Approche th´eorique

Le point de d´epart du d´eveloppement th´eorique est l’´equation de Schr¨odinger macroscopique (qui n’est rien autre, rappelons le, qu’une nouvelle forme prise par l’´equation de la dynamique sous les conditions de fractalit´e),

D2△ Ψ + iD∂Ψ ∂t −

U

2µΨ = 0. (5.1)

Il faut noter que les ´equations de la Relativit´e d’´echelle sont des ´equations hydro- dynamiques particuli`eres car il s’agit bien de l’´evolution d’un fluide de g´eod´esiques fractales r´egi par une ´equation du type Euler-Newton (Eq. 3.11). L’´energie potentielle U doit prendre en compte la participation de tous les champs influant sur le syst`eme. C’est donc par la compr´ehension des diff´erents potentiels que l’on pourra utiliser ces

70 5.2.1 Approche th´eorique nouveaux outils.

Pour cela, nous allons exploiter les hypoth`eses basiques utilis´ees dans les simulations hydrodynamiques standards. La vitesse de propagation de l’enveloppe est consid´er´ee comme constante, et c’est sur cette base que se d´eveloppent bon nombre de simula- tions (Dwarkadas et al., 1996; Corradi et al., 2000). Cette pr´ecision sur la vitesse est exploit´ee diff´eremment dans l’approche propos´ee ici. Dans le cas standard il s’agit d’une n´ecessit´e pour le r´esultat des simulations num´eriques, mais cette vi- tesse constante est dans notre m´ethode un point de d´epart. En effet, nous pouvons en d´eduire une information essentielle sur le potentiel que subissent globalement les particules de l’enveloppe. La forme d’une n´ebuleuse plan´etaire n’est due qu’`a la mor- phologie de son enveloppe. Si celle-ci se d´eplace `a vitesse constante (globalement), le potentiel associ´e vu par l’ensemble des particules formant l’enveloppe peut ˆetre consid´er´e comme nul ou constant. On peut alors parler d’une enveloppe libre com- pos´ee de particules ne subissant qu’un potentiel constant.

Il faut bien voir d’o`u vient ce caract`ere particulier du potentiel : la force attractive de la gravitation se voit compenser exactement, par les forces de pouss´ees hydrodyna- miques de la collision et des forces de pression exerc´ees par le rayonnement de l’´etoile. Les forces de gravitation et de pression diminuent de la mˆeme mani`ere en 1/r2. En supposant un milieu interstellaire pauvre en mati`ere ou en champs perturbateurs, la compensation totale ou partielle dans les premiers instants de la n´ebuleuse peut se poursuivre raisonnablement. Un potentiel nul ou constant est donc envisageable pour l’´evolution d’une n´ebuleuse. Nous prendrons dans un premier temps un potentiel nul. Il est clair qu’il s’agit d’une premi`ere approximation qui doit ˆetre prise comme telle, le mod`ele devra prendre en compte un d´eveloppement plus important de la vitesse et, comme on le verra par la suite, des perturbations particuli`eres n´ecessaires `a une meilleure compr´ehension des formes constat´ees.

Nous pouvons utiliser la forme stationnaire de l’´equation de Schr¨odinger macro- scopique explicit´ee dans le chapitre 4 (Eq. 4.3) dans laquelle l’´energie potentielle U est nulle, alors,

2µD2△ ψ(r) + Eψ(r) = 0. (5.2) Avec E = p 2 2µ = 2D2k2 µ ,

l’´energie de la particule libre. Si on change E′ _{→ E + cst, on se retrouve avec la} mˆeme ´equation mais pour des particules d’impulsions diff´erentes. La simplification nous pousse `a choisir un potentiel nul, mais il est important de garder en m´emoire que c’est un choix de notre part. Nous avons vu que la solution de l’´equation pouvait se s´eparer selon une partie radiale et une partie angulaire,

ψ(r) = R(r) Ylm(θ, φ). (5.3)

Nous avons d´ej`a ´etudi´e les cons´equences de la fonction d’onde angulaire sur la structu- ration spatiale. Avant d’y revenir en d´etail, nous allons nous pencher sur la r´esolution de la fonction d’onde radiale.

La partie radiale est donc donn´ee par la relation, R′′(r) + 2 rR ′_{(r) +}_k2₋l(l + 1) r2  R(r) = 0. (5.4)

Les solutions pour une particule libre sont obligatoirement des ondes libres planes ou sph´eriques. Sur l’ensemble des solutions propos´ees par Landau & Lifshitz (1967), nous ne garderons que celles qui correspondent `a un flux de particules ´emis de l’origine. En effet, les ondes sph´eriques divergentes s’adaptent aux conditions particuli`eres de l’´ejection de mati`ere au sein des n´ebuleuses plan´etaires.

La forme g´en´erale de ces solutions est, R(r) = (−1)lAr l kl ₁ r d dr l _e±(ikr) r . (5.5)

Ces fonctions peuvent s’exprimer au moyen des fonctions de Hankel de premi`ere esp`ece (dans notre cas divergente),

R(r) = +iA s kπ 2r H (1) l+1₂(kr). (5.6)

Celles-ci se d´eveloppent de mˆeme grˆace `a des fonctions de Bessel de premi`ere et seconde esp`ece,

H(1)

l+₂1(kr) = Jl+12(kr) + iYl+12(kr). (5.7) L’expression asymptotique de cette fonction est,

R(r) ≈ A_r e+i( kr−πl2). (5.8)

Et au voisinage de l’origine,

R(r) ≈ A(2l − 1) !_kl r

−l−1_{. (5.9)}

Ces fonctions doivent ˆetre normalis´ees pour qu’elles correspondent `a l’´emission d’une particule par unit´e de temps. D`es lors le coefficient A prend la forme,

A = √1 v =

r

1 2D k.

La fonction R(r) peut ˆetre index´ee des param`etres k et l. A ce stade, on peut ´evaluer la probabilit´e de pr´esence en prenant le module de la fonction d’onde au carr´e,

|ψklm(r)|2 = |Rkl(r)|2|Ylm(θ, φ)|2. (5.10)

Cette ´equation repr´esente donc la probabilit´e de pr´esence spatiale pour une particule ´emise par unit´e de temps. Notre soucis est de connaˆıtre l’´evolution des probabilit´es de pr´esence spatiale pour des distances et des temps bien sup´erieurs de l’´epoque d’´emission.

Dans un premier temps, le flux de particules ´emises peut ˆetre consid´er´e simplement radial. D`es lors, la progression du flux se fera de mani`ere libre suivant les rayons de l’´etoile. Seule la partie radiale de la fonction d’onde int´egrera la d´ependance tem- porelle. Encore une fois, le processus de structuration se fera selon l’universalit´e des solutions angulaires. De mani`ere simple, on envisage la progression du maximum de la distribution des probabilit´es `a la mani`ere d’un front d’onde sph´erique qui se d´eplacera

72 5.2.1 Approche th´eorique `

a la vitesse constante V0. La fonction d’onde d´ependante du temps s’exprime donc

simplement,

ψ(r) = 1

r2 Rkl(r − V0t) Ylm(θ, φ). (5.11)

Le coefficient 1/r2 prend en compte la dilatation de la coquille ´el´ementaire lors du calcul des probabilit´es. La probabilit´e de pr´esence spatiale pour une particule ´emise au temps (te) dans un volume ´el´ementaire sph´erique s’´ecrit,

P (r, θ, φ, t, te) = [R(r − V0(t − te))]2

1 r2r

2_dr[Y

lm(θ, φ)]2 sin(θ) sin(φ) dθ dφ. (5.12)

Pour plusieurs particules ´emises `a des temps diff´erents, on a une addition des ampli- tudes de probabilit´es et ce jusqu’`a un recouvrement total si l’´emission des particules est continue. On peut donc juger que la densit´e de la structure d’une n´ebuleuse plan´etaire doit correspondre `a la densit´e de probabilit´e de pr´esence spatiale pour un flux plus ou moins continu de mati`ere. La densit´e de la structure doit donc refl´eter l’historique de l’´ejection (ou du principe que l’on associe `a une ´ejection).

Sources des particules tests

Il n’est pas ´evident de comparer une enveloppe de n´ebuleuse bipolaire (par exemple, la n´ebuleuse Hb-5 pr´esent´ee sur la figure 5.2, en bas `a gauche) `a une ´ejection de mati`ere continue. Si on admet le mod`ele ISW, il n’y a pas de flux continu de par- ticules. L’enveloppe est cr´e´ee par la collision des deux vents. Pour les n´ebuleuses sph´eriques il existe une enveloppe due `a un seul choc (en de¸c`a de l’enveloppe, le vent rapide ne rencontre plus une densit´e suffisante pour interagir, il se propage sans r´esistance). Le probl`eme des n´ebuleuses bipolaires peut s’envisager diff´eremment : le choc n’est pas dˆu `a des vents isotropes, donc il n’existe pas un choc mais une s´erie continue d’interactions de type collision de mati`ere du vent lent avec le vent rapide. Le vent rapide interagit en premier au niveau des pˆoles, il d´eforme et d´epasse la zone du vent lent. Les vents soufflant par la suite vont donc rencontrer continuellement de la mati`ere du vent lent (les premiers vents rapides n’ont pas pouss´es tout le nuage lent). Le flux de mati`ere libre peut ˆetre envisag´e de la sorte (ce point de vue affaiblit l’hypoth`ese d’une compression de mati`ere ´elevant la temp´erature, mais nous verrons par la suite des perturbations pouvant amener un effet thermique identique). On peut donc raisonner avec une ´ejection de mati`ere libre qui va se structurer.

L’id´ee de la structuration est la suivante : l’´echelle des n´ebuleuses est `a prendre en compte ; l’interaction des vents se produit d`es que le vent lent est assez dense, donc d`es le d´epart. A partir de l`a, si on exclue de la pens´ee le m´ecanisme et que l’on occulte la r´egion proche de l’´etoile (proche par rapport `a la dimension totale et future de la NP), on voit de la mati`ere s’´echapper `a vitesse constante de l’´etoile. On peut donc raisonner sans aucune gˆene avec un principe d’´ejection simple et une structuration qui suit, c’est donc apr`es que la structuration va pouvoir se d´evelopper. Le cas sph´erique semble intuitif, mais pour le cas bipolaire il faut se d´etacher du faux semblant du cas simplement sph´erique : le cas sph´erique est d´ej`a structur´e mais l’autre doit se d´evelopper. De la partie centrale s’´echappe un flux non forc´ement structur´e (aucune raison de l’envisager d´ej`a structur´e) de particules libres. Ces particules r´epondent `a une fonction d’onde et donc `a des probabilit´es spatio-temporelles qui induisent une

structuration. Les n´ebuleuses plan´etaires se structurent au-del`a de la r´egion centrale. D`es que la structure se place, on envisage une ´evolution de la structure de mani`ere auto-similaire.

Ces quelques principes de base nous permettent d´ej`a de pouvoir discuter les th´eories actuelles. Le cas simple sph´erique ne semble pas poser de r´esistance aux hypoth`eses standards, de la mˆeme mani`ere, les NPs elliptiques peuvent se suffire des hypoth`eses avanc´ees. L’explication des n´ebuleuses plan´etaires bipolaires fait intervenir des hy- poth`eses moins convaincantes, il est bon de les rappeler. La th´eorie de la collision des vents stellaires (ISW) est toujours utilis´ee pour expliquer de telles structures, on doit alors postuler l’existence d’un vent lent extrˆemement dense suivant le plan ´equatorial et donc ayant une faible densit´e suivant les pˆoles de l’´etoile. Le vent rapide va donc s’engouffrer suivant les pˆoles, d´epasser le stade elliptique et percer compl`etement de vent lent. Le gaz qui s’´echappe forme deux lobes. Ce gaz `a l’int´erieur des lobes en expansion est trop chaud pour ´emettre un rayonnement d´etectable. Au fur et `a me- sure que ces deux lobes oppos´es s’´etendent, ils captent par accr´etion de la mati`ere ambiante devant eux et d´ec´el`erent. La mati`ere d´eplac´ee plus froide, plus dense, sera chauff´ee `a des temp´eratures o`u elle ´emet un rayonnement visible. Les bords des lobes deviennent observables. Toutes ces hypoth`eses font des n´ebuleuses plan´etaires bipo- laires des objets singuliers dans la th´eorie classique de l’ISW (Il faut noter que la mati`ere formant la n´ebuleuse visible ne r´esulte pas directement de l’interaction des vents initiaux).

Cette vision du ph´enom`ene bipolaire, ant´erieure aux observations du t´elescope Hubble, d´epeint un cas extrˆeme et rarement attendu. Mais depuis, les clich´es de n´ebuleuses plan´etaires bipolaires se bousculent. Il se pourrait mˆeme qu’il y ait plus de NPs bi- polaires que sph´eriques.

Nous allons donc prˆeter une attention particuli`ere `a la formation des n´ebuleuses plan´etaires bipolaires dans la suite dans notre ´etude. Notre approche est diff´erente du mod`ele standard d´ecrivant la formation des n´ebuleuses bipolaires, elle ne concerne que l’´evolution directe de l’enveloppe des n´ebuleuses (mais ne s’oppose en rien aux principes de causalit´e cr´eant cette enveloppe). Le flux de mati`ere libre va se structu- rer suivant une loi de probabilit´e pr´ecise. Il semble clair que la structuration n’existe pas dans les ´etapes suivant l’´ejection du flux de particules mais cela n’induit pas que le flux ne poss`ede pas d´ej`a une dynamique particuli`ere qui donnera, `a l’´echelle sup´erieure, une forme pr´ecise. Les particules suivent l’ensemble des g´eod´esiques parti- culi`eres impos´ees par la dynamique du syst`eme. C’est la structuration des g´eod´esiques les plus probables qui donnera la forme finale. La structure ´etant en place elle devient auto-similaire (dans une approche sans perturbations), notion ´egalement recherch´ee dans les simulations hydrodynamiques (Dwarkadas et al., 1996).