Lopatinski uniforme (Chapitre 6).
L’objectif de ce chapitre est analogue au pr´ec´edent, mais dans le cadre de conditions aux limites satisfaisant une condition de Lopatinski uni-forme. Je consid`ere un probl`eme mixte hyperbolique lin´eaire du pre-mier ordre, pos´e sur le demi-espace {xd> 0}. En notant y := (x1, . . . , xd−1)
et x := xd, ce probl`eme s’´ecrit : (1.5.1) Hu = f, {x > 0}, Γu|x=0 = Γg, u|t<0= 0 ,
o`u l’inconnue u(t, y, x) appartient `a RN et Γ est une application lin´eaire de rang p. On fixe T > 0, une fois pour toutes. On notera Ω± := [0, T ] × Rd± et Υ := [0, T ] × Rd−1 o`u f d´esigne une fonction de H∞(Ω+) et g est une fonction appartenant H∞(Υ). On suppose ´egalement que f et g sont telles que f |t<0 = 0 et g|t<0= 0. L’op´erateur H consid´er´e est de la forme ∂t+Pd
j=1Aj∂j o`u les matrices Aj appartiennent `a MN(R) et sont constantes. Je fais l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e suivante sur H : Hypoth`ese 1.5.1 (Hyperbolicit´e `a multiplicit´e constante.).
Pour tout (η, ξ) ∈ Rd−1× R − {0}, les valeurs propres de d−1
X
j=1
ηjAj+ ξAd
sont r´eelles, semi-simples et de multiplicit´e constante.
Le bord, {x = 0}, est suppos´e non-caract´eristique pour l’op´erateur hyperbolique H.
Hypoth`ese 1.5.2 (bord non-caract´eristique). detAd6= 0.
Je suppose que l’op´erateur de bord Γ satisfait avec H une Condi-tion de Lopatinski Uniforme. Il s’agit l`a d’une condition de stabilit´e g´eom´etrique ([CP81]). H. O. Kreiss ([Kre70]) a prouv´e que les prob-l`emes mixtes strictement hyperboliques satisfaisant cette hypoth`ese sont bien pos´es. La condition d’Evans uniforme introduite pr´ec´ edem-ment est la version visqueuse de ce crit`ere.
Hypoth`ese 1.5.3 (Condition de Lopatinski Uniforme). Pour tout ζ tel que γ > 0, on a :
|det(E−(A), ker Γ)| ≥ C > 0. o`u A est le symbole tangentiel de H, d´efini par :
A(ζ) := − (Ad)−1 (iτ + γ)Id + d−1 X j=1 iηjAj ! , et ζ := (γ, τ, η).
En particulier, j’ai montr´e, dans le chapitre 3, que la solution g´en´ eral-is´ee naturelle d’un probl`eme hyperbolique lin´eaire discontinu de part et d’autre de {x = 0} s’´ecrit u = u+1x>0+ u−1x<0 de telle mani`ere que la fonction U, d´efinie sur (0, T ) × Rd
+ par : U (t, y, x) = u+(t, y, x) u−(t, y, −x)
soit la solution d’un probl`eme mixte hyperbolique satisfaisant une con-dition de Lopatinski uniforme. Le point de vue est le mˆeme que celui du chapitre pr´ec´edent.
Je vais montrer que l’on peut construire un multiplicateur de Fourier M et une fonction θ, tels que uε|x>0 approxime la solution u de (1.5.1), quand ε → 0+, et ce, sans formation d’aucune couche limite; uεd´esigne ici la solution d’un probl`eme de Cauchy, obtenu par perturbation sin-guli`ere du probl`eme (1.5.1), de la forme :
(1.5.2) H]uε+ 1 εM (∂)1x<0u ε = f]+1 εθ1x<0, {x ∈ R}, uε|t<0 = 0 .
Dans ce probl`eme, f] et H] sont des extensions de f et H `a {x < 0}. En fait, ´etant donn´e que les coefficients de H sont constants, je prends H] := H. De plus, je prolonge f par 0 pour x < 0. J’ai mentionn´e que l’op´erateur M de p´enalisation est un multiplicateur de Fourier; cela signifie qu’il existe une matrice M (ζ) telle que
o`u F d´esigne la transform´ee de Fourier tangentielle, c’est-`a-dire par rap-port aux variables (t, y). En s’inspirant des techniques utilis´ees lors du chapitre pr´ec´edent (5), afin d’obtenir une p´enalisation sans formation de couches limites, la matrice de M (ζ) poss`ede en g´en´eral un noyau bien choisi. Dans les approches pr´esent´ees lors du chapitre pr´ec´edent, nous avons pu tirer parti de la sym´etrie du probl`eme assortie de l’hypoth`ese de dissipativit´e du bord afin de prouver mes estimations d’´energie.
Je pr´esente ici deux solutions diff´erentes au probl`eme de p´ enalisa-tion de domaine. Deux p´enalisations adapt´ees (M1, θ1) (voir section 6.1.1) et (M2, θ2) (cf section 6.1.2) sont ainsi propos´ees. La deuxi`eme mani`ere de p´enaliser semble plus avantageuse, dans une perspective de futures applications num´eriques, comme soulign´e ci-dessous. Ces deux mani`eres de p´enaliser, bien que tr`es diff´erentes, ont comme point com-mun de ne pas g´en´erer de couches limites, `a tout ordre, ainsi qu’en t´emoigne le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 1.5.1. Consid´erons le probl`eme (1.5.2) avec (M, θ) = (M1, θ1) ou (M, θ) = (M2, θ2). Alors, il existe C > 0, tel que, pour tout 0 < ε < 1 et s ≥ 0, on ait :
kuε|x>0− ukHs(Ω+) ≤ Cε.
De plus, il existe une fonction u− ∈ H∞(Ω−) et C0 > 0 tels que pour tout 0 < ε < 1 et s ≥ 0, on ait :
kuε|x<0− u−kHs(Ω−) ≤ C0ε. On a en outre :
u|x=0+ = u−|x=0−. Premi`ere construction.
Une d´emarche tout `a fait naturelle, dans le cas pr´esent, est d’utiliser les sym´etriseurs intoduits par Kreiss, qui sym´etrisent le probl`eme obtenu par transform´ee de Fourier tangentielle, tout en introduisant, pour ce probl`eme, une propri´et´e de dissipativit´e du bord. Il s’agit l`a de l’id´ee de base de ma premi`ere m´ethode de p´enalisation de domaine.
Sous les hypoth`eses pr´esent´ees ci-dessus, il est possible de construire un sym´etriseur de Kreiss. Le probl`eme Kreiss-sym´etris´e, plus exacte-ment sa transform´ee de Fourier-Laplace, est exactement analogue au
probl`eme trait´e lors du chapitre pr´ec´edent. A la diff´erence du probl`eme trait´e lors du chapitre pr´ec´edent, le probl`eme obtenu ici a la fr´equence ζ comme param`etre. Ma premi`ere approche se ram`ene en substance `
a construire un op´erateur de p´enalisation pour ce probl`eme Fourier Kreiss-sym´etris´e. Comme je le montre section 6.2.1, modulo un change-ment de variable ad´equat, l’op´erateur de p´enalisation est un projecteur sur l’espace n´egatif d’une matrice hermitienne, parall`element `a son es-pace positif.
L’orthogonalit´e de ce projecteur induit sa positivit´e, au sens large. Il s’agit l`a d’un point important dans la preuve de mes estimations d’´energie.
Le changement de variables ´evoqu´e passe par la construction d’une ”matrice de Rauch”, de mˆeme que les deux m´ethodes propos´ees lors du Chapitre 5 de la Th`ese. Celui-ci est d´etaill´e dans la section 6.2.2. La m´ethode de construction d´ecrite ici se base sur la construction pr´ elimi-naire d’un sym´etriseur de Kreiss S et d’une matrice de Rauch R, il est ´egalement `a noter qu’il faut calculer les projecteurs orthogonaux sur l’ espace E−(R−1SR−1). Ma premi`ere construction est d´etaill´ee dans la section 6.1.1.
Tirant parti du fait que l’op´erateur consid´er´e est `a coefficients con-stants, mon r´esultat s’obtient finalement par le th´eor`eme de Fourier-Plancherel. Il est `a remarquer que les estimations d’´energie obtenues ici sont prouv´ees en traitant le probl`eme p´enalis´e (1.5.2) comme un probl`eme de Cauchy sur tout l’espace (voir section 6.3.2).
Deuxi`eme construction.
Ma deuxi`eme construction est d´etaill´ee dans la section 6.1.2. Pour cette construction, je montre que les estimations, pour le probl`eme de perturbation singuli`ere consid´er´e, r´esultent directement du fait que le probl`eme de Cauchy (1.5.2) peut se reformuler comme un probl`eme mixte hyperbolique satisfaisant une Condition de Lopatinski Uniforme. Sous mes hypoth`eses, cette condition de Lopatinski est trivialement v´erifi´ee pour ε > 0 fix´e. Je montre que c’est aussi le cas de la condition de Lopatinski obtenue asymptotiquement quand ε → 0+ (voir section 6.4.2). Une fois de plus, la clef de l’approche se situe dans une ´etude
du probl`eme faite sur la transform´ee de Fourier-Laplace de l’´equation. Le principe de mon approche est ici diff´erent : au lieu de travailler `a arranger l’op´erateur, on reformule ici la condition au bord de mani`ere plus ad´equate (c’est le Lemme 6.4.1).
En se basant sur le fait que le probl`eme consid´er´e satisfait une con-dition de Lopatinski uniforme, je montre que la concon-dition au bord Γu|x=0 = Γg est ´equivalente, vis-`a-vis de l’´equation associ´ee, `a une autre condition au bord, directement adapt´ee `a une approche par p´ e-nalisation de domaine. Pour le probl`eme obtenu par transform´ee de Fourier-Laplace, l’op´erateur de p´enalisation alors prescrit, est le pro-jecteur sur eE−(A(ζ)) parall`element `a eE+(A(ζ)), o`u il est `a rappeler que A est le symbole tangentiel de H introduit pr´ec´edemment. Ce pro-jecteur sera not´e P−(ζ). Les ”tildes” sont utilis´es pour indiquer qu’il s’agit des espaces ´etendus continˆument `a {γ = 0, (τ, η) 6= 0} ([CP81]). Contrairement `a l’approche pr´ec´edente, la positivit´e du projecteur n’est pas ici un facteur important pour la stabilit´e du probl`eme. En revanche, il est primordial que, pour tout ζ 6= 0, le noyau et l’image du projecteur P−(ζ) soient invariants par A(ζ).
D’un point de vue num´erique, cette deuxi`eme m´ethode de p´ enalisa-tion pr´esente l’avantage de n´ecessiter beaucoup moins de calculs que la premi`ere, qui fait intervenir le sym´etriseur de Kreiss, en g´en´eral prob-ablement (tr`es?) difficile `a calculer num´eriquement. Il est `a noter que dans certains cas concrets (´equation d’Euler par exemple), le sym´etriseur de Kreiss est en fait tout-`a-fait ais´e `a calculer ; on pourra se r´ef´erer au livre [BGS07] de S. Benzoni-Gavage et D. Serre.
De plus cette m´ethode est la seule m´ethode de p´enalisation de la Th`ese qui ne n´ecessite pas le calcul d’une matrice de Rauch.
En contrepartie, afin d’obtenir la fonction θ dans (1.5.2) pour ma deux-i`eme m´ethode, il est n´ecessaire de calculer au pr´ealable la solution v du probl`eme de Cauchy :
H]v = f], {x ∈ R}, v|t<0= 0 ,
ce qui n’est pas tellement contraignant, ´etant donn´e qu’aucun bord n’est pr´esent.
Partie I:
Approches Visqueuses pour des Probl`emes
Hyperboliques `a Coefficients Discontinus.
Chapter 2
Probl`emes hyperboliques
scalaires conservatifs `a
coefficients discontinus.
Ce chapitre contient le papier [For07c] intitul´e ”Two Results concerning the Small Viscosity Solution of Linear Scalar Conservation Laws with Discontinuous Coefficients” soumis `a publication en juillet 2007.
Abstract
In this paper, we consider the vanishing viscosity approach of the linear hyper-bolic Cauchy problem in 1-D
(
∂tu + ∂x(au) = f, {t > 0, x ∈ R}, u|t=0= h,
when the coefficient a(t, x) is discontinuous across the line {x = 0} and smooth on {x 6= 0}. Two cases are treated: the expansive (or completely outgoing) case where sign (xa(t, x)) > 0, for all (t, x) in a neighborhood of {x = 0}, and the compres-sive case (or completely ingoing) case where sign (xa(t, x)) < 0, for all (t, x) in a neighborhood of {x = 0}. In both cases, we show that the solution of the viscous problem converges and selects a well defined ’generalized solution’. In the expansive case, our first result answers the open question of selecting a unique solution to the hyperbolic problem, answering a question raised in paper [PR97]. In the compres-sive case, we show the formation of a Dirac measure in the small viscosity limit. Moreover, the considered problem does not need to be the linearized of a shock-wave on a shock front. For both results, a detailed asymptotic analysis is made via the construction of approximate solutions at any order, including a boundary
layer analysis. Moreover, both results state not only existence and uniqueness of the solution but its stability, and are new.
2.1 Introduction.
Consider the conservative 1-D Cauchy problem: (2.1.1) ∂tu + ∂x(a(t, x)u) = f, x ∈ R,
u|t=0 = h .
If a is discontinuous through {x = 0}, problem (2.1.1) has no classical sense and a new notion of solution has to be introduced. Several ap-proaches have already been proposed. Among them, renormalized solu-tions for this sort of problems have been introduced by Diperna and Li-ons in [DL89]. A neighboring question is treated by LeFloch ([LeF90]), then generalized to 1-D systems by Hu and LeFloch ([HL96]). In [BJ98] and [BJM05], Bouchut, James and Mancini define a notion of solution around the parallel study of the conservative problem (2.1.1) and the associated nonconservative problem:
(2.1.2) ∂tu + a(t, x)∂xu = g, x ∈ R, u|t=0 = l .
In [PR97], Poupaud and Rascle propose a notion of solution based on generalized characteristics in the sense of Filippov.
In this short paper, we will consider the vanishing viscosity approach in the case where a(t, x) is a piecewise smooth function. Let us describe our assumptions. Let T > 0 be fixed once for all. We will assume that the coefficient a belongs to the space of infinitely differentiable func-tions, bounded with all their derivatives: Cb∞([0, T ] × R∗), with R∗ = R−{0}. Furthermore, we assume that f belongs to C0∞([0, T ]×R) and h belongs to C0∞(R). As a first step, let us take a(x) := aR1x>0+ aL1x<0, where aL and aR denote two constants in R∗. Different cases have to be considered depending on the sign of aL and aR. Among those cases, the most interesting ones are when aL and aR are of opposite sign. If aL > 0 and aR < 0 [resp aL < 0 and aR > 0], the associated prob-lem will fall into what we call the ’ingoing case’ [resp ’outgoing case’ or ’expansive case’]. Our two results state existence, uniqueness and stability of the solution obtained by vanishing viscous perturbation of (2.1.1). The first result deals with the expansive case where uniqueness is the main concern whereas the second result deals with the ingoing case where existence is the main concern. Let ε denote a positive real
number. Having in mind to make ε tends towards zero, we consider the following viscous perturbation of (2.1.1):
(2.1.3) ∂tuε+ ∂x(a(t, x)uε) − ε∂x2uε = f, x ∈ R, uε|t=0 = h .
We prove then a convergence result stating that the solution uε of (2.1.3) tends towards u deduced from an asymptotic analysis of the problem. Naturally, u is then what could be called the small viscosity solution of (2.1.1). In the ingoing case, u is a measure-valued solution which coincides with the generalized solution introduced in the already cited papers. But the interesting point is the asymptotic expansion which gives a very precise description of the solution. In the expansive case, the result seems to be completely new, since the main difficulty was to ’select’ a solution among all possible weak solutions.