Pr´ eliminaires sur les op´ erateurs lin´ eaires continus de H dans H 42

Soit T : H −→ H une application K-lin´eaire du K-espace de Hilbert H dans lui-mˆeme⁴². Dire que T est continue (pour la topologie d’espace norm´e d´efinie par la normek k d´erivant du produit scalaire) ´equivaut `a dire qu’il existe une constante C telle que

∀h∈H , khk ≤1 =⇒ kT(h)k ≤C . On pose dans ce cas

kTk:= sup

{h∈H;khk≤1}kT(h)k= sup

{h∈H;khk=1}kT(h)k. (1.31) Comme pour les formes lin´eaires, dans de nombreux probl`emes pratiques, on ne dispose de la description de l’action d’un op´erateur que sur un sous-espace vectoriel

42. On dit aussi unop´erateur lin´eaire continu deH dansH.

1.11 Op´erateurs deH dans H; notion d’adjoint 43 dense dans H (et non explicitement sur H) ; un exemple important est celui d’un espace de Hilbert s´eparable o`u l’on dispose d’une base hilbertienne (e_k)_k∈Z (ou d’un

frame engendrant un sous-espace dense V) et o`u l’on ne connaˆıt l’action de T que par le biais desT(e_k),k ∈Z. On ne connaˆıt donc a priori que l’action deT sur les combinaisons lin´eaires finies des vecteurs (e_k)_k∈Z :

T X^N

k=−N

λ_ke_k

:=

XN k=−N

λ_kT(e_k), N ∈N^∗.

Une question naturelle se pose : celle de prolonger sans ambig¨uit´e T `a l’espace de Hilbert tout entier (en un op´erateur K-lin´eaire continu bien sˆur) de mani`ere `a pouvoir vraiment travailler avec un op´erateur K lin´eaire continu de H dans lui-mˆeme. Le petit lemme de prolongement suivant, anodin `a premi`ere vue, est en fait tr`es important du point de vue pratique :

Lemme 1.2 (Lemme de prolongement des op´erateurs) Soit V un K -sous-espace dense (mais attention, pas n´ecessairement ferm´e, c’est tout le probl`eme !) de H et T une application K-lin´eaire de V dans H. Une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’on puisse prolonger T de mani`ere unique en un op´erateur K -lin´eaire continu de H dans lui-mˆeme est qu’il existe une constante positive C telle que

∀v ∈V , kT(v)k ≤Ckvk.

Preuve.SiT se prolonge deV `aHen un op´erateur lin´eaire continu, on peut prendre C = kTk et l’in´egalit´e kT(h)k ≤ Ckhk est satisfaite pour tout h dans H, donc a fortiori pour tout v dans V. Pour la r´eciproque, on approche un ´el´ement arbitraire hdeH par une suite (v_n)_n≥0 d’´el´ements deV (V est dense, c’est donc possible). On remarque que, puisque

kT(v_n)−T(v_m)k=kT(v_n−v_m)k ≤Ckv_n−v_mk, ∀m, n∈N,

la suite (T(vn))n≥0 est de Cauchy comme la suite convergente (vn)n≥0; elle converge donc et l’on peut poser

T(h) := lim

n→+∞T(v_n)

apr`es avoir remarqu´e que cette limite ne d´ependait pas en fait de la suite (v<sub>n</sub>)<sub>n≥0</sub> choisie pour approcher h. L’action de T est ainsi prolong´ee `a H tout entier et le nouvel op´erateurT :H −→H d´efini ainsi prolonge l’action de T surV, est unique et continu car on a bien sˆur

∀h∈H , kT(h)k ≤Ckhk.

Le r´esultat repose donc sur la compl´etude de H en place de celle deK utilis´ee pour le lemme 1.1. ♦

Exemple d’application 1.11 (th`eme d’exercice). Voici un exemple d’application important de ce lemme de prolongement dans un K-espace de Hilbert s´eparable o`u l’on dispose d’une base hilbertienne (ek)k∈Z. On se donne l’action d’un op´erateur lin´eaireT en se la donnant uniquement sur les vecteursek de la base hilbertienne. On veille simplement `a ce que l’action deT ne d´et´eriore pas trop l’orthogonalit´e, au sens suivant : il existe une suite (τk)k∈Zde nombres positifs telle que

kτk1:=X

k∈Z

τ_k <∞

et

∀k, l∈Z, |hT(ek), T(el)i| ≤τk−l

(on parle alors pour la famille (T(ek))k de famille presque orthogonale). Alors, si N est un entier positif non nul et (λk)^N_k=−N des scalaires, on a, du fait du th´eor`eme de Pythagore, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (1.9) et l’invariance par translation de la mesure de comptage surZ. On voit qu’il existe une constanteC=p

kτk1 telle que, pour touthdans le sous-espace vectoriel engendr´e par les e_k,k∈Z, on aitkT(h)k ≤Ckhk. Le lemme de prolongement s’applique donc et l’action deT se prolonge bien en celle d’un op´erateur lin´eaire continu deH dans lui-mˆeme.

Par exemple, siH=L²_C(T) et si

e_k :θ7−→e^ikθ, k∈Z,

on d´efinit un op´erateur lin´eaire continu deH dans lui-mˆeme en posant T(ek) :θ7−→ak(θ)e^ikθ, ∀k∈Z,

o`u ak d´esigne (pour tout k∈Z) une fonctionC^∞ 2π-p´eriodique⁴³, avec la contrainte qu’il existe une constante absolueK≥0 telle que

∀k∈Z, ka_kk∞+ka⁰_kk∞+ka⁰⁰_kk∞≤K .

On voit en effet (en faisant deux int´egrations par parties successives) que, si tel est le cas, il existe bien une constanteC telle que, pour tout couple d’entiers (m, n) avecm6=n,

|hT(ek), T(el)i|= 1 ce qui assure l’existence d’une suite (τk)k∈Z telle que

|hT(e_k), T(e_l)i| ≤τ_k−l, ∀k, l∈Z

(la s´erie de Riemann [1/k²]_k≥1´etant convergente). La possibilit´e de prolongerT en un op´erateur lin´eaire continu `a l’espace L²_C(R/2πZ) tout entier entre donc bien dans le cadre de l’exemple.

43. Il s’agit concr`etement d’un m´ecanisme demodulation de l’amplitude, dans la mesure o`u l’on remplace l’amplitude constante ´egale `a 1 de θ 7−→ e^ikθ par l’amplitude modul´ee (de fa¸con douce)θ7−→ak(θ).

1.11 Op´erateurs deH dans H; notion d’adjoint 45

1.11.2 La notion d’op´ erateur adjoint

La notion importante que nous attacherons dans ce cours `a un op´erateur K -lin´eaire continuT :H −→H sera celle d’op´erateur adjoint.

Soit T un tel op´erateurK-lin´eaire continuT :H −→H. Pour tout h fix´e dans H, l’application

x∈H 7−→ hT(x), hi

est une K-forme lin´eaire continue sur H. Il existe donc (d’apr`es le th´eor`eme de dualit´e 1.2) , un unique ´el´ement T^∗(h) tel que

hT(x), hi=hx , T^∗(h)i, ∀x∈H . (1.32) Si l’on remplace h par λ₁h₁+λ₂h₂ avech₁, h₂ ∈H, λ₁, λ₂ ∈K, on constate que

hT(x), λ1h1+λ2h2i = λ1hT(x), h1i+λ2hT(x), h2i

= λ₁hx , T^∗(h₁)i+λ₂hx , T^∗(h₂)i

= D

x , λ₁T^∗(h₁) +λ₂T^∗(h₂) E

, ce qui montre que l’application

h7−→T^∗(h)

d´efinie suivant (1.32) est bienK-lin´eaire. La relation d´efinissant compl`etement cette application K-lin´eaire T^∗ :H−→H, soit

∀x∈H , ∀h∈H , hT(x), hi=hx , T^∗(h)i (1.33) est dite formule d’adjonction. Cette formule d’adjonction se lit aussi

∀x∈H , ∀h∈H , hT^∗(x), hi = hh , T^∗(x)i

= hT(h), xi

= hx , T(h)i, on constate que (T^∗)^∗ =T.

Sih est de norme 1, on a, pour tout x dans H,

|hx , T^∗(h)i|=|hT(x), hi| ≤ kT(x)k × khk ≤ kTk × kxk,

ce qui montre (en prenant x = T^∗(h)) que kT^∗(h)k ≤ kTk, donc que T^∗ est une applicationK-lin´eaire continue deH dansH (comme T), aveckT^∗k ≤ kTk. Comme (T^∗)^∗ =T, on a aussi l’in´egalit´e inverse

k(T^∗)^∗k=kTk ≤ kT^∗k.

Tout ce que nous venons de faire se r´esume en la proposition-d´efinition suivante : Proposition 1.14 Soit H un K-espace de Hilbert (K =R ou C) et T :H −→H une application K-lin´eaire continue de H dans lui-mˆeme (on dit aussi un op´erateur K-lin´eaire continu de H dans H). La formule d’adjonction (1.33)

∀x∈H , ∀h∈H , hT(x), hi=hx , T^∗(h)i

permet de d´efinir sans ´equivoque un autre op´erateur K-lin´eaire continu de H dans lui-mˆeme, dit adjoint de T. Les op´erateurs T et T^∗ sont tels que kTk = kT^∗k et l’op´eration de prise d’adjoint T 7−→ T^∗ est une involution isom´etrique antilin´eaire du K-espace vectoriel LK(H, H) des op´erateurs K-linaires continus de H dans H (´equip´e de la norme d’op´erateur continu d´efinie par (1.31) `a partir de la norme k k d´erivant du produit scalaire sur H).

On remarque de plus (toujours grˆace `a la caract´erisation de l’adjointvia la formule d’adjonction (1.33)) que siT₁ et T₂ sont deux op´erateursK-lin´eaires continus de H dans lui-mˆeme,

(T₂ ◦T₁)^∗ =T₁^∗◦T₂^∗.

En particulier, si un op´erateur lin´eaire continuT :H −→H admet un inverse aussi lin´eaire continu T⁻¹ :H −→H, on a n´ecessairement (T⁻¹)^∗ = (T^∗)⁻¹.

Exemple 1.12 : le cas de la dimension finie.SiH =RⁿouH =Cⁿsont ´equip´es d’un produit scalaireh, i(pas n´ecessairement le produit scalaire canonique), la notion d’adjoint rejoint celle que l’on connaˆıt en alg`ebre. SiM est la matrice de l’op´erateurT exprim´ee dans une base orthonorm´ee de R<sup>n</sup> ou C<sup>n</sup> (relativement au produit scalaireh,i), la matrice de l’adjoint T<sup>∗</sup> (relativement `a la structure hilbertienne attach´ee au choix du produit scalaire) exprim´ee dans cette mˆeme base est exactement la matriceM^∗, c’est-`a-dire la transconjugu´ee de la matriceM (on transpose et on conjugue les coefficients).

Exemple 1.13 : les shifts.Si H =l_K²(Z), l’op´erateur (xk)k∈Z7−→(xk−1)k∈Z (ditshiftd’un pas vers la droite) a pour adjoint l’op´erateur (xk)k∈Z 7−→ (xk+1)k∈Z (dit shift d’un pas vers la gauche).

Exemple 1.14 : le cas d’une projection orthogonale sur un sous-espace ferm´e.SiV est un sous-espace ferm´e deH, l’op´erateur Proj_V (qui est continu de norme 1 puisquekProj_Vxk ≤ kxk avec ´egalit´e si et seulement si x∈V) a pour adjoint

(Proj_V)^∗= Proj_V car on a, pour toutx, hdansH,

hx ,Proj_V(h)i = hProj_V(x),Proj_V(h)i

= hProj_V(x), hi.

L’op´erateur Proj_V est un exemple d’op´erateurauto-adjoint. La norme d’op´erateur d’une projection orthogonale P_V sur un sous-espace ferm´eV est ´egale `a 1 carP_V(x) =x pour x∈ V et d’autre partkPV(x)k ≤ kxk pour toutxdansH.

La proposition suivante nous sera utile car elle relie noyau et image d’un op´erateur lin´eaire continu T au noyau et image de son adjoint T^∗.

Proposition 1.15 Soit H un K-espace de Hilbert et T un op´erateur K-lin´eaire continu de H dans lui-mˆeme. On a les relations :

KerT = (ImT^∗)^⊥ KerT^∗ = (ImT)^⊥

H = KerT ⊕^⊥ ImT^∗

= KerT^{∗ ⊥}⊕ImT (1.34)

1.11 Op´erateurs deH dans H; notion d’adjoint 47 Preuve. Si h est dans le noyau deT, on a

∀x∈H , hT(h), xi= 0. En utilisant la formule d’adjonction (1.33), il vient donc

∀x∈H , hh , T^∗(x)i= 0,

ce qui signifie queh est orthogonal au sous-espace ImT^∗. Comme le produit scalaire est continu sur H ×H, h est aussi orthogonal au sous-espace ferm´e ImT^∗, ce qui prouve bien l’inclusion

KerT ⊂(ImT^∗)^⊥.

Prenons maintenant h orthogonal `a ImT^∗; pour montrer queT(h) = 0, il suffit de montrer que pour tout x∈H,

hT(h), xi= 0. Mais, toujours d’apr`es la formule d’adjonction (1.33)

hT(h), xi=hh , T^∗(x)i= 0 puisque h⊥T^∗(x). On a donc bien aussi l’autre inclusion

(ImT^∗)^⊥ ⊂KerT

(on peut passer `a gauche `a l’adh´erence car l’on sait que KerT est ferm´e). Les for-mules des premi`ere et troisi`eme lignes de (1.34) sont donc prouv´ees (pour celle de la troisi`eme ligne, on applique le th´eor`eme de projection orthogonale). En rempla¸cant T par T^∗ et en utilisant l’involutivit´e de la prise d’adjoint (T^∗)^∗ =T, on en d´eduit les formules des seconde et quatri`eme lignes. ♦

1.11.3 L’int´ erˆ et de la prise d’adjoint ; deux exemples