Structure des singularités

 ρ₁ ρ !2β1 + ^ρ ρ₂ !2β2^  Z A(ρ1,ρ2) | Rm |2. (2.10) Les inégalités (2.9) et (2.10) combinées donnent le contrôle énoncé :

sup A(2ρ,4ρ) | Rm |2 6 Cρ⁻⁴   ρ₁ ρ !2β1 + ^ρ ρ₂ !2β2^  Z A(ρ1,ρ2) | Rm |2.

Remarque 2.43. On peut obtenir des résultats tout à fait analogues en dimension n en supposant des contrôles bien moins naturels sur la norme Lⁿ2 de la courbure de Riemann.

4 Orbifolds et espaces ALE

Montrons maintenant nos espaces limites sont en réalité des orbifolds et orbi-folds ALE. Nous obtiendrons ainsi une bonne description de la dégénérescence à toutes les échelles.

4.1 Structure des singularités

Nous avons donc des contrôles ponctuels satisfaisants sur la courbure dans les anneaux reliant les différentes échelles de singularités.

Corollaire 2.44. Soit g∞ une des limites de l’arbre de singularités identifié dans la proposition 2.30. Il existe β > 0 tel qu’on ait

1. au voisinage des points singuliers de g∞, la courbure est un O(r^−2+β), où r

est la distance au point singulier et

2. à l’infini, si g∞ est noncompact, la courbure est un O(r^−2−β), où r est la

distance à un point quelconque fixé.

Après la construction de coordonnées, ce contrôle de la courbure implique que les différentes limites obtenues dans la proposition 2.30 sont des orbifolds et que leurs infinis sont ALE.

Proposition 2.45. Soit β > 0 la constante du corollaire 2.44 précédent. Au voi-sinage de chaque point singulier il existe des constantes C_k > 0 pour k ∈ N et un

difféomorphisme local ϕ d’un voisinage de 0 dans (R⁴/Γ, g_e) vers un voisinage du

point singulier de (M∞, g_∞) tel que l’on ait

r^k_e|∇k

e(ϕ^∗g∞− g_e)|_ge < C_kr_e^β (2.11)

De même, il existe un difféomorphisme ψ entre un voisinage de l’infini de (R⁴/

Γ, g_e) vers un voisinage de l’infini d’un limite d’éclatements de la proposition2.30, tel que l’on ait

r_e^k|∇^k(ψ^∗g∞− ge)|_ge < Ckr_e^−β. (2.12)

Idées de preuve. Nous ne donnons qu’une idée de preuve ici car le chapitre 3 sui-vant apportera une preuve plus générale. Nous avons donc un contrôle de la cour-bure d’après le corollaire 2.44 et nous souhaitons montrer que dans de bonnes coordonnée, cela traduit un contrôle de la métrique.

L’idée est assez naturellement d’utiliser des coordonnées géodésiques qui sont bien contrôlées par la courbure ambiante par l’équation de Riccati. En considérant donc une carte géodésique au voisinage d’un point singulier, on obtient le contrôle énoncé.

Pour le contrôle à l’infini, un argument un peu plus subtil est nécessaire. La première étape est de trouver une hypersurface Σ₀ à seconde forme fondamentale presque constante, ce qui est assuré par un résultat difficile de [Kas88].

Enfin, l’idée est de considérer les géodésiques partant orthogonalement vers l’extérieur de l’hypersurface Σ₀. L’équation de Riccati assure alors d’une part que les géodésiques ne s’intersectent pas, mais cela assure de plus que la seconde forme fondamentale des lignes de niveaux de la distance à Σ₀, une fois rééche-lonnée converge vers l’identité lorsque la distance tend vers l’infini. Le contrôle de la courbure ambiante implique alors que ces sphères rééchelonnées convergent vers une variété à courbures sectionnelles positives constantes par les formules de Gauss. D’après le lemme 1.54, c’est donc un quotient de la sphère ronde S3 par un groupe fini Γ ⊂ SO(4) agissant librement dessus. En particulier, comme il n’y a pas de point conjugué, hors du compact à l’intérieur de l’hypersurface Σ₀, la variété est difféomorphe à (R4\B_e(0, 1)) /Γ.

En intégrant l’équation de Riccati le long des géodésiques depuis l’infini jusqu’à Σ₀, on obtient alors un contrôle de la métrique restreinte aux hypersurfaces et de leur seconde forme fondamentale. On en déduit un contrôle de la métrique ambiante qui est proche de la métrique plate avec une décroissante à l’infini.

On déduit aussi du contrôle sur la courbure des anneaux de la proposition 2.34 que l’énergie, c’est-à-dire le carré de la norme L² de la courbure, de la suite de

variétés dégénérant correspond exactement à la somme des énergies de l’orbifold limite et des différents orbifolds Ricci-plats ALE qui apparaissent.

Corollaire 2.46 (Conservation de l’énergie). Sous les hypothèses du théorème

2.34, l’énergie de (M4

i, g_i) est égale à la somme de l’énergie de l’orbifold (M4 ∞, g∞)

et de celles de toutes les variétés Ricci-plates ALE apparaissant dans les arbres de singularités se formant aux points singuliers de (M4

∞, g∞).

Nous en déduirons aussi à l’aide des constructions de coordonnées du chapitre 3 les théorèmes de structures suivants pour nos arbres de singularités.

Théorème 2.47 ([Ban90, Theorem 1, Proposition 2]). Soit (M4

i, g_i)_i∈N une suite de variétés d’Einstein de dimension 4 et de même constante d’Einstein satisfai-sant :

1. le diamètre de (M4

i, g_i) est uniformément majoré,

2. le volume de (M4

i, g_i) est uniformément minoré,

3. l’énergie R

M4

i |Rm(g_i)|2dv(g_i) est uniformément majorée (cette hypothèse est

en fait impliquée par les deux précédentes d’après [CN15]).

Alors, il existe une sous-suite (M_i⁴, g_i) convergeant vers un orbifold d’Einstein (M4

∞, g_∞) au sens de Gromov-Hausdorff.

Pour chaque point singulier p∞ dont la singularité est modelée sur R⁴/Γ pour

Γ un sous-groupe de SO(4), il existe une suite de points (p_i)_i∈N de M_i⁴ de haute courbure |Rm(gi)|(p_i) → ∞, et une suite de réels T_i → 0 appelés premières échelles

de singularité tels que : ^M_i⁴,^gi

Ti, pi



converge au sens de Gromov-Hausdorff vers

(N, g_b, p) un orbifold Ricci-plat ALE asymptotique à R⁴/Γ. De plus, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 ne dépendant que de ε > 0, (N, gb, p) et (M_∞⁴, g∞) tel qu’en

notant Ai(δ) l’anneau de rayons

√

Ti

δ et δ centré en pi, on ait pour i suffisamment grand :

Z

Ai(δ)

| Rm(gi)|²dv(g_i) < ε².

Remarque 2.48. Plus généralement, il se forme un arbre de singularités en chaque

point singulier comme décrit dans la proposition 2.30. En effet, en considérant ensuite la suite de métriques pointées ^M_i⁴,^gi

Ti, p_i^, on obtient de nouvelles “pre-mières” échelles de singularités. On peut alors itérer jusqu’à obtenir tout l’arbre de singularités. Pour δ > 0 assez petit et i assez grand, chaque boule B_gi(p_i, δ) a

la topologie d’un recollement d’un nombre fini, k ∈ N, d’orbifolds Ricci-plats ALE {(N_j, g_bj, p_j)} pour j ∈ {1, ..., k} avec un nombre fini de singularités. L’infini de chaque orbifold Ricci-plat ALE asymptotique à R⁴/Γ est recollé au point singulier