Calculs d’observables

A titre d’exemple, prenons le mod`ele de Heisenberg sur une ´echelle de 2× 16 = 32 sites. Sans aucune sym´etrie, la taille de l’espace de Hilbert est N_H = 232≃ 2 × 109. Si Sz

tot = 0, N_H est r´eduit `a C16

32 = 601× 106. L’utilisation des 2L = 32 translations et de l’inversion de spin permet d’avoir finalement pour le fondamental d’impulsion kx = ky = 0 : N_H = 9 395 581≃ C16

32/(2× 2 × 16). Cette taille est tout `a fait accessible `a un PC de bureau r´ecent. Les d´etails sur la construction de l’espace de Hilbert sym´etris´e se trouvent dans la section 1.7.

1.4 Calculs d’observables

1.4.1 Observables tir´ees du calcul de l’´energie

L’´energie est la mesure la plus rapide `a obtenir. On va retrouver des quantit´es dont les d´efinitions se transposent g´en´eralement d’un secteur de sym´etrie `a un autre (essentiellement

dans les secteurs le spin, la charge et l’impulsion). Pour simplifier, on consid´erera une chaˆıne de longueur L dans ce qui suit.

C’est tout d’abord le cas des gaps. Ils renseignent sur la nature des excitations. On s’in-t´eresse ainsi aux gaps de spin singulet et triplet, aux gaps de charge `a 1, 2,. . . particules. Pour l’impulsion, une d´eg´en´erescence associ´ee `a un gap indiquera une brisure de la sym´etrie de translation. On peut ´egalement tracer les ´energies en fonction des nombres quantiques de fa¸con astucieuse. Pour le spin, cela s’appelle les tours d’´etats dans lesquelles on trace les ´energies en fonction de S(S + 1) [27]. La courbe de l’´energie en fonction du nombre de par-ticules E(N ) nous renseignera sur la nature de la phase au travers de ces d´eriv´ees (qui sont reli´ees aux gaps). En particulier, on tire le potentiel chimique et la compressibilit´e inverse de

µ = ^∂E0

∂N ^{et κ}

−1 = L^∂ 2E0

∂N2 . (III.15)

L’analogie est imm´ediate pour le secteur spin avec le champ magn´etique et la susceptibilit´e H = ^∂E0 ∂M ^{et χ =} 1 L ∂²E0 ∂H2 . (III.16)

Pour l’impulsion, on tracera les relations de dispersion E(k) qui permettent d’´etudier modes et branches d’excitations. Si on a un mode lin´eaire avec l’impulsion, on pourra calculer sa vitesse

v = ^∂E

∂k ^{. (III.17)}

On peut mˆeme jouer sur la parit´e du nombre de site pour cr´eer des excitations dans le syst`eme. Ainsi, pour une chaˆıne dim´eris´ee de taille impaire, le spinon artificiellement lib´er´e donnera acc`es `a l’´energie de cette excitation. Notons enfin que les extrapolations de taille finie (voir la section 1.8) renferment de pr´ecieuses informations comme la charge centrale et les longueurs de corr´elations associ´ees aux gaps.

F

Fig. III.1: Un flux `a travers une chaˆıne ou une ´echelle permet d’´etudier sa r´eponse. C’est aussi le moyen modifier continˆument les conditions aux limites en appliquant un twist |ψi → eiΦ|ψi sur la fonction d’onde.

Transformation de jauge et conditions aux limites. Une autre classe importante d’obser-vables est obtenue en perturbant le syst`eme par la modification de ses conditions aux limites [205]. Pour perturber la partie charge, on va faire passer un flux Φ dans le syst`eme (voir

figure III.1). Le courant et la susceptibilit´e (ou rigidit´e de charge) s’´ecrivent au signe et `a des constantes pr`es

j = ¹ L ∂E0 ∂Φ ^{et χ =} 1 L ∂2E0 ∂Φ2 . (III.18)

Dans la limite Φ → 0, le courant est nul et la susceptibilit´e donne la raideur de charge. Elle est ´egale au poids de Drude de l’´equation (II.27) `a un facteur pr`es : D = L2χ(0)/(8π2). L’introduction du flux dans l’hamiltonien se fait par la une transformation de jauge locale cjσ → eiθjcjσ. Pour appliquer un twist `a la fonction d’onde |ψi → eiΦ|ψi au passage du lien (L, L + 1≡ 1), on peut n’introduire le flux que sur ce lien de sorte que θL− θ1 = Φ et pour i6= 1, L, θi−θi+1= 0. Mais on pr´ef`ere conserver l’invariance par translation et appliquer une diff´erence de phase Φ/L constante sur chacun des liens. On fait ainsi varier continˆument les conditions aux limites. Pour le spin, on peut tordre les spins en imposant une petite rotation par rapport `a l’axe z dans la partie S+S− de l’hamiltonien, la r´eponse ´etant caract´eris´ee dans ce cas par la rigidit´e de spin.

1.4.2 Observables tir´ees du calcul du fondamental

Lorsqu’on a calcul´e la fonction d’onde du fondamental |ψ0i, on peut s’en servir pour calculer la valeur moyenne d’une observable statique `a temp´erature nulle8. C’est par exemple le cas des diff´erents termes de l’hamiltonien pris s´epar´ement : on peut ainsi comparer la contribution de l’´energie cin´etique et de l’´energie potentielle d’interaction. On peut ´egalement regarder un param`etre d’ordre local ou des fonctions de corr´elations `a temps ´egaux soit dans l’espace direct, soit dans l’espace r´eciproque

C(i− j) = hψ0|A^†jAi|ψ0i ou C(k) =hψ0|A^†kAk|ψ0i . (III.19) Cependant, ces deux fonctions ne se calculent pas de la mˆeme mani`ere. Pour des corr´ela-tions dans l’espace r´eel comme Sz

jSz

i ou c^†_jci, il est plus facile d’appliquer l’op´erateur A^†_jAi directement sur le fondamental avant de reprojeter sur |ψ0i. Dans l’espace r´eciproque, pour Sz

k par exemple, il faudra construire l’espace de Hilbert du secteur k (en supposant que le fondamental est dans le secteur k = 0), cr´eer le vecteur interm´ediaire |ψ1i = Ak|ψ0i, puis utiliser C(k) = hψ1|ψ1i.

Avec la connaissance des fonctions d’onde de fondamentaux entre des secteurs associ´es `a des nombres quantiques diff´erents, on peut avoir acc`es `a des corr´elations hors-diagonales (au sens des nombres quantiques). C’est le cas du param`etre d’ordre supraconducteur [207]

F (k) =hψ0(N + 2)|c^†k,↑c^†_−k,↓|ψ0(N )i , (III.20) qui est l’op´erateur de cr´eation de paires singulet entre les fondamentaux `a N et N + 2 particules. Il faut dans ce cas construire |ψ1i = c<sup>†</sup><sub>−k,↓</sub>|ψ0(N )i et |ψ2i = ck,↑|ψ0(N + 2)i qui se trouvent dans l’espace `a N + 1 particules.

Les corr´elations statiques v´erifient souvent des r`egles de somme simples, reli´ees aux para-m`etres physiques comme la densit´e ´electronique, et qui sont utiles pour v´erifier la coh´erence 8Il existe des extensions `a temp´erature finie de la diagonalisation exacte mais elles restent peu utilis´ees

des r´esultats num´eriques. On peut aussi calculer des quantit´es plus complexes comme le cumulant de Binder associ´e `a une param`etre d’ordre M

B = 1− ^hM 4i

3hM2i2 , (III.21)

tr`es pratique pour d´eterminer les points critiques `a partir de syst`emes de taille finie comme on le verra au chapitre VI.