I Le concept de symétrie : outil de perception de l’espace, objet culturel et concept mathématique
Il nous a semblé nécessaire, pour comprendre le concept de symétrie axiale, de nous intéresser à la symétrie en général. C’est pourquoi cette partie est consacrée au concept de symétrie en général puis nous précisons la partie concernant la symétrie axiale en particulier.
1. La polysémie du mot symétrie :
Partant de la question large et naïve du sens de ce mot, nous avons commencé par une source non scientifique, mais qui s’est révélée néanmoins riche d’enseignement ; si l’on se fie au Petit Robert (édition 2003), on trouve plusieurs significations pour le mot symétrie :
I. Le sens vieux53 : juste proportion, accord des parties d’un bâtiment entre elles et avec l’ensemble, qui
concourt à la beauté de l’architecture. Voir Harmonie, Régularité. *…+54 2. sens littéraire : régularité et
harmonie, dans les parties d’un objet ou dans la disposition d’objets semblables.
XVIIIème siècle sens moderne : 1. Correspondance exacte en forme, taille et position de parties opposées ; distribution régulière de parties, d’objets semblables de part et d’autre d’un axe, autour d’un centre. *…+ Nuance : similitude des deux moitiés (d’une chose) et par extension similitude (entre deux ou plusieurs phénomènes, situations) voir concordance, correspondance.
II. en géométrie : transformation géométrique (voir involution) qui ne change ni la forme ni les dimensions d’une figure. *…+ Nuance : symétrie d’une figure : caractère d’une figure géométrique telle qu’il y ait symétrie entre ses parties, par rapport à un point, une droite ou un plan. Nuance : symétrie vectorielle, symétrie orthogonale. 3. en science naturelle *…+ en cristallographie *…+. (Petit Robert, 2003)
Ces définitions nous montrent tout d’abord que le mot symétrie admet des significations distinctes, à la fois hors des mathématiques et dans les mathématiques. (notons que Le Petit Robert réduit à tort l’emploi du concept mathématique à la géométrie).
Or l’élève n’arrive pas “vierge” dans la classe. Il amène avec lui des conceptions issues de son expérience quotidienne ainsi que ses expériences scolaires passées – en particulier en sixième, le niveau qui nous intéresse dans ce travail. Il convient donc d’appréhender le concept de symétrie dans son ensemble, et c’est pourquoi nous ne nous limitons pas dans cette étude au concept mathématique. Nous espérons d’autre part démontrer au lecteur par la suite la pertinence de ce choix, notamment parce qu’une part des faits didactiques (des programmes aux difficultés des élèves en passant par les pratiques des enseignants) peut s’expliquer par les origines du concept. L’extrait du Petit Robert nous apprend également que les significations du mot ont évolué au cours de l’histoire. Les significations actuelles ne peuvent être comprises pleinement qu’en étant mises en perspective avec les significations historiques.
D’un point de vue général : aperçu historique de l’évolution du mot
53 La légende du Petit Robert pour cette terminologie est : « vieux (mot, sens ou emploi de l’ancienne langue,
incompréhensible ou peu compréhensible de nos jours et jamais employé, sauf par effet de style : archaïsme). »
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Si l’on cherche { retracer l’histoire de ces différentes significations, on trouve une origine commune par l’étymologie du mot symétrie : du latin symmetria lui-même issu du grec
summetria constitué de "sun/sum" : avec, ensemble et "metron": mesure.
A l’époque des grecs, d’après Dezarnaud-Dandine et Sevin (2007), le mot, employé par Platon, avait un sens très fort :
La symétrie que définit Platon n’est pas limitée aux propriétés mathématiques des figures, des corps, elle est la trace, l’empreinte que le Démiurge a laissée lors de la création du monde. (Dezarnaud-Dandine et Sevin, 2007, p. 8)
Cette idée serait issue des travaux de Pythagore considérant que le monde est régi par le nombre, c’est-à-dire par les mesures, les proportions. Les mathématiques sont donc pour Platon l’intermédiaire qui permet d’approcher les formes éternelles qu’il appelle “l’Idée”.
L’origine du mot est donc liée aux mathématiques, mais il s’agit d’un concept philosophique, métaphysique, dont la signification dépasse de très loin la signification actuelle, et même le premier sens vieux donné par le Petit Robert.
D’après Dezarnaud-Dandine et Sevin (ibid.), le sens donné au mot s’est ensuite progressivement affaibli, d’Aristote au Moyen Age, passant d’un sens très large recoupant une idée de régularité liée { la beauté et la perfection { un sens beaucoup plus restreint de proportion, par l’influence du christianisme, de l’architecture (en particulier la construction des cathédrales) et de l’art en général.
On conçoit dès lors aisément que la double égalité « symétrie = belles proportions = plan divin », devienne en se banalisant « symétrie = égalité des parties droite et gauche » et finisse par se rapporter d’une manière affadie { la répétition des motifs. Nous mettons ainsi en évidence l’un des mécanismes par lequel le terme symétrie perd peu à peu son sens métaphysique platonicien pour ne plus se rapporter qu’aux propriétés des figures spatiales. La primauté donnée { l’architecture dans les arts sacrés au Moyen Age, prépare et institue la séparation que nous avons mainte fois notée : la symétrie dans son sens originel, va rester l’objet d’études, de spéculation pour de très rares érudits dont la liberté d’action et d’expression reste très limitée, tandis que la symétrie dans son sens visuel, palpable, va devenir une évidence quotidienne pour tous. » (ibid., p. 85)
Lorsque Charles Perrault traduit en 1673 le traité d’architecture de Vitruve qui date du siècle précédent et dans lequel il est beaucoup question de la symétrie (au sens large des grecs), synonyme de beauté voire de perfection, il note que le sens du mot a changé :
Il signifie le rapport que les parties droites ont avec les parties gauches, et celui que les hautes ont avec les basses, et celles de devant avec celles de derrière (ibid., p. 204).
Pascal (1623 – 1662) l’emploie également { propos d’architecture dans le sens de « duplication
par pliage de la partie gauche sur la partie droite » (ibid., p. 182), « fondée aussi sur la figure de l’homme, d’où il arrive qu’on ne veut la symétrie qu’en largeur, non en hauteur ni en profondeur »
(ibid., p. 183).
Dezarnaud-Dandine et Sevin (ibid.) mentionnent également deux significations à cette époque en affirmant que ce qui les réunit est le concept d’un équilibre entre des choses tenues dans une main et dans l’autre : { la fois la notion de figures superposables, avec l’idée du miroir, et celle de deux arguments opposés dans une balance. Cette analyse renvoie également au
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concept de chiralité, développé par Kant, et devenu un concept central en science expérimentale, notamment en biologie et en chimie.
La symétrie bilatérale55 est { cette époque très présente dans l’architecture, la peinture et les arts en général.
Enfin, Dezarnaud-Dandine et Sevin précisent qu’{ la fin du XVIIème siècle :
« le terme symétrie est parvenu au terme d’une longue évolution jusqu’au sens que nous lui donnons aujourd’hui de correspondance entre les parties d’une figure par rapport { un plan, un axe, un centre ou plusieurs de ces éléments réunis » (ibid., p. 209)
Notons qu’il s’agit l{ de la signification commune, et non pas spécifiquement mathématique. D’autre part, au XVIIIème siècle, on trouve dans l’encyclopédie de Diderot et d’Alembert les mots
symmetria et symmetrie. Le premier fait référence au sens que le mot avait chez les grecs ; le
deuxième est défini comme un terme d’architecture.
SYMMETRIE (Architect.) est le rapport, la proportion et la régularité des parties nécessaires pour composer un beau tout. (Encyclopédie de Diderot et d’Alembert)
Nous retrouvons le sens vieux et le premier sens moderne mentionnés par le Petit Robert. A partir du concept philosophique fort, on voit se forger au fil des siècles une signification qui évoque une certaine régularité, plus ou moins précise, impliquant des proportions et une certaine idée de la beauté.
Notons que ce concept ne fait aucune référence à la notion de mouvement (excepté dans la citation de Pascal où il est associé au pliage). Il s’agit d’une propriété intrinsèque des figures, des objets ou des représentations, qui n’est pas encore définie comme invariance dans une transformation. Nous parlerons d’aspect statique de la symétrie.
La symétrie comme outil de perception du monde
Mais on peut également se poser la question de l’existence du concept de symétrie, cette
« évidence quotidienne pour tous » d’après Dezarnaud-Dandine et Sevin (ibid.), indépendamment
de celle du mot.
Nous n’entrerons pas dans le débat de savoir si la symétrie est un concept en quelque sorte préexistant au monde et qui sous-tend son organisation ou s’il est simplement une conception humaine permettant d’appréhender, de caractériser certaines propriétés du monde qui nous entoure. Néanmoins, il nous semble que plusieurs arguments concourent { forger l’idée que la symétrie est un outil de perception de l’espace et du monde qui nous entoure avant même d’être un concept, mathématique ou non. Nous entendons le mot « avant » dans deux sens : d’un point de vue historique, et dans le développement de l’être humain.
55 Cette expression est employée par Dezarnaud-Dandine et Sevin (ibid.), et se définit par : propriété d’une
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Un premier argument est l’omniprésence de la symétrie (dans un sens large, mais en particulier la symétrie bilatérale) dans le monde qui nous entoure, de la nature – en particulier chez l’homme – aux objets qui sont le fruit de l’activité humaine, du moins pour les sociétés occidentales56.
Un second argument est que le caractère régulier (symétrique dans un sens large) aurait été utilisé par l’être humain depuis bien avant l’apparition du langage.
En effet, O. Keller, dans un texte qu’il présente comme un résumé et une actualisation de sa thèse (Keller, 1998) observe les premières traces d’une prise de conscience de la symétrie au paléolithique { partir de l’observation de bifaces obtenus par « création simultanée, par
approximations successives, d'un volume à deux plans de symétries et d'une ligne (contour) qui tend à devenir fermée et plane. ». D’après lui, on a alors des « réflexes mentaux ou [des] évidences acquises » : « L'action symétrique sur le volume crée le plan et la ligne plane: indissociabilité des trois dimensions. Comparaison mentale de grandeurs pour réaliser la symétrie. »
Il fait même de la symétrie un moteur du développement de la pensée géométrique. Il y voit des
« embryons de géométrie { l’œuvre », jusqu’{ dire que : « le géomètre définit la symétrie par rapport à un plan, alors que l'artisan erectus crée le plan par symétrie. » Pour lui, il y a
probablement, dans « l’action symétrique », outre la volonté de créer un objet tranchant, un souci d’esthétique.
Mais il nie aussi le fait que ce soit un concept lorsqu’il décrit l’apparition de
modes d'organisation graphique [qui] se créent, que nous traduisons par translation, symétrie et rotation. Mais nous devons maintenir la distance, ici comme précédemment à propos de la géométrie du travail lithique. En effet, si l'action symbolique mythique-rituelle, dont le graphisme est une composante dominante, est un système totalitaire, dans la mesure où son objectif profond est le maintien ou la recréation de l'ordre du monde, elle ne s'incarne pas pour autant en un système géométrique ; on ne peut déceler chez les chasseurs-cueilleurs de cohérence interne des objets du graphisme, cohérence que l'on voit poindre dans les premiers écrits mathématiques mentionnés en introduction57, et qui est voulue systématiquement dans les Eléments d'Euclide ; la liaison est externe, globale, mythique-rituelle même si nous ne pouvons plus en restituer toutes les arcanes. […] autrement dit, il n'y a pas encore de concept proprement géométrique. (ibid.)
Keller (ibid.) mentionne également les translations, rotations et symétries axiales comme moyens utilisés pour obtenir des figures :
L'idée à approfondir, à notre avis, est celle-ci : il faut chercher l'origine des figures abstraites apparaissant dans les signes graphiques du Paléolithique supérieur non pas dans une copie de telle ou telle réalité, ni non plus dans des copies schématisées à l'extrême, mais dans le mouvement. Les figures sont des traces de symétries, au sens mathématique du terme : le rectangle a deux axes de symétrie, et chacun de ces axes le partage en deux parties qui se déduisent l'une de l'autre par une translation. (ibid.)
Et plus loin :
56 Nous nous limiterons { notre propre culture occidentale, puisqu’il semblerait que la symétrie ne soit pas
aussi présente dans d’autres cultures. Denys et Grenier notent par exemple dans l’article de Petit x N°12 que la symétrie est moins fréquente dans l’architecture japonaise que dans la française.
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L'essence de la figure est la passion pour le rythme, pour le motif répété dans le même sens (translation) ou dans le sens contraire (symétrie orthogonale) (ibid.)
On constate donc là que les dessins portent des traces de symétries (sont invariantes par certaines transformations), mais peut-on parler de concept de transformation à ce stade ? Keller note enfin que
Les aborigènes australiens s'enduisent rituellement de peintures en des motifs qui soulignent en règle générale les symétries naturelles du corps humain. (ibid.)
Un dernier argument est que des recherches en psychologie ont montré que la symétrie est un facteur important de perception, en particulier la symétrie bilatérale avec axe vertical. Nous renvoyons au premier chapitre de la thèse de Caroline Bulf pour plus de détails.
Nous citons simplement un article où les auteurs tentent d’expliquer ce fait :
We are, therefore, left with an intriguing problem. The impression of symmetry in visual perception seems to depend on seeing the objectively similar halves as « sides », i.e. left and right sides with the respect to a vertical axis. […] A clue to an understanding of our finding may be that in our environment the bottom and the top of objects are often functionally different, the former being the portion on which the object rests on the ground. On the other hand, the sides of objects are not functionally differentiated in this manner although, to be sure, they may be different from one another. In fact the sides of an object are reversed when it is rotated 180° about its vertical axis or when we come upon it in the opposite direction, thus pointing up the subjectivity of “left” and “right”. There is nothing intrinsically “left” or “right” in external objects the way there is a bottom and top. (Rock & Leaman, 1963, p. 182 cité par Bulf, 2008, p. 18)
Nous nous contenterons, pour étayer l’importance de la symétrie dans notre perception, de citer un article qui ne relève pas de théories psychologiques de la perception, mais qui a le mérite d’être situé dans notre domaine d’étude : le milieu scolaire. Il s’agit d’un article de Gorlier (1987) de la revue Grand N : Mathématiques en maternelle de 1987, qui relate un travail qui a été proposé à des enfants de maternelle à partir de carreaux de carrelage décorés : il apparaît qu’{ partir de la grande section, la présence ou non d’axe(s) de symétrie devient spontanément un critère de classement des carreaux et que les enfants sont capables ensuite de produire des dessins symétriques voire comportant plusieurs axes de symétrie sans toutefois pouvoir verbaliser.
Il semble donc que la symétrie axiale soit un élément essentiel de notre perception très précocement dans notre développement.
Les propriétés de symétrie, en particulier la symétrie bilatérale avec axe vertical, seraient donc des outils de perception du monde qui nous entoure.
Dans les sciences et les mathématiques
a. Les débuts de la symétrie dans les mathématiques
Nous avons vu que si, chez Platon, la symétrie était un concept philosophico-mathématique, il s’est progressivement détaché des mathématiques, via notamment la philosophie, les arts et en particulier l’architecture.
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Nous nous intéressons maintenant { l’histoire du mot et du concept dans les mathématiques. Selon Dezarnaud-Dandine et Sevin (ibid.), la paternité de l’utilisation du mot symétrie en mathématiques (si l’on exclut le lien avec la géométrie fait par Platon) n’est pas complètement établie. Elle date en tout cas du XVIIIème siècle et est attribuée tantôt à Legendre dans ses travaux de géométrie, tantôt à Vandermonde dans ses travaux sur les fonctions symétriques et tantôt à Lagrange { propos d’algèbre et de permutation d’indices.
Nous pouvons d’ores et déj{ noter que dès l’origine, l’utilisation du mot n’est pas réservée à la géométrie.
D’autre part il n’est pas associé alors { la notion de transformation géométrique qui est { l’époque restreinte aux transformations « qui transforment »58, excluant donc les similitudes. Il s’agit plutôt d’une acception mathématique statique du sens commun du mot dont on a vu la genèse dans le paragraphe précédent.
Quant au concept géométrique de symétrie axiale, indépendamment du mot, certains auteurs situent son utilisation très tôt, s’accordant { dire que la géométrie des éléments d’Euclide reposait sur la notion de symétrie. En effet, les premières propositions s’attachent { démontrer des propriétés liées à la propriété de symétrie des triangles isocèles et équilatéraux et certains considèrent que la bissectrice est implicitement présentée comme axe de symétrie d’un angle. Mais ne s’agit-il pas là de plaquer un concept actuel a posteriori sur une activité qui était conçue autrement ?
De la même manière, Serge Mehl sur son site (http://www.chronomath.com/) écrit :
Thalès est sans doute le premier mathématicien à établir des théorèmes (du grec theorema = ce que l'on observe, ce qui est avéré) en se fondant sur le principe intuitif de symétrie : un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables. C'est la première symétrie axiale constatée de l'histoire des mathématiques.
La symétrie est ici reliée à la superposition des figures, dont on sait le rôle essentiel qu’elle joue dans les travaux d’Euclide. Chez Euclide comme chez Thalès, elle découle d’un « principe intuitif ». En effet, Euclide utilise la notion de figures superposables pour définir des figures égales, mais sans définir ce qu’il entend par superposables (en particulier, il n’est pas explicite que le retournement soit autorisé, même si l’on constate dans la suite qu’il l’est). Bkouche (ibid.) prétend que le principe repose sur le mouvement, et qu’il sert justement { s’en débarrasser. En effet, une fois démontré le premier cas d’égalité des triangles { l’aide du principe de superposition, Euclide démontre les autres sans plus y avoir recours. Mais l’idée que le mouvement soit sous-jacent au principe de superposition chez Euclide n’est pas avérée, et fait même l’objet de contestations.
b. La symétrie comme transformation géométrique
Il est difficile de suivre l’évolution du concept de symétrie axiale au cours des siècles, en particulier de comprendre à partir de quand et comment la symétrie axiale est considérée comme une transformation géométrique.
D’après Bourbaki (Bourbaki, 1984), 58 Expression de Bkouche.
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Les déplacements (ou mouvements, la distinction entre les deux notions n’étant pas claire dans l’antiquité – ni même beaucoup plus tard) sont connus d’Euclide ; mais, pour des raisons que nous ignorons, il semble éprouver une certaine répugnance à en faire usage (par exemple, dans les « cas d’égalité des triangles », où on a l’impression qu’il n’emploie la notion de déplacement que faute d’avoir su formuler un axiome approprié [153e]59, tome I. Toutefois, c’est { la notion de déplacement (rotation
autour d’un axe) qu’il a recours pour la définition des cônes de révolution et des sphères (Eléments livre XI définitions 14 { 18) ainsi qu’Archimède pour celle des quadriques de révolution. Mais l’idée générale de transformation, appliquée { tout l’espace est { peu près étrangère { la pensée mathématique avant