Syst` emes lin´ eaires hyperboliques ` a coefficients discontinus sans

Ma pr´eoccupation premi`ere a ´et´e de donner un sens au probl`eme suiv-ant: Hu = f, (t, y, x) ∈ Ω, u|t<0 = 0 , o`u H := ∂t+ d X j=1 Aj(t, y, x)∂j,

et avec Ω = {(t, y, x) ∈ (0, T ) × R^d−1× R}, T > 0 ´etant fix´e une fois pour toutes. Je note :

H^±:= ∂_t+ d X j=1 A^±_j (t, y, x)∂_j, o`u A<sup>±</sup><sub>j</sub> est la restriction de A<sub>j</sub> `a ±x > 0.

L’inconnue du probl`eme, u(t, y, x) appartient `a RN et les matrices A_j appartiennent `a M<sub>N</sub>(R). Je suppose que les coefficients Aj sont con-stants en dehors d’un compact, C<sup>∞</sup> par morceaux, et que la disconti-nuit´e du coefficient est localis´ee sur l’hypersurface d’´equation x = 0. Les matrices B<sub>j,k</sub> d´ependent de mani`ere C^∞ de (t, y, x) et sont con-stantes en dehors d’un compact.

Le terme source f appartient `a H<sup>∞</sup>((0, T )×Rd), et est tel que f |<sub>t<0</sub>= 0. L’une des difficult´es majeures, vis-`a-vis de l’interpr´etation du prob-l`eme, r´eside dans la d´efinition du produit non-conservatif: A<sub>d</sub>∂<sub>x</sub>u, dans le cas o`u u est discontinue en {x = 0}. En revanche, ce probl`eme ne se pose plus lorsque je consid`ere le probl`eme visqueux, parabolique `a ε > 0 fix´e, suivant:

(1.2.1)

Hεu^ε = f, (t, y, x) ∈ Ω, u^ε|_t<0 = 0,

o`u la pertubation visqueuse de l’op´erateur hyperbolique H que j’envisage est donn´ee par:

Hε := ∂_t+ d−1 X j=1 A_j∂_j + A_d∂_x− ε ^X 1≤j,k≤d ∂_j(B_j,k∂_k.)

Les hypoth`eses faites ici, inspir´ees de celles faites lors de l’´etude visqueuse des chocs, se d´ecoupent en des hypoth`eses de structure et des hypoth`eses g´eom´etriques. Commen¸cons par les hypoth`eses struc-turelles. Tout d’abord, pr´ecisons l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e pour H, ainsi que l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e-parabolicit´e qui assure la com-patibilit´e entre la parabolicit´e de Hε pour ε > 0 et l’hyperbolicit´e de H = Hε|_ε=0.

Hypoth`ese 1.2.1 (Hyperbolicit´e `a multiplicit´e constante de H). Pour tout (t, y, x) ∈ (0, T ) × Rd−1× R∗ et (η, ξ) 6= 0_Rd, la matrice

d−1 X

j=1

η_jA_j(t, y, x) + ξA_d(t, y, x)

doit ˆetre diagonalisable sur R. De plus, ses valeurs propres ont une multiplicit´e constante.

Le symbole de la partie parabolique, B, est d´efini par: B(t, y, x, η, ξ) := ^X j,k<d η_jη_kB_j,k(t, y, x) +^X j<d ξη_j(B_j,d(t, y, x) + B_d,j(t, y, x)) + ξ²B_d,d(t, y, x).

Je suppose la condition de Majda et Pego ([MP85]) satisfaite ; on a donc :

Hypoth`ese 1.2.2 (Hyperbolicit´e-Parabolicit´e de Hε).

Il existe c > 0 tel que pour tout (t, y, x) ∈ (0, T ) × Rd−1× R∗ et (η, ξ) ∈ R^d, les valeurs propres de la matrice

i d−1 X j=1 η_jA_j(t, y, x) + ξA_d(t, y, x) ! + B(t, y, x, η, ξ) v´erifient <e µ ≥ c(|η|²+ ξ²).

Je suppose ensuite que l’hypersurface sur laquelle se produit la dis-continuit´e du coefficient, d’´equation x = 0, est non-caract´eristique pour l’op´erateur H, ce qui signifie :

Hypoth`ese 1.2.3 (Bord non-caract´eristique). ∀t ∈ (0, T ), det A_d|_x=0+(t) 6= 0 et det A_d|_x=0−(t) 6= 0.

Les deux hypoth`eses g´eom´etriques (signe et transversalit´e) que je vais introduire maintenant apparaissent naturellement dans l’´etude des chocs qui est un probl`eme math´ematiquement tr`es voisin. Dans le cas que je traite, on verra que cette hypoth`ese empˆeche l’apparition de modes expansifs. La notion d’expansivit´e de la discontinuit´e pour des syst`emes non diagonaux sera dˆument explicit´ee lors du chapitre suivant. Je noterai A<sup>±</sup><sub>d</sub> la restriction de A<sub>d</sub> `a {±x > 0}.

Hypoth`ese 1.2.4 (Hypoth`ese de signe). Il existe p ≤ N − 1 et q ≥ 0 tels que :

• Les valeurs propres de la matrice A−

d(t, y, 0), ordonn´ees par ordre croissant not´ees par (λ⁻_i (t, y))_1≤i≤N, sont telles que λ⁻_p < 0 et λ⁻_p+1> 0.

• Les valeurs propres de la matrice A+

d(t, y, 0), ordonn´ees par or-dre croissant not´ees par (λ⁺_i (t, y))_1≤i≤N, v´erifient λ⁺_p+q < 0 et λ⁺_p+q+1> 0.

L’Hypoth`ese 1.2.4 interdit en particulier le cas o`u A⁺_d(t, y, 0) a toutes ses valeurs propres positives et A⁻_d(t, y, 0) a toutes ses valeurs propres n´egatives. Cette hypoth`ese ne suffit pas `a interdire l’apparition de modes expansifs. Cette notion de modes expansifs est claire pour des matrices diagonales (on est ramen´e dans ce cas `a la d´efinition donn´ee lors du chapitre pr´ec´edent pour des ´equations scalaires). On se place par exemple dans le cas des syst`emes 2 × 2, avec B_d,d = Id (de mˆeme que pour la r´egularisation visqueuse des ´equations scalaires du chapitre pr´ec´edent) et on consid`ere un coefficient A<sub>d</sub>:= A<sup>+</sup><sub>d</sub>1<sub>x>0</sub>+ A<sup>−</sup><sub>d</sub>1<sub>x<0</sub> diag-onal et constant de part et d’autre de {x = 0}. Si A<sup>−</sup><sub>d</sub> et A<sup>+</sup><sub>d</sub> ont toutes deux une valeur propre < 0 et une valeur propre > 0, l’hypoth`ese de signe est bien v´erifi´ee. Pourtant, deux cas de figure satisfont ces hy-poth`eses. Prenons, par exemple,

A⁻_d = 1 0 0 −1

 .

Alors, si

A⁺_d = 2 0 0 −2

 ,

deux modes traversants sont pr´esents. Par contre, si A⁺_d = −2 0

0 2

 ,

je me trouve dans le cas d’un mode compressif et d’un mode expansif. L’hypoth`ese de transversalit´e donn´ee ci-dessous interdit la pr´esence de modes expansifs dans l’exemple qui vient d’ˆetre d´ecrit.

Soit G_d := (B_d,d)⁻¹A_d. L’espace vectoriel E−(G_d) [resp E+(G_d)] est d´efini comme l’espace g´en´er´e par les vecteurs propres associ´es aux valeurs propres < 0 [resp > 0] de G_d. L’hypoth`ese de transversalit´e s’´ecrit alors :

Hypoth`ese 1.2.5 (Transversalit´e).

Les espaces E−(G_d|_x=0+) et E+(G_d|_x=0−) s’intersectent transversale-ment dans RN, ce qui s’exprime ´egalement ainsi:

E−(G_d|_x=0+) + E+(G_d|_x=0−) = R^N.

Je vais maintenant donner l’hypoth`ese de stabilit´e, qui est de na-ture g´eom´etrique. Pour cela, je vais au pr´ealable introduire quelques notations. Dans ce qui suit, η := (η<sub>1</sub>, . . . , η<sub>d−1</sub>) sera la variable Fourier duale de y et ξ la variable Fourier duale de x. De plus, γ servira `a noter un param`etre ≥ 0. Le param`etre ζ sera alors d´efini par ζ := (τ, γ, η). Notons A^± la matrice de M_2N(C) donn´ee par :

A^±(t, y, x; ζ) =  0 Id M±(t, y, x; ζ) A^±(t, y, x; η)  , avec M^±(t, y, x; ζ) = B_d,d⁻¹A^±_d(t, y, x)A^±(t, y, x; ζ)+B_d,d⁻¹(t, y, x) d−1 X j,k=1 η_jη_kB_j,k(t, y, x),

o`u A^± est le symbole hyperbolique tangentiel d´efini par : A^±(t, y, x; ζ) := (A^±_d)⁻¹(t, y) (iτ + γ)Id + d−1 X j=1 iηjAj(t, y, x) ! .

Finalement, notons : A^±(t, y, x; η) = B_d,d⁻¹A^±_d(t, y, x)−B⁻¹_d,d(t, y, x) d−1 X j=1 iη_j(B_j,d(t, y, x) + B_d,j(t, y, x)) .

J’introduis le poids Λ(ζ) utilis´e pour une remise `a l’´echelle quand j’´etudie le comportement haute fr´equence, c’est-`a-dire pour |ζ| grand :

Λ(ζ) = 1 + τ²+ γ²+ |η|⁴

1 4 .

L’application J_Λ est d´efinie de CN × CN dans CN × CN par : (u, v) 7→ (u, Λ⁻¹v).

Les espaces positifs et n´egatifs des matrices A^±(t, y, x; η), remis `a l’´echelle sont d´efinis par :

e

E±(A^±) := JΛE±(A^±).

L’hypoth`ese de stabilit´e, de nature spectrale, s’´ecrit alors : Hypoth`ese 1.2.6 (Condition d’Evans uniforme).

Supposons que pour tout (t, y) ∈ (0, T ) × R^d−1 et ζ = (τ, η, γ) ∈ R^d× R⁺− {0_Rd+1}, on a: e D(t, y, ζ) =   det^Ee−(A⁺(t, y, 0; ζ)), e_E+(A⁻(t, y, 0; ζ))^ ≥ C > 0.

Le d´eterminant de deux espaces vectoriels se calcule en choisissant une base orthonorm´ee directe pour chacun d’entre eux. L’hypoth`ese de stabilit´e introduite ci-dessus ne d´epend pas, bien sˆur, du choix de ces bases. Les z´eros de eD repr´esentent les fr´equences pour lesquelles le probl`eme symbolique associ´e est instable. Ce type d’hypoth`ese a ´et´e d´egag´e lors de travaux sur les ondes de choc. On peut notamment se r´ef´erer aux travaux de D. Serre et K. Zumbrun ([SZ01],[ZS99]), de S. Benzoni, D. Serre et K. Zumbrun ([BGSZ06],[BGSZ01]), de F. Rousset [Rou03], ainsi qu’aux travaux de O. Gu`es, G. M´etivier, K. Zumbrun et M. Williams ([GMWZ05] par exemple), de G. M´etivier et K. Zumbrun ([MZ05], [MZ04]) et au livre de G. M´etivier ([M´et04]).

Sous ces hypoth`eses, pour tout ε > 0 fix´e, le probl`eme parabolique (1.2.1) a une unique solution uε. Cette solution appartient `a H^∞((0, T )×

R^d−1× R∗); de plus, elle appartient globalement `a C<sup>1</sup>((0, T ) × R). Si l’on note u<sup>ε±</sup> la restriction de u<sup>ε</sup> `a {±x > 0}, u^ε satisfait les conditions de transmission `a l’interface :

 uε+|_x=0+ − uε−|_x=0− = 0,

∂_xu^ε+|_x=0+− ∂_xu^ε−|_x=0− = 0 .

Je montre que les conditions au bord r´esiduelles obtenues sur u s’´ecrivent alors:

u|_x=0+ − u|_x=0− ∈ Σ,

o`u Σ est un sous-espace de R^N, d´ependant du choix du tenseur de viscosit´e.

Le sous-espace Σ est donn´e par : Σ := (G_d|_x=0+)⁻¹− (G_d|_x=0−)^−1


E−(G_d|_x=0+)^\_E+(G_d|_x=0−)^. Je prouve ainsi le Th´eor`eme 3.2.9 de la Th`ese, que l’on rappelle ici: Th´eor`eme 1.2.1. Il existe C > 0 tel que, pour tout 0 < ε < 1,

kuε− uk_L2(Ω) ≤ Cε,

o`u uε est la solution de 1.2.1 et u := u+1<sub>x>0</sub>+ u<sup>−</sup>1<sub>x<0</sub> la solution du probl`eme de transmission bien pos´e suivant:

         H+u⁺= f⁺, (t, y, x) ∈ (0, T ) × R^d+, H−u⁻= f⁻, (t, y, x) ∈ (0, T ) × R^d−, u|_x=0+ − u|_x=0− ∈ Σ, u|_t<0= 0 .

Cette preuve se fait sans avoir recours au calcul pseudo-diff´erentiel dans le cas o`u les coefficients sont constants de part et d’autre de {x = 0}. Dans ce cas, je prouve d’abord des estimations, en variables de Fourier, par sym´etriseur de Kreiss, qui donnent ensuite l’estimation voulue via le th´eor`eme de Fourier-Plancherel.

Ce th´eor`eme montre que, pour un tenseur de viscosit´e donn´e, l’appro-che `a viscosit´e ´evanescente s´electionne une solution. La dimension de l’espace vectoriel Σ (ind´ependante des variables tangentielles) exprime

le nombre de modes compressifs pr´esents dans la discontinuit´e.

Si la discontinuit´e n’a que des modes traversants, alors Σ = {0}, et donc la solution u s´electionn´ee appartient `a C0((0, T ) × Rd) mais n’appartient pas `a C1((0, T ) × Rd). Quand des modes compressifs sont pr´esents, u est en g´en´eral discontinue sur l’hypersurface d’´equation x = 0.

Dans tous les cas, la solution u obtenue appartient `a H<sup>∞</sup>((0, T ) × R<sup>d−1</sup>× R∗); on n’a donc aucune perte de r´egularit´e sur les demi-espaces {x > 0} et {x < 0} en passant `a la limite visqueuse. Cela montre que les seules couches limites pr´esentes se forment le long de l’hypersurface non-caract´eristique {x = 0}.

En l’absence de modes compressifs, les couches limites form´ees sont de faible amplitude.

Remarquons que l’´etude du probl`eme dans sa formulation non-conservative fournit des r´esultats diff´erents de ceux obtenus par l’´etude des probl`emes pris dans leur forme conservative. En effet, comme je l’ai montr´e dans le chapitre pr´ec´edent, pour une formulation conserva-tive du probl`eme, la pr´esence de modes compressifs induit la formation d’une masse de Dirac, quand ε → 0+. A contrario, les seules singular-it´es observ´ees ici sont des sauts de la fonction ou de ses d´eriv´ees.

J’ai choisi d’imposer que u|_t<0 = 0 et que f |_t<0, afin que les condi-tions de compatibilit´e soient trivialement satisfaites. Si ce n’´etait pas le cas, pour chaque mode traversant, une singularit´e se formerait en (t = 0, x = 0) puis se propagerait le long des caract´eristiques issues de ce point. Supposer que les conditions de compatibilit´e sont satis-faites permet d’isoler les singularit´es provoqu´ees par les discontinuit´es de coefficients.