗ pour le diff´erentier du dual alg´ebrique, H ´etant
´
equip´e de la norme k k),
inj :h7−→
v ∈H 7→ hv, hi
∈Hk k∗ .
Cette application est bien semi-lin´eaire et injective. LeK-espace vectoriel Hk k∗ peut ˆ
etre ´equip´e de la norme
|||L|||= sup
kvk=1
|L(v)|.
Equip´´ e de cette norme, (Hk k∗ ,||| |||) est unK-espace complet (`a v´erifier en exercice).
On prend alors pour He l’adh´erence de inj(H) dans Hk k∗ . Du fait de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on observe que
∀h∈H, khk=|||inj(h)|||.
Il ne reste plus qu’`a observer que le produit scalaire d´efini sur inj(H) par hhinj(h1),inj(h2)ii:=hh2, h1i
se prolonge en un produit scalaire `aHe par : hhh˜1,h˜2ii:= lim
n→+∞hh2,n, h1,ni
lorsque ˜h1 = limn→+∞(inj(h1,n)) et ˜h2 = limn→+∞(inj(h2,n)), le r´esultat ne d´ependant pas des suites d’approche.
Un telK-espace de Hilbert (H,e hh, ii) est ditcompl´et´edeH. Si s’on dispose de deux compl´et´es (He1,hh, ii1) et (He2,hh, ii2) d’un mˆeme K-espace pr´ehilbertien (H,h, i), on montre facilement (suivant les mˆemes id´ees que ci-dessus) qu’il existe une isom´etrie K-lin´eaire entre eux. C’est en ce sens que le compl´et´e d’un K-espace pr´ehilbertien (H,h, i) peut ˆetre qualifi´e d’unique et que l’on peut parler du compl´et´e d’un K -espace pr´ehilbertien (H,h, i) donn´e.
Remarque 1.0. La r´ealisation (abstraite et g´en´erale) du compl´et´e d’un pr´ehilbertien (H,h,i) d´ecrite ci-dessus n’est bien souvent pas celle que l’on utilise dans la pratique. Bien souvent en effet, on dispose d’autres outils pour exhiber un compl´et´e explicite de mani`ere plus directe. Par exemple, si [a, b] est un segment deR et que H est le pr´ehilbertien C([a, b],C) des fonctions continues de [a, b] dansC´equip´e du produit scalaire (dont la norme associ´ee est la racine carr´ee de l’´energie en physique) :
hf, gi:=
Z b a
f(t)g(t)dt= Z
[a,b]
f(t)g(t)dt,
on sait bien depuis le cours d’int´egration12 qu’une r´ealisation du compl´et´e de H est leC-espace de HilbertL2C([a, b], dt).