Structures ´ etudi´ ees

egalement possible d’obtenir des informations sur l’´etat de sant´e de la structure `a partir de ces observations.

5.2.1 Structures ´etudi´ees

La premi`ere structure qui est `a l’´etude est le Factor Building situ´e sur le campus de l’UCLA. On rappelle qu’il s’agit d’un bˆatiment de 17 ´etages avec une armature en acier instrument´e avec des acc´el´erom`etres Kinemetrics FBA-11. Une description plus d´etaill´ee est faite dans la section 2.5.1.

La seconde structure servant de support `a l’´etude des ph´enom`enes non lin´eaires est l’Institut de G´eophysique de l’´Ecole Polytechnique Nationale (IG-EPN) de Quito en

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Equateur. Ce bˆatiment a ´et´e construit en 1976 avant l’´etablissement du premier code parasismique en ´Equateur. Il est constitu´e de huit ´etages de mˆeme hauteur, chacun constitu´es d’une dalle support´ee par des colonnes en b´eton arm´e. La structure est ins-trument´ee de mani`ere permanente depuis 2011 via un acc´el´erom`etre triaxial situ´e `a son sommet et un autre capteur identique est situ´e `a l’ext´erieur du bˆatiment, au niveau du sol. Les composantes sont orient´ees dans les directions longitudinale, transversale et verticale. L’acc´el´eration est ainsi enregistr´ee de mani`ere continue avec une fr´equence d’´echantillonnage de 100 Hz et synchronis´ee par GPS.

5.2 Non-lin´earit´e dans les structures de g´enie civil

Figure 5.13 – a) Photo de l’Institut de G´eophysique de Quito. b) Diagramme de la loca-lisation des deux acc´el´erom`etres triaxiaux S1 et S2. c) Spectre normalis´e d’une heure de signal enregistr´ee sur la composante longitudinale de la station au sommet du bˆatiment.

5.2.2 Traitement des donn´ees

Pour les deux structures, les donn´ees consistent en des enregistrements d’acc´el´eration au sommet de chacune d’entre elles. Ceux-ci se composent `a la fois de vibrations am-biantes et de s´eismes. Dans le cas du Factor Building, le s´eisme est celui dit de Chino Hills du 29 juillet 2008, d’une magnitude de 5.5 M<sub>W</sub> et dont l’´epicentre ´etait situ´e `a 45 km de Los Angeles. Le signal enregistr´e au sommet de la structure visible sur la fi-gure 5.14a montre un pic d’acc´el´eration `a ∼1.2 m.s<sup>−2</sup> et la d´eformation calcul´ee `a partir de l’acc´el´eration indique une valeur maximale d’environ 5×10⁻⁴. Nous avons d´ej`a not´e pr´ec´edemment que le seuil d’endommagement de ce bˆatiment est estim´e `a 3×10⁻³ (Gu´ e-guen et al. (2016)) et nous pouvons donc supposer qu’aucun dommage n’est cr´e´e par ce s´eisme. Le tremblement de terre qui a frapp´e l’Institut de G´eophysique de Quito est celui ayant eu lieu en ´Equateur le 16 avril 2016 `a 170 km de Quito. Sa magnitude ´etait de 7.8 M<sub>W</sub>. L’acc´el´eration enregistr´ee au sommet du bˆatiment de l’IG-EPN pendant le s´eisme montre un pic d’acc´el´eration de ∼ 0.72 m.s<sup>−2</sup> et la d´eformation maximale calcul´ee s’´el`eve `

a ∼ 7 × 10⁻⁴.

Comme nous venons de l’indiquer pr´ec´edemment, les donn´ees trait´ees se composent de vibrations ambiantes et de vibrations forc´ees par un s´eisme. La premi`ere m´ethode de traitement du signal que nous proposons donc d’utiliser pour traiter ces donn´ees est la NRDT d´ecrite dans la section 3.4. En effet, nous avons montr´e qu’elle peut ˆetre appliqu´ee

DYNAMIQUE LENTE DANS LES STRUCTURES DE G´ENIE CIVIL

Figure 5.14 – Enregistrement de l’acc´el´eration a) au sommet du Factor Building lors du s´eismes de Chino Hills de 2008 et b) au sommet de l’Institut de G´eophysique de Quito pendant le tremblement de terre de 2016.

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a des enregistrements pr´esentant des fortes variations d’amplitude sans que cela ne cause de biais dans la mesure de la fr´equence. La mesure de l’amortissement `a l’aide de la NRDT n´ecessite encore d’ˆetre am´elior´ee et ne sera donc pas exploit´ee.

La r´esolution temporelle de la NRDT d´epend de la p´eriode propre du mode de la structure comme nous l’avons montr´e dans la section 3.3.3.2. Cette p´eriode est de l’ordre de la seconde dans les deux structures que nous ´etudions. La longueur de signal n´ecessaire `

a l’obtention d’une valeur de fr´equence serait, si l’on consid`ere un nombre de fenˆetres ´egal `

a 1000, de l’ordre de 103 s. Cette dur´ee est plus longue que la dur´ee totale des deux s´eismes et n’apparaˆıt donc pas adapt´ee au suivi de la fr´equence. Afin de pallier cette difficult´e nous diminuons la dur´ee des signaux sur lesquels nous appliquons la NRDT `a 100 fois la p´eriode propre apr`es avoir v´erifi´e la validit´e de ce choix lors de tests pr´eliminaires sur ces donn´ees. L’´etude de l’effet de la longueur des signaux trait´es (voir section 3.3.3.2) men´ee sur des donn´ees de laboratoire avait d´ej`a montr´e que le calcul de la fr´equence n’´etait que tr`es peu affect´e par la r´eduction de dur´ee de signal trait´e. Le recouvrement entre deux segments successifs de signal est ´egalement augment´e `a 90% afin de diminuer le pas en temps du suivi de la fr´equence.

Michel et Gu´eguen (2010) montrent un exemple d’application d’une autre m´ethode de traitement du signal `a l’acc´el´eration enregistr´ee au sommet d’une structure lors d’un s´eisme. En effet, ils ont observ´e, grˆace `a la distribution de Wigner-Ville, une chute de la fr´equence fondamentale de la Millikan Library au cours du s´eisme de San Fernando de 1971. On se propose d’expliquer rapidement le principe de cette m´ethode qui est d´etaill´ee

5.2 Non-lin´earit´e dans les structures de g´enie civil

par Michel et Gu´eguen (2010). La distribution de Wigner-Ville est la distribution temps-fr´equence la plus simple de celles appartenant `a la classe de Cohen. Son principe est qu’elle distribue l’´energie du signal dans l’espace temps-fr´equence. Le calcul de l’´energie en un point de l’espace temps-fr´equence n’est pas r´ealis´e dans une fenˆetre temporelle mais de −∞ `a +∞. Les signaux trait´es ´etant finis en temps, la distribution calcul´ee en pratique est donc la distribution pseudo Wigner-Ville liss´ee. Elle correspond `a la distribution de Wigner-Ville dont les valeurs d’´energie des couples temps-fr´equence sont calcul´ees dans des fenˆetres limit´ees en temps et en fr´equence. La bande de fr´equence de cette distribution ´etant large, les petites variations de fr´equence sont difficilement mesur´ees. Afin de pallier cette difficult´e, la m´ethode de r´eassignement a ´et´e propos´ee. Elle consiste `a r´eassigner, au centre de gravit´e du domaine autour de chaque point temps-fr´equence, l’´energie locale de la distribution. Les auteurs indiquent alors que cette pseudo-distribution r´eassign´ee est particuli`erement adapt´ee notamment `a la mesure de variations brutales de la fr´equence. Le ph´enom`ene non lin´eaire ANFD est pr´ecis´ement caract´eris´e par une chute rapide de la fr´equence que des m´ethodes impliquant le calcul de la fr´equence `

a partir de fenˆetres de signal lisseraient, ne permettant pas un suivi fid`ele. La valeur retenue pour la fr´equence, `a chaque instant t, est ensuite d´etermin´ee par le point´e du maximum de la pseudo-distribution de Wigner-Ville r´eassign´ee `a cet instant. Par abus de langage, nous d´esignerons dans la suite, la pseudo-distribution de Wigner-Ville r´eassign´ee par le terme de distribution de Wigner-Ville.

Les suivis temporels de la fr´equence obtenus avec les deux m´ethodes de traitement du signal ´evoqu´ees ci-dessus sont ensuite liss´es `a l’aide de la m´ethode de Savitzky-Golay (Orfanidis (1995)). Si l’on consid`ere les donn´ees comme ´etant une certaine grandeur X en fonction du temps t, le principe de cette technique de lissage est le suivant :

• un point (t_i,X_i) est choisi,

• un segment de donn´ees [Xi−l Xi+l] dont la demi-largeur l est d´efinie par l’utilisateur et qui est centr´e autour du point (t_i,X_i) est d´etermin´e,

• le segment de donn´ees est ajust´e par un polynˆome dont l’ordre est d´efini par l’uti-lisateur,

• la valeur de cette fonction pour l’instant ti est alors retenue comme ´etant la valeur dite liss´ee,

• le point suivant (t_i+1,X_i+1) est choisi et le proc´ed´e recommence.

Cette technique de lissage est appliqu´ee `a nos r´esultats temps-fr´equence avec des poly-nˆome d’ordre 3 et une largeur de fenˆetre choisie arbitrairement dans chaque cas.

DYNAMIQUE LENTE DANS LES STRUCTURES DE G´ENIE CIVIL