2.4 La transformation de Fourier des classes de fonctions int´ egrables sur
2.4.1 D´ efinition, exemples, et premi` eres propri´ et´ es
D´efinition 2.7 Soit f˙ une classe de fonction mesurable et int´egrable sur Rn, `a valeurs complexes ; la transform´ee de Fourier (ou spectre) de f˙ est par d´efinition la fonction fb :ω ∈Rn7−→C d´efinie ponctuellement par
fb(ω1, ..., ωn) :=
Z
Rn
f(x)e−i(x1ω1+···+xnωn)dx1· · ·dxn,
f ´etant un repr´esentant arbitraire de f.˙
Remarque importante 2.12.Si la transform´ee de Fourier d’un ´el´ement deL1C(Rnx, dx) est bien d´efinie surRn=Rnx, il est important de se faire `a l’id´ee que la copieRnωdeRnsur laquelle est d´efini le spectre de ˙f (copie dans laquelle nous conviendrons de noterω= (ω1, ..., ωn) le point courant) n’est pas la mˆeme que celle (Rnx) sur laquelle sont d´efinis les repr´esentants de ˙f (copie o`u l’on note, pour bien marquer cette distinction,x= (x1, ..., xn) le point courant29). Cette derni`ere copieRnx
est l’univers spatial sur lequel vivent les fonctions que l’on pr´etend traiter (on parle deplan des imagessin= 2, d’espace des tempssin= 1), tandis que la copieRnωsur laquelle vivent les spectres des objets est appel´ee, elle,espace des fr´equences. On verra plus loin qu’il est naturel de consid´erer l’espace Rnω des fr´equences comme le dual alg´ebrique (Rnx)∗ de l’univers spatialRnx. On verra aussi (dans la section 2.4.2) comment il est physiquement concevable des´eparer ces deux copies dans le cas n = 2 en intercalant entre elles un m´ecanisme optique diffractant. La derni`ere assertion (formule 2.28 de la proposition 2.7 `a venir) constituera une premi`ere indication de la relation entre transformation de Fourier etdualit´e30 en alg`ebre lin´eaire.
Exemple 2.3 : un premier exemple basique (n= 1).Le spectre de la fonction caract´eristique χ[a,b] d’un segment ferm´e born´e deRest la fonction
ω∈R7−→
Z b a
e−iωtdt= 1
iω(e−iωa−e−iωb). On remarque ici que
|ωlim|→0|bχ[a,b](ω)|= 0,
ce qui, on le verra, s’av`erera une propri´et´e clef du spectre d’un ´el´ement ˙f deL1C(Rn, dx) en g´en´eral (voir la proposition 2.7 `a venir). Lorsque [a, b] = [−T, T], on trouve en particulier
b
χ[−T ,T](ω) = 2
ωsin(ωT), 29. Ou tlorsquen= 1.
30. Voir le polycopi´e du cours de MIAS301, partie alg`ebre, pages 31-36, disponible sur le site http://www.math.u-bordeaux1.fr/∼yger/coursalg.pdf.
et l’on voit apparaˆıtre ici une fonction jouant un rˆole tr`es important en analyse de Fourier, la fonctionsinus cardinald´efinie par
sinc :u∈R7−→ sin(πu/2) πu/2
(c’est en g´en´eral ainsi qu’elle est normalis´ee, ce de mani`ere `a ce que son int´egrale semi-convergente sur [0,+∞[ vaille 1). Le spectre de toutes ces fonctions χ[a,b], notons le, n’est pas int´egrable sur Rω, ce qui s’av`erera un handicap (en relation avec la tranposition au cadre continu du ph´enom`ene de Gibbs, comme on le verra dans la section 2.4.5).
Exemple 2.4 : un second exemple tr`es important.Lorsquen= 1, le spectre de la gaussienne g :t7−→ 1
√2πe−t2/2
(qui est la densit´e de la loi normaleN(0,1)) est la gaussienneω7−→e−ω2/2, r´esultat qui se r´epercute ennvariables (viale th´eor`eme de Fubini) sous la forme
autrement dit, si l’on pouvait superposer les deux copies deRn que sont Rnx et Rnω, on dirait que la gaussienne convenablement normalis´ee
g :x∈Rn7−→(2π)−n/2e−kxk2/2
est un vecteur propre de la prise de spectre31, ce avec la valeur propre (2π)n/2. Faisons le calcul pour n= 132; on remarque, en appliquant le th´eor`eme de d´erivation de Lebesgue (th´eor`eme 3.2 du cours de th´eorie de l’int´egration, MA5012), que
ω∈R7−→bg(ω) = 1
√2π Z
R
e−t2/2e−iωtdt
est de classeC1, de d´eriv´ee la fonction continue ω∈R7−→ 1
(on a utilis´e une int´egration par parties pour passer de la ligne 1 `a la ligne 2). La fonctionbg´etant donc solution de l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene du premier ordre y0(ω) = −ωy(ω), on constate, en r´esolvant cette ´equation, que bg(ω) = bg(0)e−ω2/2 = e−ω2/2. On rappelle que la v´erification du fait quebg(0) = 1 se fait en remarquant (grˆace au th´eor`eme de Fubini) que
Z
une fois l’int´egrale double exprim´ee en coordonn´ees polaires. Le r´esultat 2.27 est donc ainsi d´ emon-tr´e.
31. On verra plus loin, dans la section 2.5.3, l’importance de ce r´esultat qui explique, entre autres, pourquoi les gaussiennes sont de bons candidats math´ematiques pour mod´eliser les particules en m´ecanique quantique.
32. Ce calcul a d´ej`a ´et´e fait dans le cours d’int´egration et dans les guides d’activit´es de ce cours pour illustrer l’application du th´eor`eme de d´erivation des int´egrales fonction d’un param`etre, th´eor`eme 3.2 du cours de l’UE MA5012.
2.4 La transformation de Fourier des classes de fonctions int´egrables sur Rn 89
Exemple 2.5 : la distribution exponentielle sym´etrique.La fonction f :t∈R7−→ 1
2n e−|x1|−···−|xn|
d´efinit une densit´e de probabilit´e int´eressante surRn, la loi associ´ee est appel´ee loi exponentielle sym´etrique. On la retrouve par exemple (lorsque n >1) dans les processus d’´evolution spaciaux.
On v´erifie imm´ediatement (en commencant par traiter le cas n= 1) que fb(ω) = La densit´e de probabilit´es sur l’espace des fr´equencesRnωd´efinie par
ω7−→1
(et qui est `a une constante pr`es le spectre de la densit´e de probabilit´es d’un vecteur al´eatoire suivant une loi exponentielle dansRn) induit la loi de probabilit´e diteloi de Poisson33.
Exemple 2.6. Dans le casn= 1, une loi tout aussi importante est la loi exponentielle sur [0,∞[ de param`etreλ >0 : il s’agit de la loi de probabilit´e de densit´e la fonction d´efinie presque partout par
fλ(t) :=λχ[0,∞[(t)e−λt.
On la rencontre par exemple dans les processus de d´esint´egration atomique. Le spectre de ˙fλ a pour repr´esentant dans l’espace des fr´equences la fonction
ω7−→λ Z ∞
0
e−iωt−λtdt= λ λ+iω ;
c’est un spectre complexe de par la dissym´etrie de fλ compar´ee `a la sym´etrie de la densit´e f introduite `a l’exemple pr´ec´edent.
Proposition 2.7 Le spectrefbd’un ´el´ementf˙deL1C(Rn, dx)est une fonction conti-nue sur Rn, tendant vers 0 `a l’infini34. L’application lin´eaire f˙ 7−→ fbest donc une application lin´eaire continue (de norme inf´erieure `a 1) du C-espace de Banach L1C(Rn, dx) dans le C-espace de Banach C(Rn,C)0 des fonctions continues de Rn
33. Math´ematicien fran¸cais, Sim´eon-Denis Poisson (1781-1840), fut l’un des pionniers de la th´eorie des s´eries et des int´egrales de Fourier. Attention toutefois `a ne pas confondre la loi de Poisson `a densit´e sur R introduite ici avec la loi discr`ete sur N∗ (dite aussi loi de Poisson de param`etre λ >0), d´efinie parP(X =n) =λne−λ/n! pourn∈N.
34. Cette derni`ere assertion est connue sous la terminologie de lemme de Riemann-Lebesgue; c’est la version continue du r´esultat ´etabli lors de l’´etude de la transformation de Fourier surl1C(Z) (voir la d´efinition 2.5).
35. Si v1, ..., vn sont les vecteurs colonnes de A (exprim´es dans la base canonique e1, ..., en) et (v1∗, ..., vn∗) la base duale de la base (v1, ..., vn), la j-`eme colonne de A0 repr´esente la liste des coordonn´ees devj∗exprim´e dans la base (e∗1, ..., e∗n), base duale de la base canonique (e1, ..., en) de Rn.
Preuve. La continuit´e de fb est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme de Le-besgue (de continuit´e des int´egrales d´ependant d’un param`etre) vu dans le cours d’int´egration (UE MA5012, th´eor`eme 3.1) puisque, sif est un repr´esentant de ˙f,
|f(x)e−ihx , ωi|=|f(x)|
et que |f| ∈ L1R(Rn, dx) d´efinit par cons´equent un chapeau majorant int´egrable.
L’in´egalit´e
kfbk∞ ≤ kf˙k1
est imm´ediate (le module de int´egrale d’une fonction est major´e par l’int´egrale du module de cette fonction). La formule (2.28) r´esulte de l’application du th´eor`eme de changement de variables (th´eor`eme 3.5 du cours de th´eorie de l’int´egration) :
Z En particulier, si >0, la transform´ee de Fourier de la fonction
x7−→g(x) = 1
Cette gaussienne tend uniform´ement vers 0 (ainsi d’ailleurs que chacune de ses d´eriv´ees partielles `a tout ordre) lorsquekωk tend vers l’infini.
Il nous reste `a prouver que f(ω) tend vers 0 lorsqueb kωk tend vers +∞ (propri´et´e dite de Riemann-Lebesgue). Fixons η > 0 et une suite (k)k≥1 de nombres stricte-ment positifs tendant vers 0. Puisque la famille (gk)k≥1 r´ealise une approximation de la masse de Dirac dans L1R(Rn, dx), on sait36 que, pour k assez grand
36. Voir la proposition 4.10 du cours de th´eorie de l’int´egration, UE MA5012 ; ce r´esultat a d’ailleurs ´et´e rappel´e (dans le contexte L2, ici nous l’invoquons dans le contexte L1) dans la section 1.9.1 du chapitre 1 du pr´esent cours.
2.4 La transformation de Fourier des classes de fonctions int´egrables sur Rn 91 (la premi`ere ´egalit´e r´esulte de l’application de Fubini, la seconde de la propri´et´e clef de l’exponentielle ´echangeant addition et multiplication, puis vient finalement Fubini une nouvelle fois et l’invariance de la mesure de Lebesgue par translation sur Rn)37. On a donc
kfb(ω)| ≤ kfk1e−2kωk2/2,
d’o`u il r´esulte qu’il existe, k ´etant ainsi choisi, un seuil Ω(η, k) tel que kωk ≥Ω(η, k) =⇒ |fbk(ω)| ≤η/2.
En combinant avec (2.29), on a donc
kωk ≥Ω(η, k) =⇒ |fb(ω)| ≤ kf˙−f˙kk1+|fbk(ω)| ≤η/2 +η/2 = η . Commeη avait ´et´e choisi arbitrairement (puis k fonction de η), on a bien
kωk→lim+∞|fb(ω)|= 0 et la proposition est ainsi compl`etement d´emontr´ee. ♦
Remarque 2.13. Nous avons choisi ici, par souci de coh´erence avec la trame du cours, o`u les gaussiennes sont appel´ees `a jouer un rˆole important, de d´emontrer la propri´et´e de Riemann Le-besgue en utilisant la r´egularisation par une approximation de la masse de Dirac du type (gk)k≥1. Nous aurions pu aussi remarquer que la propri´et´e de Riemann-Lebesgue (le fait que le spectre de f˙tende vers 0 `a l’infini) est satisfaite lorsquef est la fonction indicatrice38d’un pav´e ferm´e born´e [a1, b1]×. . .×[an, bn] (voir l’exemple 2.3). On sait que les classes des combinaisons lin´eaires finies
`
a coefficients complexes de telles fonctions indicatrices constituent un sous-espace dense E dans L1C(Rn, dx). En utilisant le mˆeme sch´ema de preuve que ci-dessus ( ˙fk dans (2.29) ´etant remplac´ee par une approximation ˙fη pr´ecis´ement dansE), on prouverait ´egalement le r´esultat.
Exemple d’application 4.7. En appliquant la formule (2.28), on voit que si m ∈ Rn et σ ∈ ]0,+∞[n le spectre de
(x1, ..., xn)7−→ 1 (2π)n/2
1
σ1· · ·σn exp −1
2 Xn j=1
|xj−mj|2 σ2j
(2.31) (loi d’un vecteur de variables al´eatoires ind´ependantesXj, avecXj de loiN(mj, σj),j = 1, ..., n) est
(ω1, ..., ωn)7−→exp
−ihm , ωi −1 2
Xn j=1
σj2ω2j
. (2.32)
On constate d’ailleurs sur l’exemple pr´ec´edent un fait tout `a fait g´en´eral : si ˙f est un
´
el´ement deL1C(Rn, dx) etmun vecteur deRn, alors le spectre de la classe translat´ee f˙(· −m) est
hf˙(· −m) i∧
(ω) =e−ihm , ωif(ω)b , ∀ω ∈Rn. (2.33)
37. Le calcul fait ici est un cas particulier d’un calcul plus g´en´eral que nous ferons une fois plus loin, en nous souvenant que ˙fk = ˙f∗g˙k.
38. On pr´ef`ere utiliser ici l’´epith`eteindicatriceplutˆot quecaract´eristique(souvent utilis´ee dans le cours d’int´egration) pour ´eviter la confusion avec la notion defonction caract´eristiqued’un vecteur de variables al´eatoires r´eelles (voir plus loin).
L’effet d’une translation de m dans l’espace Rnx (ce qui revient `a consid´erer les fonctions de x comme fonctions de x−m) se traduit donc (dans l’espace Rnω) par une modulation du spectrefbpar la fonction oscillante
ω 7−→e−ihm , ωi.
Si maintenant inversement ˙f est modul´ee par multiplication par la fonction oscillante x∈Rn7−→eihx , mi
alors le spectre de ˙f est translat´e de m dans l’espace Rnω, ce que l’on r´esume en
´ecrivant
hf e˙ ihx , mi i∧
(ω) = f(ωb −m), ∀ω∈Rn. (2.34) Une incursion du cˆot´e des probabilit´es.Puisque nous avons ici (en particulier dans notre galerie d’exemples 2.3 `a 2.7) fait souvent r´ef´erence aux probabilit´es, il est important de faire ici le lien avec une notion introduite dans le cours de th´eorie de l’int´egration (section 3.2.3 du cours de MA5012) ainsi que dans le cours de Probabilit´es de Semestre 6 : celle defonction caract´eristiqued’un vecteur de variables al´eatoires r´eelles X = (X1, ..., Xn) d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) ; il s’agit, rappelons le, de la fonction continue ΦX :Rn−→C d´efinie par39
ΦX(τ1, ..., τn) :=
Z
Ω
eihτ1X1(ω)+···+τnXn(ω)idP(ω) = E[eihτ , Xi]. On remarque que, si la loi de X est une loi `a densit´e ˙f ∈L1R(Rn, dx), on a
ΦX(τ) = Z
Ω
e−ihτ,X(ω)idP(ω) = Z
Rn
f(x)e−ihτ,xidx=f(τb ),
d’o`u l’intime relation entre les notions de transformation de Fourier sur L1 et de prise de fonction caract´eristique d’un vecteur de variables al´eatoires suivant une loi `a densit´e sur Rn. Le concept de fonction caract´eristique s’´etend cependant aux vecteurs de variables al´eatoires de loi quelconque et non plus `a densit´e, ce qui ´elargit le cadre de la transformation de Fourier (mˆeme si ici elle n’est envisag´ee que pour des classes ˙f de fonctions positives d’int´egrale 1, comme c’est le cas pour toute densit´e de probabilit´e). Notons deux r`egles de calcul importantes : si X1, ..., Xn sont des variables al´eatoires r´eelles mutuellement ind´ependantes, alors
∀τ ∈Rn, ΦX(τ1, ..., τn) = Yn j=1
ΦXj(τj) (2.35)
et
∀τ ∈R,∀λ ∈Rn, Φλ1X1+···+λnXn(τ) = Yn j=1
ΦXj(λjτ), (2.36) toutes les deux cons´equences de la mutuelle ind´ependance des Xj et du fait que l’exponentielle complexe r´ealise un homomorphisme entre (C,+) et (C∗,×) :
∀z, w ∈C, exp(z+w) = expz×expw ,
propri´et´e alg´ebrique dont on a tr`es souvent dans ce chapitre d´ej`a eu l’occasion de souligner l’int´erˆet majeur.
39. Attention ici ! on ne peut plus utiliser ω comme variable sur l’espace des
fr´equences puisque ω est ici r´eserv´e `a l’indexation des ´ev`enements dans l’ensemble abstrait Ω.
2.4 La transformation de Fourier des classes de fonctions int´egrables sur Rn 93
z
x’
x
y O U
figure de diffraction plan de l’image I
onde sphérique
ξ ξ
η π
, d
Figure 2.5 – R´ealisation de la transformation de Fourier optique