Synthèse sur la bulle unique

Les régimes de lévitation expliqués en un graphe

Les sections précédentes délimitent la zone de stabilité d’une bulle en lévitation, et permettent d’expliquer les observations de F. Gaitan et al. (1992) rappelées dans la section 3.3.1. Nous raisonnons sur la figure 3.20 adaptée de D. Lohse et S. Hilgenfeldt (1997), dans le cas d’une expérience avec de l’eau ayant une teneur en air de 20 % de la saturation (C∞/C0 = 0.2) :

La courbe A représente la courbe dn/dt = 0 pour C∞/C0 = 0.2 et représente

le seuil de diffusion rectifiée pour une bulle d’air.

La courbe C représente la courbe dn/dt = 0 pour C∞/C0 = 0.002. Sa branche

croissante est stable et représente donc l’équilibre diffusionnel pour une bulle d’Argon.

La courbe B est la courbe pour laquelle la quantitée d’air qui rentre dans la bulle sur un cycle est exactement égale à la quantité d’air dissociée par réaction chimique sur un cycle. D. Lohse et S. Hilgenfeldt (1997) indiquent que cette branche est stable.

Fig. 3.19 – (D’après D. F. Gaitan et Holt,1999). Seuils d’instabilité mesurés dans l’espace des phases (R0, pa). Les points correspondant à des bulles inertielles sont ceux placés au-delà de pa= 1 bar (à gauche du graphique).

Enfin les courbes PI (bleue) et RT (rouge) sont les seuils d’instabilité de surface présentés plus haut, à droite/au dessus desquels la bulle développe des oscillations non sphériques.

Nous considérons plusieurs pressions acoustiques de plus en plus élevées (lignes verticales pointillées numérotées de 1 à 6) pour balayer ce diagramme de gauche à droite :

1 : Imaginons qu’on nuclée une bulle d’air d’un peu plus de 3 µm. Pour une pression acoustique trop faible (point 1), on tombe sous la courbe de diffusion rectifiée A et la bulle se dissout.

2 : Pour une pression acoustique un peu supérieure (point 2), on tombe au-dessus de A et la bulle croît, jusqu’à ce qu’elle heurte le seuil d’instabilité PI, où elle va se fragmenter. Au moins une bulle issue de cette fragmentation tombe au- dessus du seuil A et croît à nouveau1

. Le résultat visuel est une bulle subissant régulièrement des instabilités de surface et des fragmentations, ce qui lui donne un mouvement erratique autour du ventre de l’onde stationnaire.

Notons que l’on ne maîtrise pas la taille des bulles que l’on nuclée, de telle sorte que la frontière entre les deux régimes dissolution/ dansant n’est pas précisément définie.

1_{Bien que non démontré théoriquement, le fait qu’il reste toujours une bulle suffisamment grosse}

3, 4, 5 : Au delà du seuil de stabilité, la courbe B qui est stable passe sous le seuil PI. La bulle initialement dansante peut donc s’y bloquer (point 3) et la suivre à mesure que la pression acoustique augmente (points 4 et 5). Ces bulles sont constituées essentiellement d’air, mais l’air rentrant par diffusion rectifiée sur une période y est dissocié par les réactions chimiques lors du collapse. Le rayon ambiant de la bulle diminue avec pa car elle contient de moins en moins d’air,

mais le collapse reste quand même trop froid pour que la bulle émette de la SL. 6 : Au-delà du seuil noté « Air/Argon » correspondant au point de tangence

verticale de la courbe C, il y a deux équilibres stables : la courbe B et la branche croissante de la courbe C. Cette dernière est en général plus stable (mais voir Sec 3.3.3) et la bulle « saute » de la branche B à la branche C (point 6). Physiquement on passe brusquement d’une bulle contenant encore de l’air à une bulle d’Argon en équilibre diffusionnel avec l’argon dissous dans l’eau. L’augmentation brusque de R0 visible sur le graphe est effectivement

observée dans les expérimentations.

7 : La bulle d’argon suit la branche C, jusqu’à ce que cette dernière croise le seuil d’instabilité RT. L’oscillation non-sphérique alors développée est alors assez violente pour détruire la bulle.

Nous voyons que cette analyse sur un seul graphique permet de retrouver les compor- tements initialement décrits par Gaitan (Sec.3.3.1). Nous verrons plus loin que notre système expérimental nous permet de retrouver une signature acoustique simple de ces différents régimes.

Diagramme des phases de la SBSL

L’utilisation des théories exposées dans cette section ont permis au groupe de Lohse (M. Brenner,2002) de prédire les différentes zones de stabilité de la bulle et de la SBSL dans l’espace des paramètres contrôlables expérimentalement, à savoir la teneur en gaz et la pression acoustique. La figure 3.21 représente le diagramme des phases calculé pour des expériences avec de l’Argon dissous dans le plan [pa,C_C∞0(%)].

La figure de droite est un zoom sur celle de gauche sur lequel les auteurs ont rajoutés des points expérimentaux, correspondants tous à des bulles de lévitation stables. Les points noirs émettent de la SL, les blancs n’en émettent pas.

En vertu de l’hypothèse de dissociation, ces graphiques peuvent être transposés à des expériences avec de l’air, à condition de multiplier les ordonnées par 100. Les deux lignes de points expérimentaux du bas de la figure de droite correspondraient donc respectivement à des teneurs en air dissous de 10 et 20% de la saturation, qui est effectivement la fourchette classiquement utilisée dans les expériences de SBSL avec de l’air.

Instabilités chimiques

Nous avons vu dans la section3.3.3 que la transition d’une bulle stable n’émettant pas de SL à une bulle stable en émettant correspond à une transformation brusque

PI

Sphérique

1

2

3

4

5

Dissolution Dansant

Stable Air

Pas de SL

Stable Ar

SL

Pas de

bulle

Seuil

Air/Argon

Seuil

Seuil

Instabilité

Stabilité

6

RT

Fig. 3.20 – (Adapté de S. Hilgenfeldt, D. Lohse et M. P. Brenner,1996; D. Lohseet S. Hilgenfeldt,1997). La courbe A est le seuil de diffusion rectifiée pour C∞/C0= 0.02. La courbe C est le le seuil de diffusion rectifiée pour C∞/C0 = 0.0002. Sa branche croissante est stable. La courbe B, calculée par D. Lohse et S. Hilgenfeldt (1997) est une branche stable, correspondant à une bulle dissociant chimiquement exactement la quantité d’air qu’elle reçoit du liquide par diffusion rectifiée sur une période. Les courbes « RT » (rouge) et « PI » (bleue) sont les seuils d’instabilité de surface décrits plus hauts. Au dessus/à droite de ces seuils, la bulle développe des modes surfaciques. Voir texte pour les autres annotations.

d’une bulle contenant encore de l’air à une bulle d’argon. Nous avions indiqué lors de l’analyse de la figure. 3.20, que les courbes B et C co-existaient dans un certain intervalle de pressions acoustiques et que la bulle « sautait » de la branche B à la branche C.

En fait la co-existence de ces branches induit des comportements complexes au voisinage de la transition, qui ont été étudiés en détail par Thomas, R. A. Roy et Holt (2004). La figure 3.22 issue de ces travaux montre l’évolution du rayon maximum d’une bulle stable dans un liquide avec une teneur en air de 18%, mesuré lors d’une augmentation (symboles pleins) et d’une diminution (symboles creux) de la pression acoustique. Les deux branches de stabilité prédites par la figure 3.20

1

0

2

3

Fig. 3.21 – (D’après M. Brenner,2002) Diagramme des phases de la SBSL pour des expériences réalisées avec de l’Argon dissous. En abscisse, pression acoustique, en ordonnée, concentration en Argon dissous, en pourcentage de la saturation. La figure de droite est un zoom sur celle de gauche. Les points noirs correspondent à des bulles stables émettant de la SL, les cercles blancs à des bulles stables mais n’émettant pas de SL. Pour des expérimentations avec de l’air, en raison du phénomène de dissociation, le graphique reste valable si on multiplie les ordonnées par 100 et qu’on interprète ces dernières comme la concentration en air dissous.

celle de droite à des bulles d’Argon en émettant. On voit clairement que la transitions entre les deux branches s’effectuent pour des pressions acoustiques différentes selon le sens de balayage, il y a donc un hystérésis. Ce dernier indique qu’une fois tout l’air dissocié lors du balayage croissant, cette bulle d’argon est suffisamment robuste pour pouvoir subsister à des pressions acoustiques inférieures à la transition. Pour des concentrations en gaz dissous plus importantes, un phénomène plus curieux apparaît : des oscillations de la valeur de Rmax, lentes par rapport à la période

acoustique (de l’ordre de quelques secondes), sont détectées au voisinage de la transition. La figure 3.23, obtenue avec un taux de gaz dissous de 36%, montre l’amplitude de cette oscillation (symboles carrés). Comme sur la figure 3.22, les diamants indiquent des bulles stables. On peut voir que l’hystérésis a disparu. Les auteurs mentionnent que les oscillations de la taille de la bulle sont accompagnées par des translations synchrones de la bulle dans le résonateur.

Ces oscillations disparaissent pour des taux d’air plus élevés, ainsi que la branche de gauche, tandis que la largeur de la branche de droite, donc de la zone de stabilité des bulles SL, diminue également.

Holzfuss (2008) a retrouvé ces oscillations par des calculs théoriques et a montré qu’elle résulte de la co-existence de deux régimes, correspondant aux deux branches B et C de la figure3.20 : une bulle contenant de l’air et dissociant le surplus reçu par diffusion rectifiée lors du collapse, et une bulle d’argon pur en équilibre diffusionnel avec l’argon dissous. En fait, pour des concentrations en air dissous ces deux régimes sont instables et le système bascule en permanence de l’un à l’autre.

Fig. 3.22 – Rayon maximal d’une bulle stable en fonction de la pression acoustique, pour un taux d’air dissous de 18% et une fréquence de 14620 hertz. Les symboles pleins sont obtenus pour des variations de pression acoustique dans le sens croissant, et les symboles vides pour des variations dans le sens décroissant. d’après Thomas, R. A. Roy et Holt (2004).

mettent en évidence très clairement, et nous avions pris initialement cette oscillation pour une instabilité mécanique de la cellule.

Fig. 3.23 – Idem figure 3.22 pour une concentration en air dissous de 36% de la saturation. Les symboles carrés indiquent en plus les amplitudes crête des oscillations du rayon maximum de la bulle.

4

Mise au point du montage

expérimental

Sommaire

4.1 Principe de la double cellule . . . 65