V. Effet Zeeman dans les ´ echelles dop´ ees 111
4. Diagrammes de phases
4.3. Diagramme de phase g´en´erique du mod`ele t-J
Apr`es avoir ´etudi´e les propri´et´es magn´etiques et supraconductrices sous champ magn´e-tique, on peut tracer les diagrammes de phase dans le plan t-J correspondant au mod`ele t-J pour deux valeurs caract´eristiques J/t = 0.5 et J/t = 0.35 (voir figures V.22etV.23 respec-tivement). On voit un large d´epassement de la limite de Pauli et un plateau d’aimantation contrˆol´e par le dopage dans les deux cas pour une gamme de dopage allant de 0 `a 0.25. La phase plateau m = δ est plus ´etendue pour J/t = 0.35 et le d´epassement de la limite de Pauli moins marqu´e. Au del`a de δ = 0.25, les courbes d’aimantation sont assez diff´erentes (non montr´ees) ce qui sugg`ere que cette densit´e en trous d´elimite la borne sup´erieure pour l’obser-vation du plateau. On peut donc r´esumer ainsi les transitions de phases qui ont lieu `a mesure que le champ augmente. `A faible champ, le syst`eme est dans la phase de Luther-Emery avec corr´elations d-wave dominantes et aimantation nulle. Apr`es un premier champ critique o`u le syst`eme commence `a s’aimanter, le fondamental d´eveloppe des corr´elations typiques d’une phase FFLO et de l’appariement triplet Sz = 0 ´emerge. C’est une phase C1S1. Lorsque m = δ, un plateau d’aimantation s’ouvre avec une phase m´etallique. Au-del`a du plateau, le syst`eme est `a nouveau dans une phase supraconductrice de type FFLO avec des corr´elations triplets de plus en plus significatives jusqu’`a un champ critique supraconducteur Hc. L`a, la bande (π,↓) se vide et le syst`eme entre dans une phase m´etallique avec trois modes non gapp´es. Au niveau du plateau de saturation, la bande (0,↓) se vide. Notez qu’il pourrait y avoir une derni`ere transition suivant les param`etres si la bande (0,↑) se remplissait compl`e-tement. Ce remplissage se manifesterait par un d´ecrochement sur la courbe d’aimantation, ce qui n’est pas observ´e sur la figure V.8.
Il est instructif de voir les effets du param`etre J/t sur les caract´eristiques du diagramme de phase. Pour simplifier, on ne les a ´etudi´ees que dans la limite δ → 0+. Les r´esultats extrapol´es `a partir de syst`emes avec L = 32, 48 et 64 sont donn´es sur la figure V.24. La premi`ere chose `a noter est que les calculs num´eriques sont difficiles `a petit J/t en raison de la tendance `a avoir une phase Nagaoka. Cela se traduit par de forts effets de taille finie et les r´esultats ne sont fiables que pour J/t & 0.25. On s’attend en effet `a ce que la ligne de transition de la phase Nagaoka d´epende fortement de la taille et tende vers J/t = 0 dans la limite thermodynamique du dopage infinit´esimale. Cette tendance `a tendre vers une phase Nagaoka pour des J/t relativement ´elev´es laissent penser que cette phase a une extension non n´egligeable `a densit´e finie et aux faibles valeurs de J/t mais ce n’est pas l’objet de la pr´esente ´etude. Pour les larges J/t & 1, il y a la s´eparation de phase du diagramme de phaseII.17et cette limite est moins physique. L’´energie de pairing (champ de Pauli) et le champ critique
0 0.1 0.2 0.3
Hole Density δ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1H/J
Plateaus limits Pauli limit Critical fieldm = 0
m = δ
J/t = 0.5
Fig. V.22: Diagramme de phase des ´echelles dop´ees supraconductrices sous champ magn´e-tique avec effet Zeeman dans le plan (H, δ) pour J/t = 0.5. Extrait de la publica-tion [2]. 0 0.1 0.2 0.3
δ
0 0.2 0.4 0.6 0.8H/J
Plateaus limits Pauli limit Critical fieldJ/t = 0.35
m = 0
m = δ
Fig. V.23: Mˆeme diagramme que pour la figure V.22 pour J/t = 0.35. Le plateau `a m = δ y est plus large mais le champ critique plus faible. Extrait de la publication [3].
0 0.25 0.5 0.75 1
J/t
0 0.25 0.5 0.75 1Energy [J]
H
cH
p: Pauli limit
Nagaoka
m=δ plateau
free magnon
FFLO
Fig. V.24: Champ de Pauli, champ critique supraconducteur et largeur du plateau m = δ dans la limite de dopage infinit´esimal en fonction du param`etre J/t d’interac-tion du mod`ele t-J des ´echelles isotropes. Les carr´es rouges symbolisent la limite inf´erieure du plateau et les cercles noires la limite sup´erieure. Extrait de la pu-blication [3].
augmentent avec J/t ce qui est attendu dans le m´ecanisme RVB de la supraconductivit´e. Le champ critique suit simplement l’augmentation de l’´energie d’appariement. La largeur du plateau, quant `a elle, augmente `a mesure que J/t diminue. `A fort J/t, les plateaux `a densit´e finie ne seront presque plus visibles.
Ces ´echelles d’´energie ´el´ementaires sont `a rapprocher de celle du mode magn´etique r´e-sonnant. L’´energie de liaison du mode ´etant min(∆p, ∆M) avec ∆p = Hp et ∆ ∼ J/2 le gap magnon de l’´echelle non dop´ee. On remarque d’ailleurs sur la figure V.24 que la borne sup´erieure du plateau est constante avec J/t et tr`es proche de ∆M. Cela est coh´erent avec l’image de la r´esonance de la paire de trou avec le magnon pour cr´eer l’´etat li´e : l’excitation magn´etique suivante est un magnon « quasi-libre ». Enfin, l’augmentation de la largeur du plateau lorsque J/t diminue est coh´erent avec l’argument Nagaoka d´evelopp´e ph´enom´enolo-giquement pour expliquer l’origine du plateau. Il est l´egitime de trouver de larges plateaux au voisinage de la transition vers la phase Nagaoka. Notez cependant cette diff´erence en pr´esence du champ magn´etique qui est que l’excitation de quasi-particules ∆p a une ´energie inf´erieure au magnon libre pour J/t . 0.4. Sous champ magn´etique, ces excitations sont re-pouss´ees plus haut en ´energie `a cause de la phase FFLO. Compte-tenu de la convergence des approches ph´enom´enologiques, num´eriques et de bosonisation discut´ees ci-avant, on propose que ce diagramme de phase soit g´en´erique pour la phase C1S0 supraconductrice du mod`ele t-J en pr´esence d’effet Zeeman.