Syst`eme de coordonn´ees cart´esien

Solutions spatiales

En premier lieu il convient d’´etudier le probl`eme selon le syst`eme de coordonn´ees cart´esien.

Lorsqu’une distribution de masse est de densit´e constante, le potentiel correspondant est donn´e par l’´equation de Poisson,

△ϕ = 4πGρ.

La solution de cette ´equation donne (en prenant les constantes d’int´egration nulles) un potentiel d´ependant de la distance au carr´e,

ϕ(r) = 2π 3Gρr

2_{. (4.60)}

L’´equation de Schr¨odinger macroscopique prend alors la forme suivante : D2△ Ψ + iD∂Ψ

∂t − π 3Gρr

2_{Ψ = 0. (4.61)}

La solution stationnaire peut-ˆetre du type Ψ = ψ(r) exp (−iEt/2mD), avec m la masse de la particule test subissant le potentiel. Dans ce cas, l’exponentiel s’´elimine et on aboutit `a

2mD2△ ψ + Eψ − 2π₃ mGρr2ψ = 0. (4.62)

Pour connaˆıtre les solutions de cette ´equation, on peut utiliser l’´equivalence quantique en posant D = ¯h/2m et ω2 = 4πGρ/3. Cela induit une nouvelle ´egalit´e,

¯ h2 2m △ ψ + Eψ − 1 2mω 2_r2_{ψ = 0. (4.63)}

On reconnaˆıt l’´equation de Schr¨odinger quantique de l’oscillateur harmonique iso- trope `a trois dimensions (de pulsation ω = ωx = ωy = ωz). Les solutions de cette

´equation sont d´ej`a connues, l’´energie est quantifi´ee selon E = (n + 3/2)¯hω. En repre- nant les variables d’´echelle, l’´energie du syst`eme macroscopique devient,

En = 2mD ω  n + 3 2  , (4.64)

o`u n = nx + ny + nz. Les nombres nx, ny, nz correspondent aux trois nombres

52 4.3.1 Syst`eme de coordonn´ees cart´esien simplifier l’´ecriture, on conservera la variable ω. Les fonctions d’onde solutions dans l’espace des positions prennent la forme

ψn(x, y, z) = β2 π !3 4 _Y3 i=1 1 2nxi _nx i! exp ₋β 2_x2 i 2 ! Hn_xi(β xi), (4.65)

avec β =p_{ω/2D qui poss`ede une dimension inverse `a une longueur. Il est pr´ef´erable} alors de faire apparaˆıtre cette longueur,

a0 =

s

2D ω , dans les ´equations. Alors,

ψn(x, y, z) =  ₁ a02π 3 4 exp ₋ r 2 2a02 ! ₃ Y i=1 1 2nxi _nx i! Hn_xi _x i a0  . (4.66)

Les fonctions Hn(x) sont des polynˆomes d’Hermite. La distance a0 sera donc une

taille caract´eristique pour la structure ainsi form´ee. Nous pouvons visualiser les pre- miers modes de l’oscillateur harmonique en injectant des points suivant la densit´e de pr´esence spatiale, |ψ(x, y, z)|2_{. Pour un milieu initial de densit´e constante, les ´etats}

Fig._{4.4 – Pr´esentation des premiers ´etats possibles pour la structuration d’un milieu} `

a densit´e constante. Les structures sont form´ees en injectant des particules selon la densit´e de probabilit´e |ψ|2_.

stationnaires solutions de l’´equation de Schr¨odinger macroscopique aboutissent `a la formation de structures particuli`eres (Fig. 4.4). L’´etat fondamental (0, 0, 0) conduit `a une structure sph´erique simple. Cette structure est la forme la plus simple retrouv´ee dans l’univers. En supposant une masse initiale diff´erente, ces solutions aboutissent `

a des syst`emes universels : plan`etes, ´etoiles, amas globulaires, amas ouverts, ga- laxies sph´eriques, halos de galaxies spirales, groupes de galaxies, amas de galaxies

etc9_{. Ce processus de formation revˆet un caract`ere universel car une seule hypoth`ese}

est n´ecessaire : un milieu de densit´e constante. Pour diff´erentes masses, diff´erents syst`emes hi´erarchiques apparaˆıtront. Mais au del`a de l’´etat fondamental sph´erique, le premier ´etat excit´e (n=1) induit la cr´eation de syst`emes doubles. Ces syst`emes sont tout aussi universels que les structures sph´eriques. En effet, les ´etoiles doubles, les paires de galaxies ou les amas doubles sont aussi r´ecurrents que les structures uniques. Un mˆeme processus permet donc de cr´eer des syst`emes uniques ou doubles, seule l’´energie pr´evalant `a la cr´eation de l’un ou de l’autre. Pour des ´energies sup´erieures, les structures form´ees auront un nombre de composants d’autant plus important que cette ´energie sera ´elev´ee. Nous pouvons noter l’importance des tripl´es d’´etoiles (compatibles avec la formation donn´ee par l’´etat (2,0,0)) ou des quadrupl´es d’´etoiles (`a rapprocher de l’´etat (1,1,0)) dans les milieux `a forte densit´e d’´etoiles naissantes. G´en´eralement, les associations de plusieurs ´etoiles sont communes dans les r´egions de nids d’´etoiles. De la mˆeme mani`ere, mais `a une autre ´echelle, les petits groupes de galaxies sont aussi connus que les galaxies isol´ees ou les paires de galaxies. Mais cela est int´egr´e au mod`ele de formation hi´erarchique des galaxies. Il est important de noter que ces structures sont dynamiquement instables. Les solutions obtenues sont valables bri`evement, `a leur formation, et sont appel´ees `a ´evoluer ensuite suivant les lois classiques.

Nous pouvons pr´eciser que ces solutions stationnaires repr´esentent une forte approxi- mation des solutions r´eelles. En effet, comme nous l’avons d´ej`a signal´e `a plusieurs reprises, les solutions stationnaires sont valables dans le cadre d’un potentiel global ind´ependant de la distribution des particules tests. Or, dans le cas des solutions pro- pos´ees ici, le potentiel initial est cr´e´e par l’ensemble des masses. L’´evolution de celles- ci est alors donn´ee par l’´equation de Schr¨odinger macroscopique coupl´ee `a l’´equation de Poisson. Cette voie difficile est en cours d’exploration (Lehner et al., 2004) via des simulations num´eriques. La solution stationnaire est donc forc´ement insuffisante car le potentiel change par le ph´enom`ene de structuration mˆeme. En cons´equence, Il s’agira d’une solution interm´ediaire qui doit nous donner des informations sur une simple ´etape de la formation des structures. L’´evolution de ces structures (que nous supposons interm´ediaires) sera alors donn´ee par un autre potentiel (qui pourra ˆetre k´epl´erien par exemple).

Toutefois, nous pouvons supposer que certaines structures vont encore montrer une dynamique proche de la dynamique h´erit´ee de leur formation, c’est `a dire que le temps d’´evolution, depuis cette ´etape de formation ´el´ementaire, a ´et´e insuffisant pour modi- fier significativement la dynamique globale de la structure. Par exemple, nous pouvons v´erifier si un amas de galaxies montre encore une relation entre sa dispersion en vi- tesse et en position compatible avec les solutions pr´esent´ees ici. Nous pouvons aussi v´erifier si certaines paires de galaxies montrent une dynamique particuli`ere proche de l’´etat de formation (dans l’hypoth`ese o`u la paire n’a pas ´et´e form´ee par capture fortuite). Pour les quelques cas discut´es ci-dessus, les solutions stationnaires peuvent nous permettre d’´etablir des mod`eles de formation initiale dont la dynamique pour- rait ˆetre encore mesur´ee. Nous verrons une application possible dans le cas du Groupe Local de galaxies.

9_{Cette solution fondamentale est une maxwellienne, on retrouve donc la solution isotherme stan-}

54 4.3.1 Syst`eme de coordonn´ees cart´esien

Fig. <sub>4.5 – Distribution des “particules” qui constituaient un gaz initial `a densit´e</sub> constante. La structure form´ee est compos´ee d’un ensemble de sous-structures de ces “particules”. Cet ensemble conserve toutefois un caract`ere uniforme et ce d’autant plus pour des niveaux d’´energie ´elev´es.

ll existe toutefois des structures dont le processus de formation ne brise pas l’existence d’une distribution de mati`ere constante. Il faut pour cela consid´erer une formation d´ependante d’´echelle, sous forme hi´erarchique. Le probl`eme r´eside dans la d´efinition mˆeme des syst`emes dont la densit´e est constante. Si on consid`ere un gaz initial de densit´e constante, on peut tr`es bien imaginer une structuration de l’ensemble du gaz en un autre gaz form´e de sous-structures qui ne seraient plus les particules initiales de gaz mais une agglom´eration de celles-ci. De mani`ere plus pr´ecise, les solutions propos´ees ici donnent, pour des niveaux d’´energie ´elev´es, une structuration spatiale compatible avec une conservation de l’uniformit´e `a plus grande ´echelle. La figure (4.5) repr´esente la distribution de mati`ere pour une solution n = 20. Pour des niveaux en- core plus ´elev´es, le nombre de sous structures va augmenter. Nous remarquons sans peine l’uniformit´e de la distribution des sous-structures. La notion de particule ´etant totalement relative, on peut imaginer que chaque particule initiale soit en v´erit´e un nuage plus petit et de densit´e constante. De mˆeme, on peut imaginer des structures hi´erarchiques o`u la densit´e constante est bris´ee localement, mais pas forc´ement `a plus grande ou plus petite ´echelle. Par exemple, notre univers de galaxies montre une distribution locale fortement anisotrope et inhomog`ene et au del`a de 200 Mpc, l’en- semble des galaxies tant `a reformer `a nouveau un gaz uniforme. Ou encore, dans le cas des nuages interstellaires, on observe g´en´eralement une structure fractale qui peut dans certains cas contenir des r´egions `a densit´e constante suivant l’´echelle consid´er´ee. Il se peut donc que ces solutions stationnaires soient valables dans le cas d’une for- mation hi´erarchique des structures10avec un potentiel d´ependant d’´echelle.

10_{A l’instar du cas k´epl´erien o`u nous avons montr´e la possibilit´e de solutions de Schr¨odinger}

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

n=0

n=1

Densite de probabilite | Psi(r) |^2

Distance (d / a0)

Fig._{4.6 – Distribution de la densit´e de probabilit´e |ψ|}2_{pour l’´etat fondamental (n=0)} et le premier ´etat excit´e (n=1). Ces solutions sont valables pour les distributions de vitesses et de positions.

Solutions dans l’espace des impulsions

Dans l’espace des impulsions, les fonctions d’onde solutions poss`edent une forme identique `a celles trouv´ees dans l’espace des positions, `a savoir,

ψn(px, py, pz) =  ₁ p02π 3 4 exp ₋ p 2 2p02 ! ₃ Y i=1 1 2nxi_nx i! Hn_xi _p i p0  . (4.67)

Les trois nombres nx, ny et nz d´efinissent toujours l’´etat du syst`eme. L’impulsion

p0 est donn´ee par la formule, p0 = m√2ωD, ce qui va nous donner une vitesse

caract´eristique,

v0 =

√ 2ωD.

De mani`ere plus concr`ete, il existe donc des relations dans l’espace des phases pour les syst`emes cr´e´es selon les solutions |ψnx,ny,nz(x, y, z)|2. Pour l’´etat fondamen- tal, la dispersion en position et en vitesse sera donn´ee par δx= a0 et δv = v0. Pour le

premier ´etat excit´e, nous pouvons contraindre la s´eparation des deux sous-structures par ∆x = 2a0 et ∆v = 2v0, (Fig. 4.6). Nous verrons, dans les chapitres consacr´es

`

a l’´etude du Groupe Local de galaxies et la dynamique des paires de galaxies, une application de ces mod`eles pour la formation d’un syst`eme double de galaxies. Les mod`eles plus complexes sur la structuration `a plus grande ´echelle n’ont pas ´et´e exploit´es dans notre ´etude. Toutefois, pour le domaine des grandes ´energies, nous pouvons noter l’existence des travaux sur la p´eriodicit´e des galaxies dans l’univers

56 4.3.1 Syst`eme de coordonn´ees cart´esien proche(Broadhurst et al., 1990; Guthrie & Napier, 1991, 1996; Einasto et al., 1997). Ces travaux d´emontrent l’existence de p´eriodicit´es (ou pseudo-p´eriodicit´es) parti- culi`eres dans la distribution spatiales des galaxies, mais aussi dans la distribution des inter-vitesses (en particulier celle `a 128 h−1Mpc, qui a ´et´e confirm´ee par de nombreux auteurs). Ces exemples sont `a rapprocher des solutions `a n tr`es ´elev´e (Fig. 4.5) o`u les sous-structures form´ees se disposent de mani`ere r´eguli`ere dans l’espace des positions et dans l’espace des vitesses.

Application aux syst`emes

gravitationnels

Morphogen`ese des vents

stellaires

Dans le chapitre consacr´e au mouvement dans un champ central sph´erique (Chap. 4), nous avons d´emontr´e que les structures angulaires (form´ees par la r´epartition des particules tests) poss`edent un caract`ere universel. Nous nous proposons d’appliquer ce r´esultat aux processus g´en´eraux d’´ejection ou d’accr´etion de mati`ere dans le potentiel central d’une ´etoile. D`es lors, nous allons ´etudier en d´etail la physique des n´ebuleuses plan´etaires et ainsi ´elaborer des mod`eles th´eoriques de structuration de la mati`ere ´eject´ee qui seront g´en´eralis´es `a la structuration des vents stellaires dans les ´etoiles LBV, les supernovae et dans les ´etoiles en formation. Pour ces deux derniers cas, nous introduirons la g´en´eralisation aux processus de type implosion/explosion ou accr´etion/´ejection comme une cons´equence de la diffusion des fonctions d’onde dans le potentiel central de l’´etoile. Pour chaque type d’´etoile, nous comparerons les mod`eles th´eoriques aux observations disponibles.

5.1

Les vents stellaires

Une ´etoile est un syst`eme gazeux qui n’est pas isol´e. Pour tout type d’´etoile et `a tout stade de son ´evolution, une infime partie de sa masse est perdue sous forme de vents stellaires et d’´energie de rayonnement. Le soleil perd de la masse `a raison de

˙

M⊙ = −9.13 × 10−14 M⊙ par ann´ee1. Cette quantit´e regroupe la masse ´equivalente

de l’´energie rayonn´ee et la masse constitu´ee de particules ´emises de la couronne solaire (≈ −1.37 × 109 _{kg/s). Ces particules forment le vent solaire. Ce vent t´enu se d´eplace}

en moyenne `a 400 km/s, mais il peut atteindre 800 km/s s’il est ´emis vers les pˆoles. Pour d’autres ´etoiles, les vents de mati`ere peuvent ˆetre bien diff´erents en termes de densit´e et de vitesse. Ce sont donc tous ces types de vents, denses ou t´enus, lents ou rapides, qui vont nous int´eresser, car si la structure du vent solaire est complexe et difficile `a ´etudier, d’autres types de vents se structurent de fa¸con spectaculaire sur des temps et des distances bien plus grands et repr´esentent une source de particules tests qui vont ´evoluer dans le potentiel central de l’´etoile. C’est donc de ce point de vue que nous ´etudierons les vents stellaires ´emis par quelques types d’´etoiles sp´ecifiques. Nous allons nous attarder sur :

1. Les n´ebuleuses plan´etaires (NPs)

1_{http ://home.comcast.net/ pdnoerd/SMassLoss.html} 59

60 5.1.1 Les n´ebuleuses plan´etaires