Chapitre 2 La symétrie axiale
3. La symétrie axiale, savoirs à enseigner : programmes, manuels et travail des élèves
Il s’agit dans cette partie de déterminer, les contraintes et les leviers qui existent pour la conception de scénarios d’enseignement de la symétrie axiale en sixième sur la base des programmes de 2005. Nous nous fondons pour cela sur ce qui a été établi précédemment, sur l’analyse des programmes (cf. annexe 2) et sur des résultats de recherche sur les conceptions des élèves concernant la symétrie axiale. Il s’agit aussi de déterminer des options possibles pour l’introduction de la notion, l’organisation des contenus, les objectifs du chapitre, le lien entre le concept quotidien et le concept scientifique et entre les approches dynamique et statique, le lien avec les autres connaissances du programme de sixième ou même plus anciennes, compte tenu aussi des conceptions erronées de la symétrie axiale déjà répertoriées et rappelées.
Nous terminons cette partie en comparant ces possibilités aux manuels existants puisque, comme nous l’avons précisé plus haut, nous les considérons comme des sources de scénarios potentiels. Cette démarche nous permettra de cerner les choix faits dans les manuels qu’utilisent les enseignants de notre étude, ce qui nous sera utile pour en mesurer l’impact sur les pratiques de ces enseignants, ainsi que pour analyser les tâches auxquelles ceux-ci recourent dans leur scénario et qui sont tirées du manuel de la classe.
A. Robert (in Pariès et al., 2007) a proposé une typologie des notions mathématiques selon leurs caractéristiques pour l’enseignement. Il s’agit d’ « [analyser] la fonction que la notion remplit
dans le paysage mathématique dans lequel elle est introduite » (ibid., p. 11). Une des questions
auxquelles cette idée répond, au moins partiellement, est de déterminer la façon dont la notion peut – doit – être introduite. Elle distingue :
- Les extensions de concepts (avec ou sans “accident”)
- Les notions qui apparaissent comme Réponses A un Problème (notions RAP), - Les notions Formalisatrices, Unificatrices, Généralisatrices (notions FUG).
Or le type de notion dépend non seulement des caractéristiques épistémologiques de la notion en jeu, mais également des programmes, en particulier de la “philosophie” de ceux-ci. En effet, l’étude épistémologique du concept a montré que la symétrie axiale a eu plusieurs statuts selon les contextes et les époques. Par exemple, dans le courant de renouveau de la géométrie sur des bases physiques36, la symétrie axiale apparaît, avec les autres transformations géométriques, comme une manière de modéliser mathématiquement la notion de mouvement ou de déplacement et de revisiter ainsi la problématique de l’égalité des figures. A la fin du dix- neuvième en revanche, la symétrie axiale et les transformations géométriques ont servi d’outil de définition, d’axiomatisation des différentes géométries (cf. Klein). En particulier, la symétrie axiale, en tant que transformation engendrant le groupe des isométries du plan, apparaît comme un élément de base de l’axiomatisation de la géométrie du plan. En outre, préexistait { la symétrie axiale comme concept mathématique (géométrique), la symétrie axiale comme concept quotidien, notamment dans son aspect statique, caractéristique d’une certaine régularité, reliée
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{ l’idée de miroir ou de symétrie bilatérale observable dans la nature ou le quotidien. La symétrie axiale apparaît alors comme modélisation de ce type de régularité.
a.
Les programmes
Les programmes devraient alors nous éclairer quant au point de vue qui doit être adopté sur l’enseignement de la symétrie axiale en sixième : dans quelle problématique ou quelle cohérence elle doit s’inscrire et être introduite ? Mais l’analyse des programmes (cf. annexe 2) ne permet pas de trancher clairement entre plusieurs interprétations possibles. Après avoir présenté les éléments qui nous ont conduite à ces affirmations, nous en tirons les conséquences sur les scénarios possibles et mettons en évidence certaines contradictions.
La recherche de la cohérence “externe” des programmes (cf. annexe 2) nous a en particulier permis d’établir que les programmes de 2005, en tant qu’héritiers des programmes de 1985 sont sous-tendus par une logique d’organisation des contenus de géométrie plane au collège autour des transformations géométriques, elle-même liée { une “philosophie” d’axiomatisation de la géométrie plane fondée sur la symétrie axiale. Dans cette logique, la symétrie axiale apparaît comme une notion FUG (cf. supra), dans le sens où elle doit servir de base pour unifier les connaissances de géométrie plane. A ce titre, d’après A. Robert, il est très difficile de concevoir une “bonne introduction”, c’est-à-dire « qu’il n’existe pas de “bon” problème, permettant de les
introduire avec tout leur sens » (Pariès et al., 2007, p. 18). On peut penser qu’étant donné que la
symétrie axiale apparaît dans ce cas comme le premier élément d’une réorganisation des connaissances autour des transformations géométriques, c’est en tant que telle qu’elle doit être introduite et notamment plutôt par son aspect dynamique, l’aspect statique (l’existence d’axes de symétrie) découlant de l’invariance par la transformation géométrique comme précisé dans les accompagnements des programmes de 1987. Il en résulte ainsi que le travail sur la notion de symétrie axiale ne devrait pas être limité à un chapitre, notamment pas à son aspect objet : elle devrait être introduite précocement dans l’année et des aspects outils devraient être filés tout au long du travail sur la géométrie plane. Dans cette hypothèse, elle serait l’un des outils théoriques de l’organisation mathématique37 proposée en ce qui concerne la géométrie plane en sixième. Les objectifs résident alors dans une organisation mathématique la plus consistante possible, nécessitant un travail inscrit essentiellement dans le paradigme GII.
Cependant, comme nous l’avons précisé dans l’analyse des programmes, cette philosophie, si elle était explicite dans les programmes de 1985, s’est perdue progressivement et n’est plus très apparente dans les programmes de 2005. Cette interprétation est en outre confirmée par l’évolution des programmes depuis 2005, où les transformations géométriques ne jouent plus vraiment le rôle d’organisateur, l’un des indices les plus flagrants étant que seules les symétries axiales et centrales sont encore au programme du collège. Les programmes de seconde de 2009 (BO n° 30 du 23 juillet 2009) renforcent encore cette thèse puisque le paragraphe sur les triangles isométriques et de même forme qui avait pourtant marqué, en 2000, la possibilité d’une organisation des contenus autour des transformations géométriques38, a été de nouveau
37 On parle ici de l’organisation mathématique au sens de Chevallard. 38 Voir le rapport Kahane pour une analyse plus précise.
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supprimé39. De ce fait, le statut de la symétrie axiale dans les programmes de sixième n’est plus aussi évident dans la mesure où les nouveaux programmes ne font pas ressortir de nouvelle cohérence dans laquelle pourrait s’inscrire la symétrie axiale. Toutefois, si l’on se fie aux derniers documents d’accompagnement parus, pour les programmes de 2009, on retrouve ce que la commission Kahane avait évoqué dans son rapport : dans la nouvelle logique, la notion de modélisation serait le principe organisateur. Dans cette logique, quel rôle peut jouer la symétrie axiale ? Comme nous l’avons précisé plus haut, la symétrie axiale est apparue historiquement comme modélisation d’une certaine forme de régularité des figures, et, avec les autres transformations géométriques, comme modélisation de la notion de mouvement. Peut-être cela marque-t-il un retour de l’accent porté sur l’aspect de la géométrie comme modélisation de l’espace physique.
De surcroît, les programmes de 2005 insistent encore plus fortement sur la continuité avec le travail du primaire. Or la symétrie axiale y est abordée, à la fois du point de vue statique (par la recherche d’axes de symétrie de figures) et dynamique (construction de quelques symétriques, sur quadrillage notamment). En particulier, son rôle en tant qu’élément autour duquel se réorganisent les contenus de géométrie plane en sixième apparaît en rupture avec la logique des programmes de primaire de 2002, et les commentaires encourageant une certaine continuité, notamment dans l’association de la symétrie axiale et du pliage :
Dans la continuité du travail entrepris { l’école élémentaire, les activités s’appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures simples, { partir desquelles sont dégagées les propriétés de ’’conservation’’ de la symétrie axiale. (Programmes de sixième, 2002)
La symétrie axiale semble donc devoir apparaître comme modélisation mathématique du mouvement de pliage.
Comme nous l’avons évoqué dans l’analyse des programmes (cf. annexe 2), la symétrie axiale en sixième est donc au point de rencontre de deux logiques éventuellement contradictoires : une logique de prolongement du travail fait au primaire { partir du pliage, qui s’appuie sur un travail expérimental principalement inscrit dans le paradigme GI et dans lequel la symétrie axiale apparaît comme modélisation du pliage, et en même temps une logique d’axiomatisation des contenus de géométrie plane, principalement inscrite dans le paradigme GII où la symétrie axiale est une notion FUG, cette dernière n’étant plus très apparente dans les programmes de 2005, mais pourtant à la base des programmes de 1985, dont ceux de 2005 sont issus. Une difficulté emblématique de l’existence de ces logiques contradictoires est l’articulation entre concept quotidien et scientifique de l’aspect statique. En effet, le concept quotidien de l’aspect statique de la symétrie est l’idée de droite “au milieu” de la figure, alors que le concept scientifique de l’aspect statique est le corollaire de l’invariance par la transformation : chacune renvoie à des organisations mathématiques correspondant à des niveaux de théories très différents.
Les scénarios qui peuvent être proposés sont alors sur un “gradient” dont les pôles opposés sont :
39 Dans le premier projet de programmes de seconde, paru en mai 2009, la géométrie plane avait été
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- la symétrie axiale est introduite très tôt dans l’année : l’introduction se fait par la notion de transformation géométrique, éventuellement en se fondant sur le concept quotidien de mouvement – donc le pliage –, l’aspect statique n’est que le cas particulier où la figure est sa propre symétrique, le travail est centré sur le concept, les définitions et propriétés. La transformation est éventuellement introduite au niveau 1 défini par Grenier et Laborde (par son action globale sur les figures) mais en vue de préparer le passage au niveau 2 (transformation ponctuelle) nécessaire notamment pour la procédure analytique40 de construction de symétriques de figures. Elle sert tout au long de l’année, dans tous les chapitres de géométrie plane comme argument théorique pour justifier les propriétés des figures usuelles. L’organisation mathématique proposée s’inscrit principalement dans le paradigme GII et s’appuie éventuellement très peu sur le concept quotidien de symétrie (en particulier ce qui est lié { l’aspect statique et à la régularité due { la présence d’axes de symétrie).
- en s’appuyant sur les connaissances anciennes des élèves et les concepts quotidiens, on reprend le pliage comme manifestation concrète de la transformation qui est alors introduite au niveau 1 et l’existence d’axes de symétrie comme régularité, puis on formalise et on unifie le tout en théorisant, en mathématisant : en établissant des définitions et des propriétés fondées sur le pliage. Le travail est centré sur le lien entre approche dynamique et statique, sur le passage des constructions par pliage et calque ou quadrillage à des constructions avec les instruments de géométrie. Le travail commence dans le paradigme GI et a pour objectif de préparer un passage à GII.
Nous avons déterminé ces deux ébauches de scénarios extrêmes en fonction des interprétations possibles de la logique globale – “externe” – des programmes. Toutefois, rappelons que ce que nous avons défini comme le premier pôle du gradient est un vestige des programmes précédents (en particulier ceux de 1985) et une lecture directe des programmes de 2005 fait tendre plutôt vers l’autre pôle. Indépendamment de cette logique globale, on ne peut ignorer les prescriptions du programme de sixième en ce qui concerne la notion elle-même. Or comme nous l’avons précisé dans l’analyse des programmes (cf. annexe), celui-ci insiste sur le fait que la symétrie doit être présentée par son action sur les figures (au niveau 1 défini par Grenier et Laborde) et non pas comme une transformation du plan (niveau 2). Enfin, le lien à établir entre les aspects statique et dynamique n’est plus indiqué, contrairement aux programmes de 1996 qui précisaient encore : « la présence d’un axe de symétrie, c’est-à-dire d’une symétrie axiale la
conservant », et laisse ainsi la possibilité de limiter le travail sur l’aspect statique au concept
quotidien (l’idée d’une droite coupant la figure en son “milieu”). De même, le lien { faire entre concept quotidien et concept scientifique n’est pas précisé, mais l’introduction des programmes encourage à faire le lien avec des objets du quotidien.
Ce programme, s’il préconise davantage de continuité avec les contenus du cycle 3 et un travail { partir des concepts quotidiens, nous semble porteur de contradictions. En effet, il indique d’une part, que la symétrie doit être introduite par une phase expérimentale, utilisant le pliage et le papier calque, dans le prolongement du travail entrepris { l’école primaire (ce qui place
40 On entend par procédure analytique (expression reprise de Tahri, 1993), la procédure qui consiste à
construire, pour une ligne polygonale, le symétrique de chacun des sommets puis à relier les points (cf. chapitre 3).
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clairement la problématique dans le paradigme GI) ; mais il précise d’autre part qu’un travail doit être mené sur les propriétés de la symétrie et la procédure analytique de construction de symétriques sur papier blanc41, ce qui relève clairement du paradigme GII. L’articulation { faire entre les deux reste floue : les propriétés doivent être « dégagées », sans savoir si cela signifie qu’elles doivent être simplement mises en évidence – constatées – ou justifiées (par exemple par le pliage). D’autre part, il n’est pas précisé s’il est attendu que les notions de figures (et/ou de points) symétriques soient définies ; la même remarque vaut pour la notion d’axe de symétrie, qui est considérée comme connue42, mais qui n’est probablement évoquée au cycle 3 que du point de vue perceptif ou associée au pliage (c’est-à-dire au palier 1 ou 2 des 4 paliers que nous avons évoqués plus haut). Le niveau de formalisation, ou de théorisation visé semble très limité : l’action de la symétrie n’est considérée que sur les figures, donc de façon globale (au niveau 1 (Grenier et Laborde, 1988)), or cela rend difficile l’articulation avec l’aspect statique, en particulier si celui-ci se limite au concept quotidien. Surtout, l’utilisation des propriétés de conservation { des fins de travail sur le raisonnement déductif (en particulier dans l’optique d’un travail dans GII) semble difficile, de même que le lien avec les notions de médiatrices, bissectrices et le reste de la géométrie plane.
De plus, un travail limité au niveau 1, comme semble le préconiser le programme, favorise certaines conceptions erronées(cf. infra) qui ne sont pas sans inconvénients : par exemple, le fait de considérer la symétrie comme un lien entre deux figures ou entre deux parties d’une figure renforce la conception de transformation d’un demi-plan dans un autre, ce qui rend par exemple difficile à concevoir le segment joignant un point et son symétrique, et encore plus sa médiatrice ; de même, l’invariance est incompatible avec l’idée de transformation d’un demi- plan dans un autre, réduisant ainsi nécessairement le travail sur l’approche statique { son aspect quotidien.
Bref, il existe plusieurs scénarios possibles entre lesquels les programmes ne permettent pas de trancher, qui se placent éventuellement dans des paradigmes différents, font des liens différents entre les approches statique et dynamique et introduisent la transformation à des niveaux (au sens de Grenier et Laborde, 1987) différents.
Néanmoins, un scénario conforme aux programmes doit nécessairement comporter à la fois un travail sur la transformation géométrique (notamment son action sur les figures, y compris le point) et sur les axes de symétrie de figures. Les tâches de construction constituent une part importante du travail et doivent viser plusieurs objectifs :
- constructions de symétriques sur quadrillages (en utilisant les carreaux), - construction du symétrique d’un point { la règle et au compas,
- construction des symétriques de figures usuelles (segment, droites, cercles), méthode analytique,
41 Nous entendons par là la construction de symétriques de figures sur papier blanc par construction du
symétrique de chacun des sommets { l’équerre et au compas puis utilisation des propriétés de conservation. Voir le chapitre de méthodologie.
42 Dans le document d’accompagnement des programmes de géométrie du collège de 2005, la notion d’axe
de symétrie est citée comme propriété connue (document d’accompagnement des programmes de géométrie du collège, 2005, p. 1).
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- construction de symétriques de figures complexes sur papier uni,
- constructions de symétriques avec axe coupant la figure, compléter une figure par symétrie
- constructions de figures (du point à des figures complexes) dans des configurations complexes impliquant éventuellement des conceptions erronées.
Un certain nombre de techniques doivent être maîtrisées : le comptage de carreaux sur quadrillage, la méthode de construction { la règle et au compas pour le symétrique d’un point, ou encore la méthode analytique pour les symétriques de figures.
D’autres objectifs sont plus conceptuels : la maîtrise de la définition du symétrique d’un point (notamment les propriétés de perpendicularité et d’équidistance { l’axe), ou encore les propriétés de conservation qui sont nécessaires pour la validation de la méthode analytique ou par exemple de la construction du symétrique d’un cercle.
D’autre part, les objectifs en termes de construction relèvent à la fois des paradigmes GI et GII, dans la mesure où il s’agit non seulement d’acquérir une habileté et une précision technique dans la manipulation des outils, mais aussi d’utiliser les définitions et propriétés pour établir et/ou justifier des méthodes de constructions.
Au vu des chapeaux des programmes, on peut enfin considérer que le chapitre doit être l’occasion d’une initiation { la géométrie déductive (on retrouve l{ encore un travail sur les paradigmes géométriques).
b.
Du côté des élèves
Connaissances anciennes et « changement de contrat »
Nous précisons dans cette partie des éléments liés aux connaissances anciennes des élèves en lien avec la géométrie en général et la symétrie axiale en particulier. Nous présentons ainsi certains outils qui nous permettent d’appréhender – côté élève – les enjeux d’enseignement liés à cette notion en sixième.
Les programmes de l’école primaire en vigueur en 2006-2007 et en 2007-200843 précisent que :
L’une des finalités du travail relatif à la géométrie à l’école élémentaire est d’amener les élèves à passer d’une reconnaissance perceptive des objets mathématiques du plan et de l’espace à une connaissance de ces objets appuyée sur certaines propriétés, vérifiées à l’aide d’instruments.
En ce qui concerne la symétrie, les programmes font état, outre la « mise en place d’images
mentales » et la maîtrise du vocabulaire en ce qui concerne des figures symétriques par rapport
à un axe et la notion d’axe de symétrie, que certaines compétences doivent être maîtrisées en fin de cycle 344. Ces compétences relèvent d’une géométrie perceptive et/ou instrumentée : perception d’axe de symétrie, vérification par pliage, construction du symétrique d’une figure sur quadrillage, utilisation d’un calque, …
43 Une réforme des programmes de l’école primaire a eu lieu en 2007, applicable à la rentrée 2007, mais
sans induire de changement sensible en ce qui concerne la notion qui nous intéresse.
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Les programmes de 2002 précisent notamment que « la construction du symétrique d’un point et
l’étude systématique de la symétrie relèvent du collège ».
La symétrie axiale n’est donc pas une notion nouvelle en sixième, comme nous l’avions déj{ mentionné, ce qui implique qu’un scénario d’enseignement en sixième doit tenir compte des connaissances anciennes des élèves ainsi que les conceptions erronées (cf. infra) qui y sont éventuellement associées. En l’occurrence, l’objectif en sixième sera non seulement d’aborder de nouveaux objets comme le symétrique d’un point ou la construction du symétrique d’une figure