inclu-ant des modes expansifs (Chapitre 4).
Je g´en´eralise ici les r´esultats expos´es lors du chapitre pr´ec´edent `a des discontinuit´es pouvant pr´esenter des modes expansifs. Par souci de simplicit´e, je me suis restreint `a des syt`emes `a coefficients constants par morceaux en une dimension d’espace. Dans le mˆeme esprit que le chapitre pr´ec´edent, je me ram`ene au probl`eme de perturbation sin-guli`ere suivant :
∂tuε+ A(x)∂xuε− ε∂2
xuε= f, (t, x) ∈ (0, T ) × R, uε|t=0 = h ,
o`u f et g sont C∞et `a support compact. L’inconnue uε(t, x) appartient `
a RN et le coefficient A prend ses valeurs dans MN(R). Pour ±x > 0, on a A(x) = A±.
Comparativement aux hypoth`eses expos´ees au chapitre pr´ec´edent, les hypoth`eses de signe et de transversalit´e sont remplac´ees ici par des hypoth`eses plus faibles qui autorisent les modes expansifs. De plus, dans le probl`eme consid´er´e maintenant, je ne fais aucune hypoth`ese de compatibilit´e entre f et h.
En pratique, j’ai pr´ef´er´e travailler sur la reformulation du probl`eme visqueux en tant que probl`eme de transmission.
La fonction uε = uε+1x>0+ uε−1x<0 est en effet solution du probl`eme suivant : (1.3.1) ∂tuε++ A+∂xuε+− ε∂2 xuε+= f+, (t, x) ∈ (0, T ) × R∗+, ∂tuε−+ A−∂xuε−− ε∂2 xuε−= f−, (t, x) ∈ (0, T ) × R∗−, uε+|x=0+ − uε−|x=0− = 0, ∂xuε+|x=0+ − ∂xuε−|x=0− = 0, uε±|t=0 = h± .
Je vais maintenant exposer les diff´erentes hypoth`eses que j’ai faites en commen¸cant par ´ecrire l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e pour l’op´erateur H := ∂t+ A∂x :
Hypoth`ese 1.3.1 (Hyperbolicit´e).
Les hypoth`eses de parabolicit´e sont ici trivialement satisfaites. L’hypersurface {x = 0} est suppos´ee non-caract´eristique pour H, ce qui s’´ecrit:
Hypoth`ese 1.3.2 (Bord non-caract´eristique). Les matrices A+ et A− sont inversibles.
L’hypoth`ese g´eom´etrique de stabilit´e s’´ecrit: Hypoth`ese 1.3.3 (Condition d’Evans uniforme). Pour tout ζ = (τ, γ) ∈ R × R+− {0R2}, on a :
detEe−(A+(ζ)), eE+(A−(ζ))
≥ C > 0.
Je rappelle bri`evement les notations employ´ees ici. Les matrices A± sont d´efinies par :
A± = 0 Id (iτ + γ)Id A± ,
o`u E+(A±) [resp E−(A±)] d´esigne l’espace vectoriel engendr´e par les vecteurs propres g´en´eralis´es de A± associ´es aux valeurs propres de A± `
a partie r´eelle > 0 [resp < 0]. Le poids Λ(ζ) est donn´e par: Λ(ζ) = 1 + τ2+ γ2
1 2 .
L’application JΛ de CN × CN
dans CN × CN se d´efinit par : (u, v) 7→ (u, Λ−1v).
On a alors :
e
E±(A±) := JΛE±(A±).
Je vais maintenant donner quelques notations et propri´et´es n´ eces-saires `a la description de mon r´esultat principal.
Pour commencer, Σ est l’espace vectoriel d´efini par: Σ := (A+)−1− (A−)−1E−(A+)\E+(A−), o`u j’ai not´e, par exemple,
E−(A+) = M λ+j<0
ker A+− λ+ j Id ,
avec les λ+j repr´esentant les valeurs propres de A+, qui sont r´eelles et semi-simples de par l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e.
J’introduis maintenant I, qui est le sous-espace de RN d´efini par : I := E−(A−)\E+(A+).
Le sous-espace I, est, en ce qui concerne les modes expansifs, l’analo-gue de Σ pour les modes compressifs. En particulier, le nombre de modes expansifs est donn´e par dim I.
Choisissons, une fois pour toutes, un sous-espace vectoriel V de RN satisfaisant :
E−(A−) + E+(A+) = IMV. Supposons que l’on a la d´ecomposition suivante de RN :
RN = IMV M
Σ.
Je note alors par ΠI, ΠV et ΠΣ les projecteurs associ´es `a cette d´ e-composition de RN. L’application lin´eaire ΠI est donc le projecteur sur le sous-espace vectoriel I parall`element au sous-espace vectoriel VL Σ. Remarquons que, si l’on se replace dans le cadre des hypoth`eses g´eom´etriques donn´ees au chapitre pr´ec´edent, alors I = {0}. De plus, sous les hypoth`eses du chapitre pr´ec´edent, on avait bien:
RN = VMΣ.
Sous mes nouvelles hypoth`eses, je prouve que, lorsque ε → 0+, la suite (uε) converge vers u dans L2((0, T )×R), o`u u := u+1x≥0+u−1x<0 est la solution du probl`eme de transmission suivant :
∂tu−+ A−∂xu−= f−, (t, x) ∈ (0, T ) × R∗−, ∂tu++ A+∂xu+= f+, (t, x) ∈ (0, T ) × R∗+, u+|x=0− u−|x=0 ∈ Σ, ∂xΠIu+|x=0− ∂xΠIu−|x=0 = 0, u−|t=0= h−, u+|t=0= h+.
Dans ce probl`eme, f± et h± d´esignent respectivement les restrictions des fonctions f et h au demi-espace {±x > 0}.
L’objet de la Proposition 4.2.12 de la Th`ese est de montrer que ce probl`eme est bien pos´e.
Une remarque s’impose: d`es lors que I = {0}, le probl`eme hy-perbolique limite quand ε → 0+ coincide avec celui identifi´e lors du chapitre pr´ec´edent.
Pour en revenir aux hypoth`eses, je fais une hypoth`ese g´eom´etrique concernant la discontinuit´e de la matrice A. L’Hypoth`ese 1.3.4, que je vais introduire ici, g´en´eralise les hypoth`eses de transversalit´e et de signe du chapitre pr´ec´edent.
Commen¸cons par donner quelques notations pr´eliminaires. De par l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e, les matrices A+et A−sont diagonalisables. Il existe donc deux matrices de passage P+et P−et deux matrices diag-onales D+et D−telles que D+= (P+)−1A+P+et D− = (P−)−1A−P−.
Je d´efinis alors le sous-espace J de RN par J := E−(D−)\E+(D+).
Je choisis une fois pour toutes deux sous-espaces vectoriels de RN, V1 et V2, v´erifiant : V1 M J = E+(D+), et V2 M J = E−(D−).
Mon hypoth`ese, portant sur la discontinuit´e du coefficient, s’´ecrit alors:
Hypoth`ese 1.3.4 (Structure de la discontinuit´e). On a : P+V1M P+J + P−J M P− V2 M Σ = RN De plus, l’application M := ΠIP+(D+)−1 −ΠIP−(D−)−1 P+ −P− de J×J dans I×(P+
J + P−J) d´efinit un isomorphisme entre les espaces J × J et I × (P+J + P−J) .
Finalement, on a : dim E−(A+)\E+(A−) = dim Σ.
Etant donn´e que cette hypoth`ese n’est pas vraiment ais´ee `a v´ eri-fier, je pr´esente ici une autre hypoth`ese plus simple: l’Hypoth`ese 1.3.5. L’Hypoth`ese 1.3.5 est une condition suffisante pour que l’Hypoth`ese 1.3.4 soit v´erifi´ee.
Hypoth`ese 1.3.5 (Structure de la discontinuit´e, version suffisante). Supposons que : • dim Σ = dim (E−(A+)T E+(A−)) • A− I = I • A+ I = I • ker((A+)−1− (A−)−1)T I = {0} • E−((Id − ΠI)A−(Id − ΠI))L E+((Id − ΠI)A+(Id − ΠI))L Σ = VL Σ.
Remarquons que, si A− a toutes ses valeurs propres < 0 et A+ a toutes ses valeurs propres > 0 (cas totalement expansif), cette hy-poth`ese se r´eduit tout simplement `a :
ker (A+)−1− (A−)−1 \I = {0}, ce qui est ici ´equivalent `a :
det (A+)−1− (A−)−1 6= 0. En effet, dans le cas purement expansif, on a : I = RN.
Sous ces hypoth`eses, je prouve le r´esultat suivant (Th´eor`eme 4.2.14) : Th´eor`eme 1.3.1. Il existe C > 0 tel que, pour tout 0 < ε < 1, on ait:
o`u uε d´esigne la solution du probl`eme de transmission visqueux (1.3.1) et u est d´efinie comme ´etant l’unique solution du probl`eme de trans-mission hyperbolique suivant :
∂tu−+ A−∂xu− = f−, (t, x) ∈ (0, T ) × R∗−, ∂tu++ A+∂xu+ = f+, (t, x) ∈ (0, T ) × R∗+, u+|x=0− u−|x=0 ∈ Σ, ∂xΠIu+|x=0− ∂xΠIu−|x=0 = 0, u−|t=0 = h−, u+|t=0 = h+.
La preuve de ces estimations d’´energie est la mˆeme qu’au chapitre pr´ec´edent. Pour obtenir ce r´esultat, ma principale pr´eoccupation a ´et´e de trouver une solution approch´ee du probl`eme de transmission visqueux (1.3.1). Dans ce cadre, je fournis un ansatz d´ecrivant avec exactitude, `a tout ordre, les couches limites se formant. Etant donn´e qu’aucune condition de compatibilit´e entre f et h n’est satisfaite, des couches limites caract´eristiques se forment, en g´en´eral, sur chacune des courbes caract´eristiques issues de (t, x) = (0, 0).
Figure 6
Singularit´es de la solution `a petite viscosit´e, dans le cas de syt`emes non-conservatifs
Ω0 R Ω1 R Ω0L Ω1L Ω2 L t x
Ce dessin montre les zones o`u u est r´eguli`ere dans le cas o`u dim E−(A−) = 2 et dim E+(A+) = 1.
Les couches limites se formant sur {x = 0} sont de forte amplitude si E−(A+)T
E+(A−) 6= {0}, et sont de faible amplitude dans le cas contraire.
En g´en´eral, puisqu’aucune hypoth`ese de compatibilit´e des donn´ees n’est faite, il y a des singularit´es de la solution u (sauts de ∂xu) local-is´ees d’une part sur les courbes caract´eristiques {(t, x) ∈ (0, T ) × R∗− : x − λ−t = 0}, o`u λ− d´esigne une valeur propre < 0 de A− et d’autre part sur les courbes caract´eristiques d’´equation {(t, x) ∈ (0, T ) × R∗+ : x − λ+t = 0}, o`u λ+ repr´esente une valeur propre > 0 de A+.
Supposons, de plus, pour simplifier, que toutes les valeurs propres de A+ et A− sont distinctes (hypoth`ese de stricte hyperbolicit´e de l’op´erateur ∂t + A∂x), alors la singularit´e se produisant par exemple sur {(t, x) ∈ (0, T ) × R∗+: x − λ+1t = 0}, o`u λ+1 > 0, est polaris´ee sur un espace vectoriel de dimension 1. Je me trouve donc ramen´e, apr`es pro-jection, `a une analyse asymptotique semblable au cas scalaire expansif men´ee lors du chapitre pr´ec´edent.
J’ai ´egalement explicit´e des exemples de syst`emes satisfaisant l’ens-emble des hypoth`eses d´ecrites. Ceci s’av`ere important dans le cas pr´esent, vu la quantit´e et la complexit´e des hypoth`eses mises en jeu. Il est `a noter que les exemples exhib´es ont ´et´e construits de mani`ere `a int´egrer un mode expansif. J’ai montr´e, par exemple :
Proposition 1.3.6. Soit P une matrice inversible de M2(R), alors les matrices A− et A+ d´efinies par :
A− = P−1 d− 1 0 0 d−2 P et A+ = P−1 d+ 1 α 0 d+2 P
avec d−1 < 0, d+1 > 0 et α ∈ R − {0}, satisfont l’ensemble des hy-poth`eses faites si et seulement si, ou bien d+2 et d−2 sont de mˆeme signe (strictement), ou bien d−2 < 0 et d+2 > 0.
La preuve de cette proposition requiert une ´etude de la fonction d’Evans pour des syt`emes 2 × 2. La section 4.3 est d’ailleurs d´edi´ee `a cette ´etude.
Dans le cas o`u d−2 > 0 et d+2 < 0, avec α 6= 0, le probl`eme reste ouvert. Il serait certainement int´eressant de chercher `a ´elucider ce cas.