Susceptibilit´e et diagramme de phase

Pour ´evaluer le diagramme de phase en fonction du flux et de la densit´e, on va utiliser le signe de la susceptibilit´e. Num´eriquement, on calcule le courant et la susceptibilit´e `a partir

de d´eriv´ees centr´ees qui sont plus pr´ecises :

j_k(φ) = −[E0(φ + dφ)− E0(φ− dφ)]/(2Ldφ) (VI.28)

χ(φ) = [j_k(φ + dφ)− jk(φ− dφ)]/(2dφ) , (VI.29)

avec les conditions2 j_k(0) = j_k(π) = 0 et les d´eriv´ees `a droite et `a gauche pour χ(0) and χ(π). Puisque accessible `a partir des ´energies, ces quantit´es sont faciles `a calculer num´eriquement. Il est important de voir qu’elles int`egrent les contributions de toutes les bandes et ne sont par cons´equent pas d´erivables par les m´ethodes de basse ´energie comme la bosonisation. L’effet des interactions est de lisser les discontinuit´es aux transitions mais on propose que les z´eros de la susceptibilit´e correspondent adiabatiquement aux transitions entre les phases C1S0 et C1S1. Comme on le verra par la suite, cette interpr´etation est coh´erente avec le comportement des autres observables (voir figure VI.7). On a ainsi d´etermin´e le diagramme de phase `a partir des r´esultats sur un syst`eme avec L = 32 et J/t = 0.5. Il est donn´e sur la figure VI.8 et est qualitativement similaire au diagramme de phase de la figure figure VI.6. Toutefois, la phase C1S1 est l´eg`erement plus ´etendue `a faible dopage et plus large pour δ ≃ 0.5. L’´etude des excitations ´el´ementaires confirme le comportement trouv´e et justifie l’ansatz propos´e.

Quantification du flux sur un syst`eme de taille finie

Discutons bri`evement la quantification du flux sur un syst`eme de taille finie. Si les condi-tions p´eriodiques sont utilis´ees avec la jauge de la figure VI.1, le flux int´egr´e le long d’une chaˆıne est ±φ/2 × L de sorte qu’il n’y a pas de flux r´emanent au travers du tore (voir le flux de la figure III.1) si le flux par plaquette v´erifie

φ = m^4π

L ^(VI.30)

o`u m est un entier. De fa¸con ´equivalente, on peut comprendre cette quantification par celle des vecteurs-d’onde k = 2πm/L sur un syst`eme de taille finie. Lorsque t_⊥ = 0, les relations de dispersion de chaque chaˆınes cos(k ± φ/2) donnent une condition identique. On a pu v´erifier num´eriquement qu’en pr´esence de plusieurs particules, c’´etait bien le cas. D’autre part, il est possible de prendre une autre jauge que celle choisie en consid´erant un flux sur les barreaux φ_⊥(x) = φ x et aucun flux le long des chaˆınes. On peut montrer par changement de jauge que, sur un syst`eme de taille finie, les deux jauges ne sont ´equivalentes que si la condition (VI.30) est satisfaite. Pour des conditions aux bords ouvertes comme c’est le cas en DMRG, on s’attend ´egalement `a avoir une quantification du flux ne serait-ce qu’en raison de la quantification des vecteurs-d’onde. Pour la plupart des quantit´es et des param`etres J/t, le choix de φ = 2πm/L donne des r´esultats qui interpolent correctement les points

(VI.30) (voir figure VI.7 par exemple). Cependant, on verra par la suite que les effets de

taille finie peuvent s’av´erer important et qu’il est plus raisonnable de s’en tenir `a (VI.30) dans ce cas. Cette quantification du flux entraˆıne des effets de taille dont il faut tenir compte dans certaines quantit´es comme la susceptibilit´e `a champ nul (cf figure VI.17).

0 π/2 ^π

φ

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 C1S0 _{C1S1 C1S1} C1S0

χ

orb

[a.u.]

∆

_S

/J

∆

_p

/J

J/t = 0.5

Fig. VI.7: Susceptibilit´e orbitale, gap de spin et gap de charge pour J/t = 0.5 et un faible do-page δ = 0.063. Les z´eros de la susceptibilit´e donnent pr´ecis´ement les transitions de phases. Extrait de la publication [6].

0 π/2 ^π 0.5 0.75 1 C1S0 C1S1 C1S0 0 0.25 0.5

J/t = 0.5

δ

n

φ

Fig. VI.8: Diagramme de phase du mod`ele t-J avec J/t = 0.5 d´etermin´e par les z´eros de la susceptibilit´e orbitale sur un syst`eme de taille L = 32. Les corr´elations supra-conductrices sont dominantes `a flux nul. Les r´esultats sont tr`es similaires `a ceux de la figure VI.6, avec une transition vers une phase C1S1 et la r´eentrance de la phase C1S0 `a fort flux. La phase C0S0 indique les phases ondes de densit´e de liens discut´ee `a la figure VI.19. Extrait de la publication [6].

2.2 Excitations ´el´ementaires

Les excitations ´el´ementaires dans l’´echelle dop´ee comme on l’a vu d´ej`a `a plusieurs reprises sont la cr´eation d’un magnon, qui coˆute le gap de spin ∆S, et la cr´eation de quasi-particules en brisant une paire de rous ce qui coˆute ∆p. Comme pr´ec´edemment, ces ´energies caract´eristiques sont d´efinies par

∆S = E0(nh, S^z = 1)− E0(nh, S^z = 0) (VI.31)

∆_p = 2E₀(n_h− 1, S^z = 1/2)− E0(n_h, S^z = 0)− E0(n_h− 2, S^z = 0) (VI.32) o`u E0(nh, Sz) est l’´energie du fondamental avec nh trous et de spin total Sz selon z. On se souvient ´egalement qu’on doit v´erifier ∆S < ∆p dans la limite thermodynamique. Ces excitations ´el´ementaires sont rapport´ees sur la figure VI.7. On observe une d´ecroissance de l’´energie de pairing avec φ jusqu’`a son annulation qui co¨ıncide avec le d´ebut de la phase C1S1. Dans cette derni`ere, le syst`eme est ´equivalent `a une chaˆıne, i.e. un liquide de Luttinger avec certainement une phase m´etallique dans laquelle les deux secteurs sont non gapp´es et les fluctuations CDW dominent puisqu’il n’y a pas d’appariement. Cette annulation de l’´energie d’appariement est donc associ´ee au vidage de la bande u et n’a donc rien `a voir avec ce que serait un champ critique supraconducteur H_c2associ´e `a la nucl´eation de la phase supraconductrice.

Le gap de spin, quant `a lui, augmente avec φ avant de croiser puis suivre ∆p (voir la figure VI.7). D’apr`es les densit´es locales de trous, cette augmentation du gap de spin semble ˆetre corr´el´ee avec des paires de trous moins ´etendues et donc un renforcement de la nature de liquide de spin du fondamental. Ce r´esultat est similaire `a ceux de diagonalisation exacte obtenus pr´ec´edemment [289]. Pour des flux plus grands, ∆<sub>S</sub> est en fait confondu avec l’´ener-gie d’appariement en raison de la contrainte rappel´ee ci-dessus. Les deux quasi-particules deviennent alors l’excitation magn´etique de plus basse ´energie. Le mode r´esonnant magn´e-tique doit donc disparaˆıtre `a flux relativement grand mais est robuste `a faible flux. Ainsi, l’ajout d’un terme Zeeman dans l’hamiltonien redonnerait la physique discut´ee pr´ec´edem-ment au chapitre V dans la r´egion φ < π/3 pour J/t = 0.5. `A fort flux φ . π, on retrouve `a nouveau un gap de spin en accord avec la r´eentrance de la phase C1S0 pr´edite dans la limite de couplage faible. Afin de pr´eciser l’´evolution des excitations de spin dans le syst`eme, il est utile de calculer les fonctions de corr´elations de spin S(x) = hS(x) · S(0)i. Elles sont repr´esent´ees sur la figure VI.9, et montrent des corr´elations sensiblement exponentielles dans les deux phases C1S0 et alg´ebriques dans la phase C1S1, confirmant l’annulation du gap de spin dans cette derni`ere.

Pour ce qui est des corr´elations supraconductrices, on a suivi l’´evolution de des cor-r´elations P (x) = h∆(x)∆†(0)i d´efinies par l’op´erateur singulet sur un barreau ∆(x) = c_x,1,↑c_x,2,↓− cx,1,↓c_x,2,↑ en fonction du flux. On trouve un comportement alg´ebrique dans les phases C1S0 et C1S1, mais avec une amplitude qui diminue conjointement `a la diminution de l’appariement (voir figure VI.10). D’autre part, on observe une ´evolution des contributions relatives `a q = 0 et `a q = 4kF. Enfin, la phase C1S0 `a fort flux poss`ede des fluctuations diff´erentes de celle `a faible flux en raison de la pr´esence de vitesses de Fermi n´egatives pour deux des quatre points de Fermi. Fabrizio a montr´e [169] qu’on avait dans ce cas comp´eti-tion entre la phase supraconductrice et une phase avec des fluctuacomp´eti-tions de dim`eres (et non plus de densit´e). Cette derni`ere semble dominer `a fort flux compte-tenu que l’exposant des corr´elations supraconductrices reste grand.

1 10

x

10

⁻⁹

10

⁻⁶

10

⁻³

S(x)

0.25 0.313 0.375 0.406 0 10 20 30 40 50 60

x

0.125 0.188 0.464 0.5 0

φ

π/2 ^π0 0.2 0.4

∆

_S

/J

φ/2π = J/t = 0.5

Exp

Alg

δ = 0.25 φ/2π = L = 64

(a) _(b)

Fig. VI.9: Corr´elations de spin pour un flux croissant, d’apr`es les r´esultats sur un syst`eme de taille L = 64. Insert : gap de spin dans le mˆeme syst`eme calcul´e ind´ependamment par la formule (VI.31). Extrait de la publication [6].

1 10 70

x

10⁻⁸ 10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻²

P(x)

φ = 0.25π φ = 0.75π φ = 0.94π

δ = 0.063

J/t = 0.5

L = 64

1/x

1.9

1/x

^0.9

1/x

2

Fig. VI.10: Corr´elations supraconductrices pour un flux croissant. Elles demeurent alg´e-briques avec un exposant qui augmente avec le flux et une contribution `a q = 0 qui diminue. L’amplitude des oscillations est fortement r´eduite `a mesure que l’´energie d’appariement diminue. Dans la phase C1S0 `a fort flux, les corr´ela-tions supraconductrices sont sous-dominantes. Extrait de la publication [6].

Bosonisation

La lin´earisation des bandes dans la proc´edure de bosonisation se fait en utilisant le chan-gement de base (VI.8) vu pr´ec´edemment :

c1 c2  = √¹ L X k e^ikxak bk bk −ak  ck,d ck,u  ,

o`u l’indice de spin est omis pour simplifier. On notera ψR/L,d/u les fermions « droits » et « gauches » dans chacune des bandes. On simplifie la notation des diff´erents niveaux de Fermi en kF,d ≡ kd et kF,u ≡ ku. D’apr`es (VI.9) et (VI.10), on a a_−kd/u = b_kd/u ≡ bd/u et b_−kd/u = a_kd/u ≡ ad/u. La forme des op´erateurs bosonis´es d´epend du nombre de points de Fermi dans le syst`eme. Dans les phases C1S0 avec quatre points de Fermi, on a

c1(x)/√

a → a^de^ikdxψd,R(x) + b^de^−ikdxψd,L(x) + b^ue^ikuxψu,R(x) + a^ue^−ikuxψu,L(x) c2(x)/√

a → b^de^ikdxψd,R(x) + a^de^−ikdxψd,L(x)− a^ue^ikuxψu,R(x)− b^ue^−ikuxψu,L(x) o`u ψp,r,σ = ^η r p,σ √ 2πα^e iǫrφr,p,σ

avec le cutoff α (qui n’est pas t_⊥/t_k!), r = R/L, p = d/u et ǫR/L=∓1. ηr

p,σ sont les facteurs de Klein. Les champs bosoniques sont introduits comme au chapitre II

φp,σ = [φL,p,σ+ φR,p,σ]/2 (VI.33)

θp,σ = [φL,p,σ− φR,p,σ]/2 , (VI.34)

puis avec les modes de charge et de spin pour les champ φ φc,p = [φ_p,↑+ φ_p,↓]/√

2 (VI.35)

φs,p = [φ_p,↑− φp,↓]/√

2 (VI.36)

et de mˆeme pour les θ. Enfin, la description utilise les combinaisons ± usuelles φ_c/s,± = [φ_c/s,d± φc/s,u]/√

2 . (VI.37)

Les param`etres de Luttinger correspondant seront not´es K<sub>c/s±</sub> dans chacun des secteurs. Dans le cas o`u l’on n’a que deux points de Fermi avec n < 1, seule la bande d est remplie ce qui donne alors

c1(x)/√

a → a^de^ikdxψd,R(x) + b^de^−ikdxψd,L(x) c2(x)/√

a → bde^ikdxψd,R(x) + a^de^−ikdxψd,L(x) .

Les param`etres de Luttinger des deux modes sont alors simplement d´ecrits par Kc et Ks. Enfin, dans la phase C1S0 `a fort flux, en notant kF,1,d ≡ k1 6= kF,2,d ≡ k2, on obtient :

c1(x)/√

a → a1e^ik1xψ1,R(x) + b1e^−ik1xψ1,L(x) + a2e^ik2xψ2,R(x) + b2e^−ik2xψ2,L(x) c2(x)/√

avec des expressions similaires pour les op´erateurs de Fermi ψp,r(x).

Revenons aux corr´elations supraconductrices dans la phase C1S0 `a faible flux avec le terme `a q = 0

∆(x) =^X σ

σ(ad)²ψdR,σψ_dL,−σ+ (b^d)²ψdL,σψ_dR,−σ− (bu)²ψuR,σψ_uL,−σ− (au)²ψuL,σψ_uR,−σ . (VI.38) La phase C1S0 `a faible flux est telle que φρ+ est le seul champ non gapp´e, avec par ailleurs hθρ−i = 0, hφσ+i = π/2, hφσ−i = π/2. Les termes intra-bandes valent

ψp,R,σψ_p,L,−σ ∼ e^i[θc++pθ_c−−σ(φs++pφ_s−)], (VI.39) et d´ecroissent donc alg´ebriquement avec un exposant 1/(2Kc+) dans la phase C1S0 et qui augmente l´eg`erement avec le flux. Dans la phase C1S1, les corr´elations supraconductrices ont un exposant K−1

c + Ks mais une amplitude plus petite. Enfin, du fait que les coefficient a, b d´ependent du remplissage et du flux d`es lors que le champ magn´etique est branch´e, on s’attend `a ce que les contributions `a q = 0 et `a q = 4kF ´evoluent suivant ces deux param`etres.

Dans le document Echelles de spins dopées sous champ magnétique (Page 165-171)