Chapitre 4 Deux enseignants, deux pratiques : des effets sur les activités des élèves
1. Les scénarios des deux enseignants : quels potentiels d’activités et d’apprentissages ?
Cette partie a trait { l’analyse des scénarios conçus par Martine et Denis pour leurs classes durant l’année 2006-2007. Nous ne sommes pas intervenue dans le processus de création des scénarios, mais le fait de savoir qu’il sera étudié par un chercheur peut influencer l’enseignant. Toutefois, les entretiens menés avec les enseignants nous permettent d’affirmer que, Martine reprenant tous les ans son cours sous réserve de légères modifications, notre présence ne l’a guère influencée. En effet, lorsque nous l’avons rencontrée, son scénario pour le chapitre était déjà prêt. Quant à Denis, il se peut que notre présence ait légèrement modifié son approche. Certes, il dit aussi reprendre approximativement le travail de l’année précédente, mais nous a annoncé lors de l’entretien qu’il avait décidé d’y ajouter cette année-là une activité d’introduction proposée par un collègue et produite par un IREM.
Nous avons suivi, pour l’analyse des scénarios, la méthodologie exposée dans le chapitre précédent – { savoir l’analyse de chaque tâche proposée dans le scénario puis l’analyse globale de celui-ci – mais il ne nous a semblé ni utile, ni possible de rendre compte du détail des analyses117. C’est pourquoi nous avons pris le parti de ne présenter que les résultats de ces analyses, { savoir les conclusions de l’analyse globale, en proposant en annexe certains documents liés { l’analyse globale, tels que les schémas des scénarios ou la liste des exercices. L’analyse des tâches et l’analyse globale du scénario nous donnent les moyens de décrire les activités possibles induites par celui-ci. A partir de celles-ci, nous émettons des hypothèses sur les apprentissages qui peuvent en découler. Nous les comparons aussi aux objectifs d’apprentissages liés { la notion de symétrie axiale en sixième, que nous avons mis en évidence dans le chapitre 2, en tenant compte à la fois des spécificités du concept et des programmes (y compris les programmes du cycle 3). Or, ces objectifs comportaient d’une part une certaine conceptualisation de la notion de symétrie axiale sous son double aspect statique et dynamique,
117 En effet, { titre d’exemple, le scénario de Denis comporte plus de 80 tâches et l’analyse d’une tâche
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éventuellement118 l’articulation des deux, ainsi qu’un travail sur les conceptions erronées, d’autre part certaines compétences en matière de constructions géométriques et enfin des objectifs en termes de raisonnement (liés { l’initiation au raisonnement déductif).
a.
Le scénario de Martine
Il nous a été communiqué avant le début du chapitre. Il s’agissait d’un document (cf. annexe 1) écrit sur ordinateur, contenant la leçon prévue, mais également, entre les différents énoncés119 de la leçon, la référence des exercices du manuel qu’elle donnera { faire aux élèves, quelques synthèses écrites à faire, ainsi que les exercices dont elle a conçu elle-même les énoncés. Martine nous avait annoncé qu’il ne s’agissait que d’une trame qu’elle se réservait le droit de modifier, en particulier pour le choix des exercices, mais il s’avère que peu de modifications ont été opérées par rapport au projet initial (cf. infra). Elle nous a aussi expliqué qu’elle reprenait chaque année le document de l’année précédente, en le modifiant éventuellement légèrement, notamment lorsqu’un changement de programme avait eu lieu, ce qui est le cas. Il ne semble toutefois pas que le scénario ait beaucoup varié par rapport { l’année précédente.
Les aspects statique et dynamique de la symétrie axiale
Le cours (cf. annexe 1) qui figure sur le document fourni par Martine comporte cinq parties, mais après analyse à la fois du scénario tel qu’il était écrit par Martine, et des analyses a priori des tâches, en particulier en termes d’approches dynamique et statique de la symétrie, nous distinguons clairement trois parties successives :
En premier lieu, la symétrie axiale est introduite (exercice 1) comme transformation géométrique : dans plusieurs cas (une translation, une rotation de 90°, une symétrie centrale et deux symétries axiales), il s’agit d’identifier le mouvement qui permet de passer d’une figure { une autre. Le but est de caractériser la symétrie axiale, parmi ces transformations, comme celle qui correspond au pliage et/ou au retournement. La notion de « figures symétriques » est ensuite caractérisée à partir du pliage120 et réinvestie dans les exercices 2 et 3 – reconnaissance de figures symétriques et recherche d’erreurs. La définition du symétrique d’un point121 est ensuite établie grâce à un exercice consistant { construire le symétrique d’un point par pliage puis de reconnaître la perpendicularité et l’équidistance du pliage (exercice 4) ; elle est ensuite travaillée dans des exercices de reconnaissance puis de construction de symétriques de points, d’abord sur quadrillage (exercices 5 et 6 ) puis sur papier uni (exercice 7, associé à la reconnaissance de segments symétriques et de la conservation des longueurs) ; puis sont abordées les constructions de symétriques de figures, d’abord des figures de base mais
118 Le lien { faire entre la transformation géométrique et l’existence d’un axe de symétrie dans une figure
n’est pas précisé dans les programmes de 2005, en vigueur au moment de l’étude.
119 Nous appelons ainsi les définitions, propriétés, remarques et autres phrases que l’enseignant fait écrire
dans la leçon.
120 La synthèse prévue de l’exercice d’introduction dans le cours est « Une figure et sa symétrique par
rapport à une droite (d) sont superposables par pliage suivant (d) ».
121 La définition qu’il est prévu d’écrire dans le cours est : « Le point A’ est le symétrique du point A par
rapport { la droite (d) signifie que : la droite (d) est la perpendiculaire { la droite (AA’) et que (d) passe par le milieu du segment [AA’] ou que A et A’ sont confondus sur (d) » (Cf. annexe 1).
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dans différentes configurations (segment, droite et cercles : exercices 8, 9, 10), permettant d’établir la méthode analytique122 qui, associée à la propriété de conservation, est généralisée par un énoncé du cours à des figures plus complexes, mais sans qu’il soit prévu de réinvestissement dans des exercices123. Les exercices 12 à 15 permettent enfin un travail notamment sur des tâches de preuve124 mobilisant la propriété de conservation, associée à des contenus plus anciens (nature d’un quadrilatère et d’un triangle) dans les deux derniers.
Tous ces éléments sont liés à l’approche de la symétrie axiale comme transformation (aspect dynamique).
Cette première partie correspond aux exercices 1 à 15 et 17 à 21 et aux trois premiers paragraphes du cours écrit (cf. Annexe).
La notion d’axe de symétrie est ensuite abordée dans des exercices, sur des figures usuelles (segment, droite, angle puis triangles, quadrilatères et cercle : exercices 16, 18 à 21). Une synthèse est prévue sur la méthode pour trouver les axes de symétrie d’une figure :
Pour déterminer si une figure admet un axe de symétrie - on cherche un axe éventuel
- on vérifie que cet axe convient (par découpage et pliage, avec calque, par les images de points particuliers…)
- on conclut seulement après vérification (cours de Martine)
On trouve ensuite un exercice de classement consistant à trouver des figures ayant un nombre d’axes de symétrie donné (exercice 22).
Tous ces éléments sont liés à l’approche statique de la symétrie axiale.
Cette partie correspond aux exercices 16, 18 { 22, et 29, ainsi qu’au début du quatrième paragraphe du cours.
La médiatrice, qui a été introduite dans la partie précédente comme étant le nom de l’axe de symétrie du segment qui n’est pas son support est ensuite définie comme droite coupant le segment perpendiculairement en son milieu ; la propriété d’équidistance et sa réciproque sont établies et justifiées par les propriétés de la symétrie axiale et en utilisant le fait qu’un triangle isocèle a pour axe de symétrie la médiatrice de sa base. Des exercices permettent enfin le réinvestissement de ces propriétés en lien avec des constructions liées { la symétrie (notamment la construction du symétrique d’un point au compas) et à des contenus anciens (exemple : les exercices 24, 25 et 26) ; ils permettent également de travailler la notion de bissectrice, notion ancienne qui a déjà été revue dans la partie précédente, comme axe de symétrie de l’angle. Le dernier énoncé du cours est la définition du symétrique d’un point avec la médiatrice. Les exercices 27 et 28 sont des exercices de synthèse qui permettent de réinvestir les notions de bissectrice,
122 Rappels : la méthode analytique, appelée ainsi par Grenier (op. cité) est celle qui consiste, pour
construire le symétrique d’une figure, { construire le symétrique de quelques points puis { compléter la figure en s’appuyant sur les propriétés de conservation (cf. chapitre 3).
123 Voir ci-dessous la partie sur les objectifs liés aux constructions
124 Rappelons qu’une tâche de preuve est destinée { obtenir un résultat en utilisant une propriété
mathématique : par exemple, trouver la longueur d’un segment en utilisant la conservation des longueurs par la symétrie axiale.
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losange et construction du symétrique d’un point au compas, tout en les associant { des tâches de calcul portant sur des contenus anciens (angles et périmètres).
Ces éléments permettent de faire le lien entre les approches dynamique et statique de la symétrie.
Cette partie correspond aux exercices 23 { 28 ainsi qu’aux deux derniers sous-paragraphes du cours.
Le scénario de Martine est donc structuré de manière à étudier les deux approches de la symétrie axiale, d’abord séparément, puis en lien l’une avec l’autre, notamment via la notion de médiatrice. Cette organisation est d’autre part explicitée par Martine, notamment lors de la séance 8, durant laquelle elle passe de ce que nous identifions comme la première à la deuxième partie :
Jusque là, vous aviez des axes de symétrie et vous deviez construire des symétriques de figures ; réciproquement, j’ai déjà une figure complète, est-ce que je peux trouver un axe de symétrie, c’est-à-dire est-ce qu’on peut la plier sur elle-même ? (Martine, séance 8)
Quant au lien entre la deuxième et la troisième partie, il découle naturellement du fait que la médiatrice et la bissectrice ont été introduites comme axes de symétrie respectivement du segment et de l’angle et sont donc étudiées comme cas particuliers d’axes de symétrie. Martine précise ainsi, à la séance 10 :
Travailler un peu plus, aller un peu plus loin sur la notion de médiatrice, médiatrice, uniquement médiatrice d’un segment, et ensuite bissectrice d’un angle. (Martine, séance 10)
Le lien avec l’aspect dynamique est fait ensuite dans les exercices, comme nous l’avons précisé ci-dessus, notamment en utilisant la transformation géométrique et les propriétés de conservation comme outils pour démontrer les propriétés de la médiatrice (propriété d’équidistance et réciproque), puis en utilisant ces propriétés pour établir la méthode de construction du symétrique d’un point au compas.
Les objectifs d’apprentissages sur les constructions
En observant la répartition des tâches selon leur nature dans le scénario de Martine, on constate la fréquence élevée des tâches de construction : 41 sur 75 (soit 54,6 %).
Comparons le scénario de Martine avec les objectifs possibles du chapitre en termes de constructions. (cf. chapitre 2, les programmes).
En regardant dans le détail les tâches de construction, on note vingt-deux tâches de constructions de symétriques (dix-neuf dans la première partie et trois dans la troisième) et onze constructions d’axes de symétrie, les autres portant sur des contenus anciens (construction de triangles…).
Parmi les tâches de constructions de symétriques, la répartition selon les variables didactiques nous renseigne sur les objectifs poursuivis par Martine : les propriétés des figures dont il faut construire les symétriques, le type de papier (quadrillé, uni ou mixte), la position de l’axe, … :
On constate notamment que, sur les vingt-deux tâches, trois seulement sont faites sur papier quadrillé. Les deux premières (exercice 5) sont des constructions de symétriques
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de points, d’abord avec un axe vertical (tâche 5a) puis un axe oblique suivant des diagonales de carreaux (tâche 5b). Elles interviennent immédiatement après la définition du symétrique d’un point. L’enjeu technique n’est pas très fort, notamment du fait qu’il ne s’agit que de points, et que les axes sont placés de manière { ne pas rendre la tâche trop difficile. La présence de points sur l’axe, de points de part et d’autre de l’axe ainsi que la tâche suivante (tâche de reconnaissance de symétriques de points sur quadrillage incluant un travail spécifique des conceptions erronées) nous permettent d’affirmer que l’objectif est principalement un travail sur la définition du symétrique d’un point et sur les conceptions erronées plus qu’un travail sur la technique de construction sur quadrillage. La troisième tâche de construction sur quadrillage est l’exercice 21, qui ne présente pas non plus de difficulté technique (en particulier, l’axe est vertical, il s’agit d’une succession de segments courts, joignant des nœuds du quadrillage), mais qui permet à nouveau un travail sur le sens : un travail sur le lien entre approche dynamique et statique puisqu’il s’agit de compléter une figure pour qu’elle admette une droite donnée comme axe de symétrie.
La technique de construction sur papier quadrillé n’est donc manifestement pas un objectif du scénario de Martine.
Le type de figures en jeu est également révélateur : en effet, sur les vingt-deux tâches, dix portent sur des symétriques de points, dix sont des symétriques de figures de base (segments, droites et cercles), et deux seulement portent sur des figures complexes, dont l’exercice 21, sur quadrillage.
L’enjeu principal n’est donc pas la construction de symétriques de figures complexes, même si la procédure analytique est établie pour la construction du symétrique d’un segment, d’une droite et d’un cercle. Notons { ce sujet que, par rapport au projet initial de Martine, l’énoncé du cours qui concernait la construction du symétrique d’une figure complexe n’a pas été écrit par les élèves125.
Les configurations dans lesquelles les symétriques sont à construire nous éclairent sur les objectifs effectivement visés : en effet, qu’il s’agisse des constructions de symétriques de points ou de symétriques de figures usuelles, on observe non seulement une recherche d’exhaustivité dans les types de configurations possibles (par exemple, pour les symétriques de droites, la première est sécante { l’axe formant un angle quelconque, la seconde lui est parallèle et la dernière lui est perpendiculaire), mais aussi que les configurations choisies ont souvent pour but de mettre en défaut des conceptions erronées : par exemple, dans l’exercice 7, la présence de deux points presque sur une même droite verticale { une distance similaire de l’axe peut contribuer { mettre en défaut la conception liée aux axes horizontaux ; de même pour la présence de deux points sur l’axe126. D’autre part, si plusieurs exercices sont consacrés entièrement { la
125 Lorsque Martine s’en rend compte, { la séance 8, elle semble considérer que c’est déj{ acquis par les
élèves et certains lui disent même qu’ils l’ont écrit.
126 En effet, lorsqu’il y a deux points sur l’axe, les élèves répondent souvent que l’un est le symétrique de
l’autre, ceci étant lié au fait qu’il est difficile de concevoir qu’un point est son propre symétrique, mais aussi aux stéréotypes liés aux axes verticaux et horizontaux : quand l’axe est horizontal par exemple, si les
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construction de symétriques (seuls la figure et l’axe sont donnés), on trouve également dans le scénario plusieurs exercices où l’on demande d’abord une construction portant sur des contenus anciens, puis le symétrique d’un des points de la figure : la configuration est alors complexe et induit souvent des réponses liées à des conceptions erronées ; l’exercice 11 en est un exemple typique : [AB] étant horizontal et [AC] étant presque vertical, l’élève est fortement induit { construire le symétrique de B par rapport { (AC) dans l’alignement de (AB), ce qui est une manifestation des conceptions erronées d’alignement et/ou liées aux axes verticaux et horizontaux.
Tout se passe comme si la construction de symétriques de figures complexes n’était pas un objectif en soi, mais qu’en revanche la construction de symétriques – de figures éventuellement simples – dans des configurations complexes, avec la mise en défaut de conceptions fausses en était un.
Enfin, les tâches de constructions apparaissent rarement comme données pour elles- mêmes. En effet, même les premières constructions de symétriques de points sur papier uni (exercice 7), sont un support pour commencer à introduire les symétriques de segments, la méthode analytique et même la conservation des longueurs. De même, hormis celles qui servent { établir la méthode de construction du symétrique d’un segment, d’une droite ou d’un cercle, aucune construction n’est donnée sans être prolongée par une question de preuve. Enfin, même les tâches de constructions de la troisième partie, en particulier celle du symétrique d’un point au compas semblent avoir davantage pour but de faire le lien entre plusieurs notions (losange, bissectrice, symétrie) et entre les approches dynamique et statique de la symétrie que d’enseigner exclusivement une méthode de construction du symétrique d’un point. Les tâches de construction de la troisième partie semblent également être l’occasion d’un travail de raisonnement, dans le paradigme GII. En effet, la justification de la méthode de construction du symétrique d’un point au compas s’appuie sur les propriétés du losange et de la bissectrice d’un angle.
Il se confirme que les méthodes de construction de symétriques, sans être négligées puisqu’elles font l’objet de nombreux exercices et de synthèses dans la leçon, ne semblent donc pas être un objectif en soi, mais plutôt une occasion d’approfondir la conceptualisation de la notion de symétrie axiale, de réinvestir des connaissances variées et d’établir des liens.
D’autre part, en ce qui concerne les axes de symétrie, on note quelques dessins d’axes sur des dessins “figuratifs” (exercice 20), mais les autres tâches sont des constructions d’axes de symétrie sur des figures géométriques (segment, droite, angle, triangles, quadrilatères, cercle : exercices 16, 18 et 19). L’objectif semble être pour cette partie, de dépasser la reconnaissance perceptive sur des dessins, et de “mathématiser” un peu la notion d’axe de symétrie. Cette analyse est renforcée par le fait que la suite d’exercices sur le sujet se conclut par l’écriture d’une
« méthode pour trouver des axes de symétrie » qui, si elle n’est pas très rigoureuse (la vérification
suggérée étant le pliage), évoque néanmoins une phase de conjecture faisant appel à des connaissances (les axes de symétrie des figures géométriques usuelles) et à une vérification.
points sont placés de telle façon qu’ils sont symétriques par rapport { la droite verticale coupant la figure en deux parties égales, cela induit la réponse fausse (cf. exercice 6 par exemple).
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Les objectifs de constructions semblent donc, dans le scénario de Martine, plus conceptuels que techniques. Les méthodes de construction semblent en outre devoir être élaborées et parfois justifiées par les élèves, à partir des définitions et propriétés des objets mathématiques. Le travail sur les constructions semble, à ce titre, prendre plutôt place dans le paradigme GII.
Les objectifs d’apprentissages sur le raisonnement
Nous considérons notamment dans cette partie le travail sur le changement de paradigme (GI/GII) qui doit être entrepris en sixième (cf. les programmes) et sur lequel le chapitre sur la symétrie axiale est une occasion de travailler. Les tâches de preuve forment en général le cœur de ce travail, mais certaines tâches de construction contribuent également au travail de raisonnement : d’une part, comme précisé ci-dessus, les constructions peuvent parfois avoir comme principal objectif l’utilisation et la maîtrise de définitions et propriétés plus que de techniques, d’autre part, certaines tâches nécessitent un travail dans le paradigme GII, par exemple lorsqu’il s’agit de concevoir une méthode de construction (l’exercice 24 où il s’agit de construire le symétrique d’un point en utilisant uniquement le compas en est un bon exemple). De manière générale, le fait que les exercices portant sur les constructions précèdent127 toujours la synthèse dans le cours où la méthode de construction est écrite signifie que les exercices ne sont pas destinés à appliquer une technique de construction, mais à concevoir une méthode à partir de connaissances (définitions, propriétés) et correspondent donc à un travail dans GII. Les tâches de preuve représentent une part non négligeable du travail (20 % des tâches du