Suivi temporel des systèmes de vagues

3.2.5 Limites des méthodes existantes . . . 48 3.3 Méthode proposée : Time-domain Expansion of Spectral Partitionning

technique (TESP) . . . 49

3.3.1 Motivations. . . 49

3.3.2 Filtrage . . . 51

3.3.3 Extraction . . . 52

3.3.4 Regroupement. . . 52

3.3.5 Estimation des paramètres caractéristiques . . . 54

3.3.6 Classification . . . 54

3.4 Résultats. . . 55 3.4.1 Données in situ d’Afrique de l’Ouest . . . 55 3.4.2 Données de Hindcast de la mer de Gascogne . . . 57

3.4.3 Comparaison de TESP avec SPOP . . . 58

3.1 Concept d’événement de houle et de mer du vent

De nombreuses études de spectres directionnels, qu’ils soient issus des mesures (bouées ou SAR) ou de modèles numériques de vagues, ont montré que la surface de la mer en un endroit donné est fréquemment la superposition de plusieurs systèmes de vagues (houles et mers du vent), généralement d’intensités, de fréquences et de directions différentes (figure

3.1).

Il est possible de décomposer le spectre caractéristique d’un état de mer en systèmes de vagues, et des études précédentes ont montré l’importance d’une description fine (à l’échelle des systèmes de vagues) des états de mer, notamment, pour des applications aussi variées que le dimensionnement des structures (Bitner-Gregersen [2005]) ou l’estimation du potentiel récupérable de l’énergie des vagues. (Kerbiriou et al.[2007]). Chaque système de vagues identifié peut être ensuite caractérisé par des paramètres synthétiques (Hs, Tp,

θ_p, etc.).

De plus, les phénomènes météorologiques (e.g. tempête, dépressions, etc.) qui sont à l’origine des systèmes de vagues ont généralement une durée nettement supérieure à la durée de définition d’un état de mer stationnaire (30 min à 3h). Par un suivi temporel des systèmes de vagues, il est donc possible d’identifier les débuts et les fins de composants associés à un phénomène météorologique unique et à sa propagation.

Nous désignons par “événement” un système de vagues (houles ou mers du vent) en évolution au cours du temps, observable pendant une durée significative et que l’on peut relier à un unique phénomène météorologique source. Nous distinguons les événements de houle, conséquence de phénomènes météorologiques lointains, des événements de mer du vent qui sont, à l’opposé, la conséquence de phénomènes météorologiques locaux. L’iden-tification des événements de houle et de mer du vent peut être réalisée à partir d’une série temporelle de spectres directionnels d’états de mer, connaissant les dynamiques théoriques suivant lesquelles évoluent un système de houle ou un système de mer du vent dans un événement. 0.3 0.2 0.1 90 60 30 0 330 300 270 240 210 180 150 120 log(S(f, θ )) −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 2 1 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 f (Hz) S(f) (m 2.Hz −1 ) 1 0 2

Figure 3.1 – Spectre d’état de mer obtenu au large de l’Angola (Girassol) le 04 janvier 2003 à 21h00. Représentation du spectre directionnel 2D (à gauche ) et représentation du spectre omnidirectionnel 1D (à droite). On note la présence de trois systèmes de vagues : une houle primaire (1), une houle secondaire (2) et une mer du vent (0).

3.1.1 Dynamique des systèmes de houle et événement de houle

Les houles désignent les systèmes de vagues qui ont été générés par des phénomènes océano-météorologiques en une région éloignée du site d’observation. Elles sont généra-lement de grande période, peuvent parcourir des milliers de kilomètres, et traverser les océans. Par exemple, les houles observées en Afrique de l’Ouest sont, pour la plupart, générées par des tempêtes répétitives localisées entre le cap Horn ou le large des côtes argentines et le cap de Bonne-Espérance.

Les houles se propagent le long des géodésiques encore appelées grands cercles : cercles sur des plans passant par le centre de la Terre, dont les méridiens. Il est possible de mettre en évidence une relation entre la distance parcourue par les houles et l’évolution de leur fréquence de pic. En effet, les houles sont caractérisées par une forte dispersion : on observe d’abord l’arrivée des vagues de faibles fréquences (grandes périodes) suivies par les vagues de plus grandes fréquences (courtes périodes). Cela s’explique par le fait que les tempêtes contiennent une assez grande variété de fréquences d’une part et d’autre part que la vitesse de groupe dépend fortement de la fréquence, (Cg = g/(4πf) en eau profonde). Dans la limite où le point d’observation est très loin de la tempête source, celle-ci peut alors être considérée comme ponctuelle dans le temps et dans l’espace. L’évolution de la fréquence de pic en un point d’observation fixe, est donnée par

fp(t) = ^{g(t − t0)}

4πRα ^(3.1)

où α est la distance sphérique entre la tempête et le point d’observation, R est le rayon de la Terre, et t₀ est la date de génération. Cette évolution typique de la fréquence de pic permet ainsi, d’identifier un système de houle, généré par une même tempête, en évolution au cours du temps. C’est en cela que la définition d’un événement de houle prend tout son sens. Malgré l’idéalisation sous-jacente à la relation 3.1, de nombreuses travaux ont confirmé sur la base d’observations in situ qu’elle permet de bien prédire l’évolution des systèmes de houle. (Barber, Ursell [1948], Munk et al. [1963], Snodgrass et al. [1966]

, Aarnes, Krogstad [2001], Hanson, Phillips. [2001], Collard et al. [2009], Delpey et al.

[2010]).

Pour identifier le passage d’un système de houle en un point on utilise souvent la méthode dite Ridge Line Method dont une illustration est présentée dans la figure 3.2. Employée pour la première fois par Barber, Ursell [1948], puis par Munk et al. [1963]

etSnodgrass et al.[1966], elle constitue la méthode de référence dans l’identification des

systèmes de houle confirmant également la pertinence de la théorie linéaire en eau profonde pour l’étude des systèmes de houle. La figure3.2présente l’historique de spectres mesurés à partir d’une bouée et pendant le mois de décembre 2002 au large de l’Angola. Ces données sont celles qui seront principalement utilisées dans ce chapitre. Sur cette figure, les contours espacés régulièrement de -2.4 à 3.4 indiquent le logarithme du spectre S(f), et les couleurs donnent la direction moyenne pour chaque fréquence. Les événements de houle sont reconnaissables dans les basses fréquences par l’évolution quasi-linéaire de leurs fréquences de pic. La ligne oblique pointillée du 23 décembre à 0.05 Hz au 29 décembre à 0.11 Hz correspond à la variation théorique de la fréquence de pic dans cet événement de houle.

Notons également que l’équation3.1est utilisée pour estimer la distance de génération des houles. Grâce à l’information directionnelle des systèmes, il est possible d’évaluer la

zone géographique où la tempête qui est en à l’origine s’est produite (Hasselmann et al.

[1996], Aarnes, Krogstad [2001], Hanson, Phillips. [2001], Collard et al. [2009], Delpey

et al. [2010]). date (year/month/day) f(Hz) 02/12/05 02/12/10 02/12/15 02/12/20 02/12/25 02/12/30 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 50 100 150 200 250 300

mean direction (degree)

Figure 3.2 – Historique de spectres mesurés pendant le mois de décembre 2002 au large de l’Angola (adapté à partir de Collard et al.[2009]).

3.1.2 Dynamique des systèmes de mer du vent et événement de mer du vent

Les mers du vent sont des systèmes de vagues qui se forment sous l’action du vent local. Elles dépendent de plusieurs facteurs, 3 principalement : le fetch, c’est à dire la distance d’action du vent, la durée d’action du vent et la vitesse du vent. La hauteur significative des vagues augmente avec l’amplification de ces facteurs. En effet, en théorie linéaire, les vagues de haute fréquence générées par le vent se dispersent selon l’équation 2.7 sur une ouverture angulaire relativement importante (crêtes courtes), et ce d’autant plus que ces vagues sont directement influencées par les fluctuations rapides d’intensité et de direction du vent local. L’énergie transmise aux vagues par le vent s’accumule au cours du temps, les vagues étant elle-mêmes soumises à des interactions non linéaires, de telle sorte que d’une part, la fréquence de pic des trains d’ondes générées diminue, et d’autre part, leur hauteur significative augmente (Price, Bishop[1974]).

Comme dans le cas des houles, il est possible, de définir un événement de mer du vent comme une mer du vent en évolution au cours du temps et que l’on peut relier à une même tempête (ou dépression) source. Théoriquement, la fréquence de pic des systèmes de mer du vent diminue au cours d’un événement. Cependant, cette évolution de la fréquence de pic n’est généralement pas aussi régulière que celle des houles à cause des fluctuations locales du vent.

3.2 Méthodes existantes pour l’identification des

événements de systèmes de vagues

Avant de présenter la méthode qui a été développée dans ces travaux, il nous a paru utile de présenter brièvement les méthodes existantes d’identification d’événements ainsi que leurs limites.

Dans les méthodes qui existent, l’identification des événements de houle et de mer du vent utilise généralement deux étapes. La première, souvent appelée partitionnement, consiste à extraire dans un spectre d’état de mer, les différents systèmes de vagues (par-titions) qui le constituent, et à les classer en type houle ou mer du vent, suivant leurs caractéristiques. La seconde étape est le suivi temporel des systèmes de vagues, et consiste à déterminer, entre deux instants de mesure, quelles partitions relèvent d’un même système en évolution au cours du temps (événement).

3.2.1 Partitionnement

Le partitionnement se fait généralement en trois étapes :

– l’extraction de systèmes qui consiste à être capable de déceler automatiquement les composantes spectrales pertinentes dans un jeu de données fréquence-direction représentatif d’un état de mer complexe ;

– le regroupement qui consiste à fusionner suivant des critères bien définis plusieurs composantes de systèmes extraits de caractéristiques pas suffisamment différentes pour être considérées comme distinctes (élimination d’artefact ou de bruit de me-sure).

– la classification qui consiste à affecter à chaque système de vagues, le type houle ou mer du vent.

3.2.1.1 L’extraction : Algorithme de ligne de partage des eaux (Watershed algorithm)

Gerling [1992] a été le premier à proposer une méthode d’extraction. Sa méthode est

restée finalement très peu utilisée, principalement en raison de sa lourdeur. De nos jours, la méthode d’extraction la plus utilisée est basée sur l’algorithme de la ligne de partage des eaux, utilisée pour la première fois parHasselmann et al.[1996].

En morphologie mathématique, l’algorithme de la ligne de partage des eaux, proposé

par Digabel, Lantuéjoul [1978], est un algorithme de segmentation d’images qui permet

de décomposer une image en régions homogènes. Si nous comparons l’image constituée par un spectre directionnel renversé (−S(f, θ)) à un relief terrestre, cette image peut se diviser en plusieurs zones. Chaque zone sera définie comme un bassin versant. Un bassin versant1 correspond à l’espace géographique dans lequel toutes les eaux convergent vers le même minimum. Les différents bassins versants sont délimités par une ligne de partage des eaux ou ligne de crêtes des massifs bordant le bassin versantCoster, Chermant[1985]. Pour l’obtenir, il faut imaginer l’immersion d’un relief dans de l’eau, en précisant que l’eau ne peut pénétrer dans les vallées que par ses minima. La ligne de partage des eaux est représentée par les points où deux lacs disjoints se rejoignent au cours de l’immersion.

1. On peut par exemple utiliser dans MATLAB la routine de recherche des bassins versants

Pour empêcher le mélange des eaux venant des minimums différents, on crée un barrage élémentaire en chaque point de contact (figure 3.3).

Figure 3.3 – Illustration de l’extraction par l’algorithme de la ligne de partage des eaux en 2D : (a) spectre directionnel ; (b) spectre directionnel renversé, traité comme un re-lief topographique et recherche des lignes de partage des eaux ; (c) les bassins versants identifiés, numérotés de 1 à 4, correspondent aux partitions.

3.2.1.2 Le regroupement

Souvent, les partitions obtenues de l’extraction n’ont pas toutes de signification phy-sique. En effet, à cause du bruit dans le spectre et de la sensibilité de l’algorithme de la ligne de partage des eaux, le nombre de partitions issues de l’extraction est généralement grand. Le regroupement consiste donc à fusionner les composantes de caractéristiques in-suffisamment différentes pour être considérés comme distinctes. Les critères utilisés pour le regroupement sont, pour la plupart, basés sur la distance quadratique entre pics (compa-rée ou non à l’étalement spectral des deux pics), le contraste minimal et l’énergie minimale

(Aarnes, Krogstad[2001],Hanson, Phillips.[2001]).

Distance entre les pics : Deux partitions p(1) et p(2) sont regroupées si la distance

condi-tion suivante :

∆f2≤ κδf2, (3.2)

∆f2 = (fpx,1− fpx,2)2+ (fpy,1− fpy,2)2, (3.3) avec fpx= fpcos θp, et fpy= fpsin θp. Le facteur d’étalement κ est ajusté empiriquement de manière à optimiser la performance du partitionnement du spectre.

Contraste entre les pics : Ce critère évalue la hauteur du point de selle (qu’on note

Ss) entre deux pics. S’il est trop haut les deux pics ne sont pas suffisamment démarqués l’un de l’autre. La condition de regroupement de deux pics p(1) et p(2) s’écrit :

Ss> ν min(max(p(1)), max(p(2)), (3.4)

avec ν une constante fixée empiriquement.

Énergie faible : Les partitions pour lesquelles l’énergie totale est en dessous d’un seuil

d’énergie sont négligées,

e ≤ _f4^A

p + B ^(3.5)

où A et B sont des constantes empiriques.

Les choix des valeurs des constantes qui interviennent dans les critères de regroupe-ment ne sont pas ou peu justifiés dans la littérature. Il s’agit généraleregroupe-ment de consensus empiriques ou d’adaptation par essais successifs d’un paramètre optimum à un jeu de données. La différence entre les algorithmes proposés dans la littérature repose essentiel-lement sur le choix des constantes. Le tableau 3.1 résume les différentes valeurs prises par les paramètres (κ, ν et A et B) suivant les auteurs. Un exemple de regroupement de partitions est montré dans la figure3.4.

distance entre les pics (κ)

contraste entre les pics (ν) énergie faible (A,B) Hasselmann et al. [1996] 1 0.85 -Voorrips et al. [1997] 0.5 0.7 -Hanson, Phillips.[2001] 0.4 − 0.5 0.65 − 0.75 (2.10−6, 2.10⁻³ )-(6.10−5, 3.10⁻²) Table 3.1 – Tableau résumant les valeurs des constantes utilisées pour le regroupement dans la littérature.

f(Hz) θ(°) 3 53 104 155 205 256 307 358 0.04 0.06 0.09 0.14 0.22 f(Hz) θ(°) 3 53 104 155 205 256 307 358 0.04 0.06 0.09 0.14 0.22

Figure 3.4 – Exemple de partitionnement du spectre de la figure 3.1 : extraction par l’algorithme des lignes de partage des eaux (gauche), puis regroupement des systèmes (droite)

3.2.2 Classification

Après le regroupement, chaque partition significative est caractérisée par ses para-mètres synthétiques (Hs, fp, θp, etc) qui sont obtenus à partir des moments spectraux calculés avec la portion du spectre correspondante. Chaque partition peut être ensuite classée en type houle ou mer du vent suivant ses caractéristiques. La classification est gé-néralement basée sur la connaissance des données de vent. En effet, les mers du vent, étant des systèmes de vagues créées par le vent à l’endroit où il souffle, ont des caractéristiques qui sont fortement liées à celles du vent. Ainsi, une partition dont les caractéristiques sont proches de celles de ce que le vent observé aurait généré sera donc considérée comme une mer du vent : c’est ce qui est généralement traduit dans le critère dit de "l’âge des vagues" (Hanson, Phillips.[2001]).

Ce critère stipule que le pic de la mer du vent est contenu dans une région du spectre délimitée par une parabole telle que :

f_pws ≤ _2πβU ^g

10cos(δ) ^(3.6)

avec δ = θ_{w− θm}, f_pws= fréquence de pic de la mer du vent, U₁₀= module de la vitesse du vent à 10m, θ_w=direction du vent, θ_m =direction moyenne du pic, β= valeur empirique. Le paramètre β de l’équation3.6est une constante empirique supérieure ou égale à 1, dont la valeur est réglée par l’observateur et n’est pas justifiée par des critères physiques mais permet d’ajuster la décomposition des états de mer aux spécificités locales. Par exemple

Hanson, Phillips. [2001] choisissent β = 1.5 alors que Kerbiriou et al. [2007] utilisent

β = 4/3.

Ce critère ne peut être utilisé que si les données de vent sont disponibles. En l’absence de données du vent, une fréquence de séparation constante est souvent fixée, en regard des spécificités locales, pour distinguer la houle de la mer du ventKerbiriou et al. [2007].

f(Hz) θ(°) 0 50 100 150 200 250 300 350 0.038 0.053 0.075 0.105 0.21 0.3 f=g/2π(1.5u₁₀cosδ) direction du vent 0 1 2

Figure 3.5 – Illustration de la classification des systèmes de vagues : la mer du vent (système 0) est localisée dans la parabole définie par le critère de l’âge des vagues {Hs= 0.54m, f_p = 0.26Hz, θ_p= 257◦}, le système 2 correspond à la houle secondaire {Hs= 0.46m, f_p = 0.11Hz, θ_p= 187◦

}, et le système 1 correspond à la houle primaire {Hs= 0.62m, f_p = 0.08Hz, θ_p= 217◦}.

3.2.3 Suivi temporel des systèmes de vagues

À partir des critères (critères d’affectation temporelle) basés sur la dynamique des houles et des mers du vent, il est possible d’associer des systèmes de vagues de même type obtenus à des pas de temps consécutifs pour les faire correspondre à un même événement. Ainsi, Voorrips et al. [1997], etAarnes, Krogstad[2001] définissent des critères basés sur la variation de l’énergie et la proximité dans le plan fréquence et direction. Pour faire correspondre une partition i d’un spectre A à l’instant t à une partition j d’un spectre B à l’instant t + ∆t il faut qu’elles :

– soient de même type (houle ou mer du vent), – aient des énergies semblables :

ν⁻¹e(i) ≤ e(j) ≤ νe(i), ^(3.7)

– soient proches dans le plan spectro-directionnel :

|fm(i) − fm(j)| ≤ ηffm(i), _|θm(i) − θm(j)| ≤ ηθ, (3.8) pour des valeurs appropriées des constantes ν, η_f et η_θ. Les constantes utilisées par

Voor-rips et al.[1997], etAarnes, Krogstad[2001] sont récapitulées dans le tableau3.2. De toute

évidence, il est possible que chaque partition de A ne soit pas affectée à une partition de

B. Si les deux spectres représentent l’état de la mer au même endroit, mais à deux instants

différents, la non affectation peut être interprétée comme le début d’un nouvel événement ou la fin d’un événement ancien.

ν η_f η_θ

Voorrips et al. [1997] 20 0.4 si θ_m(i) =

θm(j)

50◦ si f_m(i) =

fm(j)

Aarnes, Krogstad [2001] [10 − 20] 0.5 60◦

Table 3.2 – Tableau résumant les valeurs des constantes utilisées pour le suivi temporel

Les algorithmes de partitionnement de spectres et du suivi temporel des systèmes de vagues sont, généralement, implémentés et présentés sous forme d’applications dans le but d’un traitement automatique des spectres d’états de mer. Une application de ce type dénommée SPOP (Spectral Partitioning for Operational Parameters identification ) a été développé dans l’environnement Matlab par IFREMER et ACTIMAR (Kerbiriou et al.

[2007]).

3.2.4 Spectral Partitioning for Operational Parameters identification